7.2离散型随机变量及其分布列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列(1) 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 4.理解两点分布. 刘雨萌 摸球抽奖小实验 —— 用数据刻画随机结果 思考 多少种获奖可能?每一种获奖结果概率是多少?有没有不获奖的情况? 不透明袋子里装有3 个红球、2 个白球,这些球除颜色外完全相同 规定:从中一次性随机摸出 2 个球,包含有红球就能获得奖励,红球越多奖励越丰厚 创设背景,引入新知 摸球抽奖小实验 —— 用数据刻画随机结果 追问 1、在这个摸球试验里,可能出现哪些结果? 2、这些结果能不能用一个数字变量来表示? 这就需要用到本节课要学习的知识 离散型随机变量及其分布列 3、的可能取值有哪些?取值是有限个还是无限个? 4、的每个取值对应什么实际意义? 5、你最关心什么? 创设背景,引入新知 知识回顾 1.“随机试验”的概念 一般地,一个试验如果满足下列条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行; ②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验. 一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合 A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数 y和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数,记作: 随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢? 刘雨萌 问题提出 求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系, 如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 探究 有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.比如掷一枚骰子用实数? (? =1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为? ”, 请再一些例子. 探究新知 6 探究 有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即定义: 这个试验的样本点与实数就建立了对应关系. 要求 请再举一些例子 类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示 随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等, 探究新知 总结 由上述例子可以得到:对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。 即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X ,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X 的取值也具有随机性。 探究新知 探究 以下随机试验样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验, 变量 X 表示三个元件中的次品数; 分析 对于试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验,变量 X 表示三个元件中次品数; 如果用0表示“元件为合格品”, 1表示“元件为次品”, 用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点, 则样本空间: 1={000 , 001 , 010 , 100 , 011 , 101 , 110 , 111}, 各样本点与变量 X 的值的对应关系如右图所示. 探究新知 探究 以下随机试验样本空间是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量 Y 表示需要的抛掷次数. 分析 对于试验2,如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”, 例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”,则样本空间 2={h, th, tth, tth, ‧‧‧}. 2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量 Y 的值的 对应关系如下图所示: 探究新知 思考 以上两个随机试验,变量X,Y 有哪些共同的特征 (1)每一个样本点都有唯一的一个实数与之对应; (2)取值依赖于样本点; (3)所有可能取值是明确的. 定义 试验1中,随机变量的可能取值为0,1,2,3,共有4个值; 试验2中,随机变量的可能取值为1,2,3,…,有无限个取值, 但可以一一列举出来. 探究新知 定义 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量,例如X, Y, Z; 用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x, y, z. 小知识: 随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫(也翻译为契贝晓夫)(Chebyshev,1821-1894)在19世纪中叶建立和提倡使用的. 探究新知 典例分析 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)上海国际机场候机室中2018年10月1日的旅客数量; (2)2019年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间; (3)2019年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数; (4)体积为1000 cm3的球的半径长. 【解】 (1)候机室中的旅客数量可能是:0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量. (2)D36次济南至北京的列车,到达终点的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,亦可能晚点,故是随机变量. (3)在2019年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数是随机变化的,也可能多,也可能少,因此是随机变量. (4)体积为1000 cm3的球的半径长为定值,故不是随机变量. 刘雨萌 4.随机变量与函数的关系 (1)相同点 (2)不相同点 所谓随机变量,即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的,但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量x是实数,而在随机变量的概念中,随机变量X的自变量是试验结果,不一定是实数 5.连续型随机变量 连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量 知识概念 你能总结随机变量X的特点吗? (1)可以用数量来表示; (2)试验前可以判断其可能出现的所有值; (3)在试验前不能确定取何值. 刘雨萌 判断下列是离散型随机变量还是连续型随机变量并写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果: 巩固练习 (1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张,被取出的卡片的号数X . (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球数X. (3)抛掷两个骰子,所得点数之和X. (4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数X . (5)某一自动装置无故障运转的时间X. (6)某林场树木最高达30米,此林场树木的高度X . 离散型 连续型 ( X =1、2、3、 、10) (X=0、1、2、3) (X=2、3、4、 、12) (X=1、2、3、 、n、 ) (X取 内的一切值) (X取 内的一切值) 离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可取值按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区间的一切值,无法对其中的值一一列举. 刘雨萌 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用大写英文字母X,Y,Z…表示。 1、随机变量定义 2、随机变量的分类 ①离散型随机变量: X的取值可一、一列出 ②连续型随机变量: X可以取某个区间内的一切值 课堂小结——你学到了那些新知识呢? 3.随机变量与函数的关系 (1)相同点 (2)不相同点 刘雨萌 第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列(2) 学习目标 1.理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示. 2.掌握离散型随机变量的分布列的性质. 3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布). 刘雨萌 思考:抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值?取每个值的概率是多少? 新知探究 X可能的取值有1,2,3,4,5,6 列成表的形式 X 1 2 6 5 4 3 该表不仅列出了随机变量X的所有取值而且列出了X的每一个取值的概率. 刘雨萌 离散型随机变量的分布列及其性质 1.概念: 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列. 2.表示: 离散型随机变量的分布列可以用 或 表示. 