第2章 2.1.2 空间两点间的距离-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

2.1.2　空间两点间的距离 [学习目标]　1.掌握空间两点间的距离公式的推导过程.2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题. 导语 “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等.数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的. 一、求空间两点间的距离 问题1　如图，已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，怎样求其对角线的长度？ 提示　在Rt△ABC中，由勾股定理可知， |AC|=， 在Rt△ACC'中， |AC'|==， 于是长方体的对角线长为 d=. 问题2　类比长方体对角线的求解过程，探求空间两点间的距离.如图，设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)为空间两点，求|M1M2|. 提示　在Rt△M1NM2及Rt△M1PN中，由勾股定理知|M1M2|2=|M1P|2+|PN|2+|NM2|2. ∵|M1P|=|x2-x1|，|PN|=|y2-y1|， |NM2|=|z2-z1|， ∴|M1M2|= =. 知识梳理 空间两点间的距离公式 (1)空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 |AB|=. (2)原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=. 注意点： 为方便公式记忆，熟记公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根. 例1　(课本例3(1)(2))　已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，-1). (1)求原点O到点Q的距离|OQ|； (2)求点P，Q之间的距离； 解　(1)由原点到空间任一点的距离公式得 |OQ|==. (2)由空间两点间的距离公式得 |PQ|==. 例1　已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度. 解　(1)由空间两点间的距离公式得 |AB|==3， |BC|==， |AC|==， ∴△ABC中最短边是BC，其长度为. (2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为， ∴AC边上中线的长度为 =. 反思感悟　(1)求空间两点间的距离首先明确两点的坐标，然后代入距离公式进行准确计算. (2)若所给题目未建立坐标系，需结合题中图形的特征，建立适当的坐标系，再利用距离公式进行计算. 跟踪训练1　(多选)如果点M在x轴上，且满足|MO|=2(O是坐标原点)，则点M到点A(1，1，1)的距离是(　　) A. B. C.3 D.4 答案　AB 解析　由题意得M(2，0，0)或M(-2，0，0)， 所以|MA|==， 或|MA|==. 二、由空间两点间的距离求空间点的坐标 例2　(课本例3(3))　已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，-1). (3)在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|. 解　(3)由于点M在z轴上，不妨设它的坐标为(0，0，z)，则 |MP|2=12+02+(1-z)2=z2-2z+2， |MQ|2=42+32+(-1-z)2=z2+2z+26. 又|MP|=|MQ|， 所以z2-2z+2=z2+2z+26. 解得z=-6. 因此所求点的坐标为M(0，0，-6). 例2　在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，-3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 解　假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形. 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立， 所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形. 因为|MA|==， |AB|=2， 于是=2， 解得y=±. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，-，0). 反思感悟　解决此类问题，往往先设出待求点的坐标，根据题中条件和距离公式建立已知和未知之间的关系式，进而求解. 跟踪训练2　已知A(x，5-x，2x-1)，B(1，x+2，2-x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|. 解　由空间两点间的距离公式得|AB|= ==， 当x=时，|AB|有最小值， 此时|AB|=， 且A，B. 三、空间两点间的距离公式的应用 例3　(课本例4)　求证：以M1(4，3，1)，M2(7，1，2)，M3(5，2，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形. 证明　因为|M1M2|==， |M1M3|==， |M2M3|==， 所以|M1M3|=|M2M3|. 因此△M1M2M3是等腰三角形. 例3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=2，|AA1|=3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|=a，当a为何值时，NP的长最小？ 解　以点D为原点，分别以有向直线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，A(2，0，0)，B(2，2，0)， 由M，N分别是AB，B1C1的中点可得M(2，1，0)，N(1，2，3). 设点P的坐标为(x，y，0)， 则x=2y(0≤y≤1). |NP|= = = =， 所以当y=时，|NP|取最小值， 此时a===， 所以当a=时，NP的长最小. 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系之后，常常需要设出点的坐标，应结合点所在的坐标轴或坐标平面使点的坐标更简化，求解更方便. (2)涉及几何体求解最值问题时，要注意坐标变量的范围. 跟踪训练3　在xOy平面内的直线2x-y=0上确定一点M，使它到点P(-3，4，5)的距离最小，并求出距离的最小值. 