陕西省西安高新区第四完全中学2025—2026学年下学期九年级 模拟数学试题（3月）

2025—2026学年下学期九年级3月模拟数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 2．山西汾酒是中国清香型白酒的典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 3．科学家在海底发现了世界上最小的生物，它们的最小身长只有0.000000019米，将0.000000019这个数用科学记数法表示为（　　） A．0.19×10﹣7 B．1.9×10﹣8 C．1.9×107 D．19×10﹣10 4．下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a3•a2＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．（a3b）2＝a6b2 5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 6．已知直线m：y＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转90°得到新的直线n，则直线n与x轴的交点坐标是（　　） A．（3，0） B．（6，0） C． D．（4，0） 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E．线段AD、BE交于点F，若AD＝BD，BF＝5，EF＝1，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 8．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点，且当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，则m、n的关系式为（　　） A．m＝n2 B．m＝4n2 C．m D．m 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9．比较实数的大小： 　 　 ． 10．先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形． 照这样接着画，第n个图有　 　 个黑色小正方形． 11．三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2＝AB•AC﹣BD•DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH＝HG，EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5，则FH的长为 　 　 ． 12．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式的解集是 　 　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，M，N分别是边AD，BC上的点，连接MN，CM，过点D作MN的垂线交NM的延长线于点E，若MN平分矩形ABCD的面积，且AM＝5，则DE的长为 　 　 ． 三．解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．（6分）计算：． 15．（6分）解不等式组：． 16．（6分）解分式方程：． 17．（6分）小明同学在折纸时发现：可以用一张A4纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折A4纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； （2）再一次沿AG折叠纸片，使点B落在EF上的点N处； （3）连接AN、BN，则△ABN为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形ABCD， ①尺规作图：作AB的垂直平分线l； ②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点P； ③连接AP、BP．则△ABP为等边三角形． 证明：∵直线l垂直平分AB， ∴　 　 （ 　 　 ）， ∵AB＝AP， ∴　 　 ， ∴△ABP为等边三角形． 18．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 19．（6分）目前国内有137座国家历史文化名城，其中甘肃有四座，分别是张掖、武威、敦煌和天水．甘肃四座国家历史文化名城中，有三座位于河西走廊，均属于汉武帝时设立的河西四郡成员．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小红上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容（四张卡片分别记为A，B，C，D．） （1）求小红从中随机抽取到的卡片上印有“敦煌莫高窟”的概率； （2）若小红第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小兰第二个上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小红、小兰两人至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的概率． 20．（6分）“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在AC，AD的延长线上取点E，F，连接EF，使得EF∥CD．经测量，CD＝9m，EF＝15m，且点F到河岸BC的距离FH为16m．过点A作AB⊥BC于点B（AB即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 21．（6分）王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买x（x＞10）本练习本，甲商店的费用为y1，乙商店的费用为y2． （1）分别求出y1，y2与x之间的关系式； （2）王华买了24本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 22．（6分）为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，训文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.60≤x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 a 九年级 83.5 b 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（x≥80）的共有多少人？ 23．（6分）如图，已知⊙O的弦AD∥EC，过A作⊙O的切线交CE的延长线于点B，且AB＝AE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求⊙O的半径． 24．（8分）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知OA＝8dm，点P到OA的距离为8dm． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点H的坐标为（4，2），该同学准备在抛物线上取两点M、N（点M与点N关于抛物线的对称轴对称），MN与抛物线对称轴的交点为D，点D在点H的上方，沿MN和DH缝制两条装饰线条，请你计算MN与DH长度之和的最大值． 25．（10分）四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BC，F为DA延长线上一点，连接BF，∠DAC＝∠ABF． （1）如图1，求证：BF∥CD； （2）如图2，连接BD并延长至点E，连接CE，若CD平分∠ACE，求证：BC＝CE； （3）如图3，在（2）的条件下，tan∠F＝2，S△BCD＝4，AD＝2，延长AD交CE于点T，求CT的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B． D D B A D 二．填空题 9．＞． 10．（2n+8）． 11．． 12．x＞1或﹣2＜x＜0． 13．． 三．解答题 14．解：原式＝2026+1﹣6+4 ＝2025． 15．解：， 解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥1， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜3． 