7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.3离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机 变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质.(重点) 3.掌握两点分布的均值.(重点) 4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题.(重点) 刘雨萌 知识回顾 1、概率分布列（分布列） 设离散型随机变量X可能取的值为𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯,𝑥𝑛 我们称X取每一个值𝑥𝑖(𝑖=1,2,⋯)的概率𝑃(𝑋=𝑥𝑖)=𝑝𝑖,i=1,2,3⋯xn 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. 2、离散型随机变量分布列的性质： ≥ 1 概率之和 3、求随机变量X的分布列的步骤如下: (1).确定 X 的可能取值 xi ; (2).求出相应的概率 P=(X=xi)= pi ; (3).列成表格的形式. 刘雨萌 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 问题导学 刘雨萌 问题导学 1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ 把环数看成随机变量的概率分布列： X 1 2 3 4 P 权数 加权平均 刘雨萌 问题导学 2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列： X 18 24 36 P 刘雨萌 3.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 问题导学 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 甲n次射箭射中的平均环数 当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 刘雨萌 一、离散型随机变量取值的平均值. 1.离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或 数学期望. x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的 . 加权平均数 平均水平 知识概念 刘雨萌 典型例题 例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平. 解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 3.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：   X 1 0 P p 1-p 变式：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？   刘雨萌 典型例题 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. 分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值.   变式:随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号1.2.3.4，求朝下一面标号X的均值. 解：X的分布列为     求离散型随机变量X的均值的步骤：   刘雨萌 观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 探究新知 观察结果 观察上图可以发现： 在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数 X 的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的． 结论 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小． 因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值． 探究新知 新知探究 思考：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘以一个常数后，其均值会怎样变化？即E(X+b)和E(aX)(其中a,b为常数）分别与E(X)有怎样的关系？ ··· ··· ··· ··· 设X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,...,n. ··· ··· ··· ··· ··· ··· 刘雨萌 3.离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ . aE(X)＋b 知识概念 练习1、随机变量X的分布列是 X 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 (1)则E(X)= . (2)若Y=2X+1，则E(Y)= . 2.4 5.8 2、随机变量X的分布列是 X 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 EX=7.5,则a= b= . 0.1 0.4 刘雨萌 例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 典型例题 刘雨萌 分析 根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况： 猜错A，获得0元基金； 猜对A而猜错B，获得1000元基金； 猜对A和B而猜错C，获得3000元基金； A，B，C全部猜对，获得6000元基金． 因此 X 是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列． 应用新知   X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 𝑋的均值为𝐸(𝑋)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336. 刘雨萌 思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？   X 0 1000 4000 6000 P 0.2 0.48 0.128 0.192   典型例题 猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元 ABC 2336 BCA 2112 ACB 2144 CAB 1904 BAC 2256 CBA 1872 按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大 刘雨萌 例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 工地的领导该如何决策呢? 典型例题 刘雨萌 分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示： 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案. 解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1. 采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时, 总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99. 采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74. 于是,E(X1)=3800, E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600, E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100. 因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2. 值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的. 刘雨萌 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 1.离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ 随机变量X的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的 ． (3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且 ＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n. E(Y)＝ ＝ . 如果随机变量X服从两点分布， 则 X 1 0 P p 1－p x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 平均水平 P(Y＝ax＋b) E(aX＋b) aE(X)＋b 刘雨萌 离散型随机 变量的均值 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 刘雨萌 课后作业 作业1：完成教材：P66-67练习1、2、3题 P71习题7.3的2、3、4、6题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的均值》.  刘雨萌 解 2 随堂达标测验 解 B 随堂达标测验 解 随堂达标测验 解 A3 随堂达标测验 解 B 随堂达标测验 本节内容结束 (练习第66页) 1．已知随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 解： 课后练习答案 解： 课后练习答案 3．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为： 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 X2 0 1 2 P 0.4 0.3 0.2 0.1 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？ 解： 其实际含义是随着产量的增加，第2台机床生产出的次品数要比第1台机床生产出的次品数少． 课后练习答案 ①pi 0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝ . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 ． ipi 由题可知: , , 且 ,所以 .故答案为：2 2．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 P m 若 ，则 ． 由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50， 30， ，所以X的分布列为： ， ， ，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为： （元） 故选：B 3．一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等,乙等和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利（     ） A．36元 B．37元 C．38元 D．39元 令？的数字是 ，则！的数值是 ， 所以 . 4．马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表 x 1 2 3 ? ! ? 请小牛同学计算 的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此求 ． 利用方案A1，期望为50×0.25+65×0.30+26×0.45＝43.7； 利用方案A2，期望为70×0.25+26×0.30+16×0.45＝32.5； 利用方案A3，期望为﹣20×0.25+52×0.30+78×0.45＝45.7； 利用方案A4，期望为98×0.25+82×0.30﹣10×0.45＝44.6； 因为A3的期望最大，所以应选择的方案是A3，故答案为：A3． 自然状况 概率盈利方案 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 －20 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 －10 5．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______． 根据题意可得 ,则 . 故选：B. 1．若随机变量 的分布列如表，则 （     ） 1 2 3 4 A． B． C． D． $