解　∵点M在xOy平面内的直线2x-y=0上， ∴点M的坐标可设为(a，2a，0)， 则|MP|===， ∴当a=1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2，0)， 即当点M坐标为(1，2，0)时，|MP|最小，最小值为3. 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式的推导. (2)求空间两点间的距离. (3)空间两点间的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：要合理建系，准确计算. 1.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)到点B(2，-1，6)的距离是(　　) A.2 B.2 C.9 D. 答案　D 解析　|AB|= =. 2.已知三角形的三个顶点A(2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(5，0，2)，则过点A的中线长为(　　) A. B.2 C.11 D.3 答案　B 解析　∵BC的中点坐标为(4，1，-2)， ∴过点A的中线长为 =2. 3.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　由距离公式得， |AB|==， |AC|==， |BC|==， ∴|AC|2+|BC|2=|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 4. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为　　　　.  答案　 解析　由题意得A1(2，0，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，则A1C的中点E(1，1，1)，AB的中点F(2，1，0)，所以A1C的中点E到AB的中点F的距离|EF|==. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1.在空间直角坐标系O-xyz中，点P(-1，，1)到原点的距离为(　　) A.2 B.3 C. D.2 答案　A 解析　点P(-1，，1)到原点的距离为=2. 2.已知点A(1，-1，2)关于z轴的对称点为B，则|AB|等于(　　) A.2 B.2 C.2 D.3 答案　A 解析　点A(1，-1，2)关于z轴的对称点为B(-1，1，2)， 则|AB|==2. 3.已知空间中两点A(x，1，2)，B(2，3，4)，且|AB|=2，则实数x的值是(　　) A.-6 B.-2或6 C.-4 D.-3或2 答案　B 解析　由题意知， |AB|==2， 化简得(x-2)2=16，解得x=6或x=-2， ∴实数x的值是6或-2. 4.在空间直角坐标系O-xyz中，y轴上的点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1) 的距离相等，则点M的坐标是(　　) A.(0，-1，0) B.(0，1，0) C.(0，0，1) D.(2，0，0) 答案　B 解析　由题意设点M的坐标是(0，y，0)，∵点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1)的距离相等， ∴=， 解得y=1. ∴点M的坐标是(0，1，0). 5.在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，O为坐标原点，△ABC的重心为点M，则|OM|等于(　　) A.1 B. C. D. 答案　D 解析　设M(x，y，z)，则x==， y==，z==1， 即M， 则|OM|==. 6.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积为(　　) A.32 B.64 C.48 D.16 答案　B 解析　|AB|==4. 又因为A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)两点不在同一表面上， 所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 设正方体的边长为a，则a=4，即a=4， 所以正方体的体积为64. 7.(5分)已知A(0，0，2)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，则△ABC的面积是　　　　.  答案　2 解析　由题意得， |AB|==2， |AC|==2， |BC|==2， 即|AB|=|AC|=|BC|=2， ∴△ABC是边长为2的等边三角形， ∴△ABC的面积S=×2×2×=2. 8.(5分)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=　　　　.  答案　2 解析　由距离公式得|AB|==， |AC|==， |BC|==. ∵∠BAC=90°， ∴|BC|2=|AB|2+|AC|2， ∴(1-x)2+2=2+(2-x)2+1，解得x=2. 9.(11分)△ABC的三个顶点坐标为A(1，-2，-3)，B(-1，-1，-1)，C(0，0，-5)，试证明△ABC是直角三角形. 证明　在△ABC中，A(1，-2，-3)，B(-1，-1，-1)，C(0，0，-5)， 则|AB|==3， |AC|==3， |BC|==3， 因此|AB|2+|AC|2=|BC|2， 所以△ABC是直角三角形. 10.(12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=2，|DC|=4，|DD1|=3，利用空间两点间的距离公式，求AD1，AB1和AC1的长. 解　以D为坐标原点，分别以有向直线DA，DC和DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)， ∴|AD1|= =， |AB1|==5， |AC1|==. 11.在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，-2，-2)，C(0，5，1)等距离的点有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 答案　D 解析　由空间两点间的距离公式可得， |AB|=，|BC|=，|AC|=. 易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面， 在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C三点的距离相等， 而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等， 故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等. 12.