16．解：， 两边都乘以（x+2）（x﹣2）得， （x﹣2）2﹣16＝x2﹣4， 去括号得， x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4， 移项得， x2﹣4x﹣x2＝﹣4﹣4+16， 合并同类项得， ﹣4x＝8， 两边都除以﹣4得， x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是原方程的增根， ∴原方程无解． 17．解：图形如图所示： 证明：∵直线l垂直平分AB， ∴PA＝PB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， ∵AB＝AP， ∴AB＝PA＝PB， ∴△ABP为等边三角形． 故答案为：PA＝PB，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，AB＝PA＝PB． 18．证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ACF+∠AED＝180°＝∠ACF+∠ACB， ∴∠AED＝∠ACB， 又∵BC＝DE， ∴△ADE≌△ABC（AAS）， ∴AB＝AD． 19．解：（1）由题意得：随机抽取1张卡片，上面印有“敦煌莫高窟”的概率为， （2）将“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”分别记作A，B，C，D，列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由表格知，共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人中至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的结果有7种， 所以P（两人中至少有一人选中“张掖七彩丹霞”）． 20．解：∵CD∥EF， ∴∠ACD＝∠E，∠ADC＝∠AFE， ∴△ACD∽△AEF， ∴， ∴， ∴． ∵AB⊥BC，FH⊥BC， ∴∠ABD＝∠FHD＝90°． ∵∠ADB＝∠FDH， ∴△ABD∽△FHD， ∴， ∴， ∴AB＝24， ∴这段河流的宽度为24m． 21．解：（1）由题意可得， 当x＞10时，y1＝10×1+（x﹣10）×1×0.7＝0.7x+3； y2与x的函数关系为y2＝x×1×0.85＝0.85x． （2）当x＝24时，y1＝0.7×24+3＝19.8，y2＝0.85×24＝20.4， ∵20.4＞19.8， ∴王华买24本练习本时，他选择甲商店更划算． 22．解：（1）在八年级10名学生的竞赛成绩中91出现的次数最多，故众数a＝91； 九年级A、B两组的人数均为：10×20%＝2（人）， 把九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，88，故中位数b85.5， 故答案为：91，85.5； （2）八年级学生的古诗词竞赛成绩更好，理由： 因为两个年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生的古诗词竞赛成绩的中位数比九八年级的高，所以八年级学生的古诗词竞赛成绩更好．（答案不唯一）； （3）300240324（人）， 答：估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（x≥80）的共有324人． 23．（1）证明：∵∠ADC+∠AEC＝180°，∠AEB+∠AEC＝180°， ∴∠ADC＝∠AEB， ∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠ADC＝∠B， ∵AD∥EC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：连接并延长AO交CD于点F，连接AC、OD、OE，则OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠OAE＝∠OEA， ∴∠DOF＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，∠OAE+∠OEA+∠AOE＝2∠OAE+∠AOE＝180°， ∴∠DAC＝∠ACB∠AOE＝90°﹣∠OAE， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴AB⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠OAE， ∴∠DAC＝∠BAE， ∵∠ADC＝∠B， ∴△CAD∽△EAB， ∴∠ACD＝∠AEB， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AC＝AD＝4， ∵， ∴AF垂直平分CD， ∴∠AFD＝90°，∠OAD＝∠OAC， ∴∠DAC＝2∠OAD， ∴∠DOF＝∠DAC＝∠BAE， ∴cos∠DOF＝cos∠BAE， 设OA＝OD＝5m，则OFOD＝3m， ∴AF＝OA﹣OF＝8m，DF4m， ∵AD4m＝4， ∴m＝1， ∴OA＝5， ∴⊙O的半径长是5． 24．解：（1）根据题意得，抛物线的顶点P（4，8）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+8（a≠0）， 将点O（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣4）2+8， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）设，则 DM＝4﹣m， ∴MN＝8﹣2m， ∵点H的坐标为（4，2）， ∴， ∴， ∵0， ∴当，m＝2 时，MN+DH 取得最大值，最大值为8， ∴MN与DH长度之和的最大值为8dm． 25．（1）证明：∵AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB； ∵∠DAC＝∠ABF， ∴∠FBC＝∠ABF+∠ABC＝∠DAC+∠CAB＝∠BAD； ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠FBC+∠BCD＝180°， ∴BF∥CD； （2）证明：如图2，设∠1＝α， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠1＝α， ∴∠2＝180°﹣2∠1＝180°﹣2α； ∵， ∴∠4＝∠1＝α； ∵， ∴∠3＝∠2＝180°﹣2α， ∵∠ADC＝∠3+∠4＝180°﹣2α+α＝180°﹣α，∠EDC＝180°﹣∠4＝180°﹣α， ∴∠ADC＝∠EDC； ∵CD平分∠ACE， ∴∠5＝∠6； 在△ACD和△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（AAS）， ∴AC＝CE； ∵AC＝BC， ∴BC＝CE； （3）解：过点C作CH⊥BD于点H，CG⊥AT于点G，如图3， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠TDC，∠F+∠ADC＝180°； ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠GDC＝∠F； ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠TDC＝∠F； 在△CHD和△CGD中， ， ∴△CHD≌△CGD（AAS）， ∴HD＝DG，CH＝CG； ∵∠CHB＝∠CGA＝90°，∠CAG＝∠CBH， ∴△CHB≌△CGA（ASA）， ∴BH＝AG； ∵tanF＝2， ∴； 设HD＝DG＝x，则CH＝2x， ∴BH＝AG＝AD+DG＝2+x； ∵，BD＝BH+DH＝AG+DG＝x+2+x＝2x+2， ∴， 解得：x1＝1，x2＝﹣2（舍去）， ∴CH＝2，BH＝3， 由勾股定理得：； 过点A作AQ∥CT，交CD延长线于点Q， ∴∠Q＝∠DCT； ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCT＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠Q， ∴； ∵∠ADQ＝∠GDC，∠Q＝∠DCT， ∴△ADQ∽△TDC， ∴， 即， ∴； 设，则GT＝DT﹣DG＝2a﹣1； 在Rt△GTC中，由勾股定理得：CG2+GT2＝CT2， 即， 解得：（舍去）， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/22 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