表格 图形 解析式法:P(X=xi)=pi,i=1,2,3…,n 表格法: X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 图象法: 知识概念 刘雨萌 知识概念 3.性质 ①pi 0,i=1,2,…,n; ②p1+p2+…+pn= . 4.两点分布 若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布或0-1分布,并称p= 为成功概率. X 0 1 P ≥ 1 1-p p P(X=1) 刘雨萌 定义 我们称 X 服从两点分布(two-point distribution)或0-1分布. 实际上,X 为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). 举例 购买的彩券是否中奖,新生婴儿的性别,投篮是否命中等 探究新知 X 0 1 P 0.95 0.05 典例分析 例1: 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义 求 X 的分布列. 解析 刘雨萌 2.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于( ) 答案:B 巩固练习 刘雨萌 例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数? 的分布列以及? (? ≥4). 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 X 1 2 3 4 5 P 典例分析 刘雨萌 典例分析 例3. 一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 解:设挑选的2台电脑中? 品牌的台数为? ,则? 的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识,可得? 的分布列 X 0 1 2 P 超几何分布 刘雨萌 巩固练习. 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量 的分布列. 巩固练习 刘雨萌 上表称为离散型随机变量? 的概率分布列,简称为? 的分布列.有时为了表达简单,也用等式? (? =? ? )=? ? ,? =1,2,⋅⋅⋅,?  表示? 的分布列. 求分布列的步骤: (1)找出随机变量X的所有可能的取值 (2)求出各取值的概率P(X=xi)=Pi (3)列成表格. 课堂小结——你学到了那些新知识呢? 刘雨萌 离散型随机 变量及其分布列 课堂小结——你学到了那些新知识呢? 刘雨萌 课后作业 作业1:完成教材:第60页 练习1,2,3,4; 作业2:配套辅导资料对应的《离散型随机变量及其分布列》. 刘雨萌 解 ABD 随堂达标测验 解 D 随堂达标测验 解 C 随堂达标测验 解 随堂达标测验 随堂达标测验 解 随堂达标测验 本节内容结束 (练习第60页) 1.举出两个离散型随机变量的例子. 解: (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的次数; (2)某公共汽车站1分钟内等车的人数. 课后练习答案 2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)抛掷2枚骰子,所得点数之和; 解: (1)抛掷两枚骰子所得点数之和,能用离散型随机变量表示,各随机变量可能的取值分别为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. 2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11; 3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12;21; 4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13;22;31; 5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14;23;32;41; 6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15;51;24;42;33; 课后练习答案 2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)抛掷2枚骰子,所得点数之和; 7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16;61;25;52;34;43; 8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26;62;35;53;44; 9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36;63;45;54; 10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46;64;55; 11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56;65; 12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66. 解: 课后练习答案 2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (2)某足球队在5次点球中射进的球数; (2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示,各随机变量可能的取值分别为0,1,2,3,4,5 0表示5次点球中射进0球;1表示5次点球中射进1球;2表示5次点球中射进2球;3表示5次点球中射进3球;4表示5次点球中射进4球;5表示5次点球中射进5球. 解: 课后练习答案 2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (3)任意抽取一瓶标有1500 mL的饮料,其实际含量与规定含量之差. 解: (3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料, 其实际量与规定量之差, 不能用离散型随机变量表示. 课后练习答案 2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (3)任意抽取一瓶标有1500 mL的饮料,其实际含量与规定含量之差. 解: (3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料, 其实际量与规定量之差, 不能用离散型随机变量表示. 课后练习答案 3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分的分布列. 解: 设此运动员罚球1次的得分为X,则X的分布列为 X 0 1 P 0.3 0.7 (注:X 服从两点分布) 课后练习答案 4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次,写出正面向上次数 X 的分布列. 解: 所以正面向上的次数X的分布列为: 课后练习答案 A.0 B. C. D. 解析:设P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p. 依题意知,p=2(1-p),解得p=. 故P(X=0)=1-p=. 1.分布列是两点分布吗? 解析: 不是.因为X的取值不是0和1. 解:随机变量 的可能取值为3,4,5. 当 =3时,即取出的三只球中最大号码为3,则其他两只球的编号只能是1,2,故有P( =3)=; 当 =4时,即取出的三只球中最大号码为4,则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只, 故有P( =4)=; 当 =5时,即取出的三只球中最大号码为5,则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只,故有P( =5)=. 因此 的分布列为 3 4 5 P 对于ABD,ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征,故ABD符合; 对于C,一天内的温度变化的范围是连续的,无法逐一列出,故C不符合. 故选:ABD. 1.(多选)下列叙述中, 可以做离散型随机变量的是( ) A.某座大桥未来 经过的车辆数 B.某网站未来 内的点击量 C.一天之内的温度 D.一位射击手对目标进行射击, 击中目标得1分,未击中目标得0分,用 表示该射击手在一次射击中的得分 由题意得:两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10, 共9个.故选:D 2.袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现 在在有放回的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量 , 则 所有可能取值的个数是( ). A.25 B.10 C.15 D.9 设“ ”表示1次试验失败,“ ”表示1次试验成功. 则 ,又 , 所以: ,故选:C. 3.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量 去描述1次试验 的成功次数,则 ( ). A.1 B. C. D. ; ; ; . X 0 1 2 4 P X的分布列为 4.有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在三张卡片上分别写上0,1,2, 现从中任意抽取一张,将其上的数字记作x,然后放回,再抽取一张,将其 上的数字记作y,令X=x•y.求X的分布列. 5.为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的 含量(单位:毫克),测量数据如下: 编号 1 2 3 4 5 x y 如果产品中的微量元素x,y满足 且 时,该产品为优等品.现从 上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数X的概率分布. 5件抽测品中有2件优等品,则X服从超几何分布 , , . X 0 1 2 P ∴优等品数X的概率分布为: $