点P(x，y，z)的坐标满足x2+y2+z2=1，点A(-2，3，)，则|PA|的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　x2+y2+z2=1在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面， 所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小， 此时|PA|=|OA|-|OP|=|OA|-1=-1=4-1=3. 13.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，点P到点M(2a，2a+5，a+2)的距离最小，则点P的坐标为(　　) A.(1，3，0) B.(-1，4，1) C.(-1，3，0) D.(2，0，-1) 答案　C 解析　由已知可设点P(a，3a+6，0)， 则|PM|= ==， 所以当a=-1时，|PM|取最小值， 所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上， 取点P(-1，3，0)时，点P到点M的距离最小. 14.(5分)对于任意实数x，y，z，+的最小值为　　　　.  答案　 解析　结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式，可得+ 表示的几何意义是空间内任意一点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)及定点A(-3，-2，1)的距离之和， 显然，当O，M，A三点共线且M在线段OA上时，|OM|+|MA|最小，最小值为|OA|==. 15.在空间直角坐标系中，已知点A(3，1，2)，B(-1，-2，1)及动点M(x，y，-1)，则|AM|+|BM|的最小值为(　　) A. B. C.5 D. 答案　C 解析　设点A(3，1，2)关于平面z=-1对称的点为A1(3，1，-4)， 则|AM|+|BM|的最小值为线段A1B的长度，而|A1B|==5，所以|AM|+|BM|的最小值为5. 16.(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点P'的坐标；(4分) (2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.(8分) 解　(1)由题意知点P的坐标为， 点P关于y轴的对称点P'的坐标为. (2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)， 0≤m≤1， 则有|MP|= ==， 当m=时，|MP|最小， 所以点M的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 <<< 2.1.2　空间两点间的距离 1.掌握空间两点间的距离公式的推导过程. 2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题. 学习目标 “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等.数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的. 导 语 一、求空间两点间的距离 二、由空间两点间的距离求空间点的坐标 课时对点练 三、空间两点间的距离公式的应用 随堂演练 内容索引 求空间两点间的距离 一 如图，已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，怎样求其对角线的长度？ 问题1 提示　在Rt△ABC中，由勾股定理可知， |AC|=， 在Rt△ACC'中， |AC'|==， 于是长方体的对角线长为 d=. 类比长方体对角线的求解过程，探求空间两点间的距离.如图，设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)为空间两点，求|M1M2|. 问题2 提示　在Rt△M1NM2及Rt△M1PN中，由勾股定理知 |M1M2|2=|M1P|2+|PN|2+|NM2|2. ∵|M1P|=|x2-x1|，|PN|=|y2-y1|，|NM2|=|z2-z1|， ∴|M1M2|==. 空间两点间的距离公式 (1)空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 |AB|=____________________________________. (2)原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=_______________. 知识梳理 注 意 点 <<< 为方便公式记忆，熟记公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根. 11 (课本例3(1)(2))　已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，-1). (1)求原点O到点Q的距离|OQ|； 例 1 由原点到空间任一点的距离公式得 |OQ|==. (2)求点P，Q之间的距离； 由空间两点间的距离公式得 |PQ|==. 12 已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求△ABC中最短边的边长； 例 1 由空间两点间的距离公式得 |AB|==3， |BC|==， |AC|==， ∴△ABC中最短边是BC，其长度为. 13 (2)求AC边上中线的长度. 由中点坐标公式得，AC的中点坐标为， ∴AC边上中线的长度为=. 14 (1)求空间两点间的距离首先明确两点的坐标，然后代入距离公式进行准确计算. (2)若所给题目未建立坐标系，需结合题中图形的特征，建立适当的坐标系，再利用距离公式进行计算. 反 思 感 悟 15 　(多选)如果点M在x轴上，且满足|MO|=2(O是坐标原点)，则点M到点A(1，1，1)的距离是 A. B. C.3 D.4 跟踪训练 1 由题意得M(2，0，0)或M(-2，0，0)， 所以|MA|==， 或|MA|==. √ √ 16 二 由空间两点间的距离求空间点的坐标 (课本例3(3))　由于点M在z轴上，不妨设它的坐标为(0，0，z)，则 |MP|2=12+02+(1-z)2=z2-2z+2， |MQ|2=42+32+(-1-z)2=z2+2z+26. 又|MP|=|MQ|， 所以z2-2z+2=z2+2z+26. 解得z=-6. 因此所求点的坐标为M(0，0，-6). 例 2 18 假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形. 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立， 所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形. 因为|MA|==，|AB|=2， 于是=2， 解得y=±. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，-，0). 19 在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，-3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 例 2 20 假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形. 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立， 所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形. 因为|MA|==，|AB|=2， 于是=2， 解得y=±. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，-，0). 21 解决此类问题，往往先设出待求点的坐标，根据题中条件和距离公式建立已知和未知之间的关系式，进而求解. 反 思 感 悟 22 　已知A(x，5-x，2x-1)，B(1，x+2，2-x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|. 跟踪训练 2 由空间两点间的距离公式得|AB|= ==， 当x=时，|AB|有最小值， 此时|AB|=， 且A，B. 23 空间两点间的距离公式的应用 三 (课本例4)　求证：以M1(4，3，1)，M2(7，1，2)，M3(5，2，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形. 例 3 因为|M1M2|==， |M1M3|==， |M2M3|==， 所以|M1M3|=|M2M3|. 因此△M1M2M3是等腰三角形. 25 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|= |AD|=2，|AA1|=3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|=a，当a为何值时，NP的长最小？ 例 3 26 以点D为原点，分别以有向直线DA，DC，DD1为 x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)， A(2，0，0)，B(2，2，0)， 由M，N分别是AB，B1C1的中点可得M(2，1，0)，N(1，2，3). 设点P的坐标为(x，y，0)， 则x=2y(0≤y≤1). 27 |NP|= = = =， 所以当y=时，|NP|取最小值， 此时a===， 所以当a=时，NP的长最小. 28 (1)建立空间直角坐标系之后，常常需要设出点的坐标，应结合点所在的坐标轴或坐标平面使点的坐标更简化，求解更方便. (2)涉及几何体求解最值问题时，要注意坐标变量的范围. 反 思 感 悟 29 　在xOy平面内的直线2x-y=0上确定一点M，使它到点P(-3，4，5)的距离最小，并求出距离的最小值. 跟踪训练 3 ∵点M在xOy平面内的直线2x-y=0上， ∴点M的坐标可设为(a，2a，0)， 则|MP|== =， ∴当a=1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2，0)， 即当点M坐标为(1，2，0)时，|MP|最小，最小值为3. 30 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式的推导. (2)求空间两点间的距离. (3)空间两点间的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：要合理建系，准确计算. 课堂小结 随堂演练 四 |AB|==. 1 2 3 4 1.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)到点B(2，-1，6)的距离是 A.2 B.2 C.9 D. √ 1 2 3 4 2.已知三角形的三个顶点A(2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(5，0，2)，则过点A的中线长为 A. B.2 C.11 D.3 ∵BC的中点坐标为(4，1，-2)， ∴过点A的中线长为=2. √ 1 2 3 4 3.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 由距离公式得， |AB|==， |AC|==， |BC|==， ∴|AC|2+|BC|2=|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 由题意得A1(2，0，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，则A1C的中点E(1，1，1)，AB的中点F(2，1，0)，所以A1C的中点E到AB的中点F的距离|EF|==. 1 2 3 4 4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为　　　　. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.在空间直角坐标系O-xyz中，点P(-1，，1)到原点的距离为 A.2 B.3 C. D.2 点P(-1，，1)到原点的距离为=2. 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知点A(1，-1，2)关于z轴的对称点为B，则|AB|等于 A.2 B.2 C.2 D.3 点A(1，-1，2)关于z轴的对称点为B(-1，1，2)， 则|AB|==2. 13 14 15 16 √ 3.已知空间中两点A(x，1，2)，B(2，3，4)，且|AB|=2，则实数x的值是 A.-6 B.-2或6 C.-4 D.-3或2 由题意知， |AB|==2， 化简得(x-2)2=16，解得x=6或x=-2， ∴实数x的值是6或-2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在空间直角坐标系O-xyz中，y轴上的点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1) 的距离相等，则点M的坐标是 A.(0，-1，0) B.(0，1，0) C.(0，0，1) D.(2，0，0) 由题意设点M的坐标是(0，y，0)， ∵点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1)的距离相等， ∴=， 解得y=1. ∴点M的坐标是(0，1，0). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，O为坐标原点，△ABC的重心为点M，则|OM|等于 A.1 B. C. D. 设M(x，y，z)，则x==，y==，z==1， 即M， 则|OM|==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积为 A.32 B.64 C.48 D.16 |AB|==4. 又因为A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)两点不在同一表面上， 所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 设正方体的边长为a，则a=4，即a=4， 所以正方体的体积为64. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知A(0，0，2)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，则△ABC的面积是　　　. 由题意得， |AB|==2， |AC|==2， |BC|==2， 即|AB|=|AC|=|BC|=2， ∴△ABC是边长为2的等边三角形， ∴△ABC的面积S=×2×2×=2. 13 14 15 16 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=　　　　. 由距离公式得|AB|==， |AC|==， |BC|==. ∵∠BAC=90°， ∴|BC|2=|AB|2+|AC|2， ∴(1-x)2+2=2+(2-x)2+1，解得x=2. 13 14 15 16 2 在△ABC中，A(1，-2，-3)，B(-1，-1，-1)，C(0，0，-5)， 则|AB|==3， |AC|==3， |BC|==3， 因此|AB|2+|AC|2=|BC|2， 所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.△ABC的三个顶点坐标为A(1，-2，-3)，B(-1，-1，-1)，C(0，0，-5)，试证明△ABC是直角三角形. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=2，|DC|=4，|DD1|=3，利用空间两点间的距离公式，求AD1，AB1和AC1的长. 13 14 15 16 以D为坐标原点，分别以有向直线DA，DC和DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)， ∴|AD1|==， |AB1|==5， |AC1|==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，-2，-2)，C(0，5，1)等距离的点有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 综合运用 √ 13 14 15 16 由空间两点间的距离公式可得， |AB|=，|BC|=，|AC|=. 易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面， 在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C三点的距离相等， 而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等， 故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.点P(x，y，z)的坐标满足x2+y2+z2=1，点A(-2，3，)，则|PA|的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 x2+y2+z2=1在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面， 所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小， 此时|PA|=|OA|-|OP|=|OA|-1=-1=4-1=3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，点P到点M(2a，2a+5，a+2)的距离最小，则点P的坐标为 A.(1，3，0) B.(-1，4，1) C.(-1，3，0) D.(2，0，-1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可设点P(a，3a+6，0)， 则|PM|= ==， 所以当a=-1时，|PM|取最小值， 所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上， 取点P(-1，3，0)时，点P到点M的距离最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式，可得+ 表示的几何意义是空间内任意一点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)及定点A(-3，-2，1)的距离之和， 显然，当O，M，A三点共线且M在线段OA上时，|OM|+|MA|最小，最小值为|OA|==. 14.对于任意实数x，y，z，+ 的最小值为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在空间直角坐标系中，已知点A(3，1，2)，B(-1，-2，1)及动点M(x，y，-1)，则|AM|+|BM|的最小值为 A. B. C.5 D. 设点A(3，1，2)关于平面z=-1对称的点为A1(3，1，-4)， 则|AM|+|BM|的最小值为线段A1B的长度，而|A1B|==5， 所以|AM|+|BM|的最小值为5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点P'的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知点P的坐标为， 点P关于y轴的对称点P'的坐标为. 13 14 15 16 (2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)， 0≤m≤1， 则有|MP|= ==， 当m=时，|MP|最小， 所以点M的坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$