第34讲 比例、相似图形与位似图形（复习讲义，3考点+15题型）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 图形的变化 第03讲 比例、相似图形与位似图形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 11 命题点一 比例线段 题型01比例的性质 题型02成比例线段 题型03黄金分割 题型04平行线分线段成比例 题型05平行线所截线段 命题点二 相似图形 题型01图形的相似 题型02相似图形的判断 题型03相似图形的性质 命题点三 位似图形 题型01位似图形的判断 题型02判断位似中心 题型03位似图形的相似比 题型04根据位似的性质求位似图形的面积 题型05作位似图形 题型06求位似图形的坐标 题型07在坐标系上求图形的周长面积 05·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 比例线段 / / 丽水卷T14 1. 了解比例的基本性质、成比例线段； 2. 了解黄金分割。 相似图形 / / / 1. 理解相似图形概念； 2. 掌握性质：对应角相等，对应边成比例，周长比=相似比，面积比=相似比平方； 位似图形 浙江卷T6 浙江卷T6 嘉兴卷T5 1. 了解位似图形概念； 2. 知道位似是特殊相似，能利用位似放大或缩小图形。 命题预测 在近三年的浙江省中考中，相似图形和位似图形的考查呈现出由单独考点向综合性题目发展的趋势，特别是相似三角形的判定和比例计算，往往与其他几何图形结合出现。位似则越来越注重图形的放缩比例与面积、周长的关系，强调比例系数的计算和应用。未来中考可能会进一步强化综合性、情境化题目，并且结合更多实际应用场景进行考察。备考策略上，建议学生在巩固基础知识的同时，注重通过构造辅助线和做比例链条来解决综合题，逐步提高解题的逻辑推理能力和应用能力。 考点一 比例的概念与性质 1. 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2. 比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 3. 比例的性质： 1）基本性质： 2）变形： 核心内容： 3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. 5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为： 2）一条线段的黄金分割点有两个. 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 6）平行线分线段成比例定理 4. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 可得等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1.（25-26九年级上·河北保定·期末）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 2.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则________． 【答案】3 【分析】本题考查比例的性质，根据设， ，代入计算即可． 【详解】解：设， ， 则 ． 故答案为：3． 3.（2024·甘肃陇南·一模）已知，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，不妨设，（），然后代入计算即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴不妨设，（）， ∴． 故答案为：． 4.（2025·上海·模拟预测）如果为和u的比例中项，则u的值为_________． 【答案】27 【分析】本题考查比例中项的概念，根据比例中项的概念写出比例，再根据比例的性质即可求出u的值． 【详解】∵为和u的比例中项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：27． 5.（2024·甘肃陇南·一模）已知点是线段的黄金分割点，且，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的应用，解一元二次方程，设的长为，则的长为，根据黄金分割点的定义，可得，然后列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，则的长为， ∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ ∵，， ∴ ∴（舍去负值） ∴． 故答案为：． 6.（2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：∵某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点二 相似图形 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1.（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2.（2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，相似图形要求形状相同，大小可能不同．反比例函数图像无论k值如何，形状相同，一定相似；等腰三角形不一定相似；菱形和矩形对应角不一定相等或边不一定成比例，不一定相似． 【详解】解：等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； ∵反比例函数的图像是双曲线，通过缩放可重合，形状相同； ∴反比例函数图像一定相似． ∵菱形的对应角不一定相等（例如，一个菱形的内角为，另一个菱形的内角为），所以菱形不一定相似。 ∵矩形的长宽比不一定相同（如正方形与长方形），对应边不成比例； ∴矩形不一定相似． 故选：B． 3.（2019·上海松江·一模）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了相似多边形的判定，菱形，矩形和等边三角形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，故D符合题意． ∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 4.（2025·上海·模拟预测）下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键． 根据相似图形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意； B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意； C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意； D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意； 故选：C． 5.（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 考点三 位似图形 1. 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 2. 常见的位似图形： 3. 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 4. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 5. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 6. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 1.（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论． 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 2.（2026·重庆·模拟预测）如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 3.（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离及位似三角形的性质．根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与关于点P位似，且相似比为， ∴与的面积比为， 故选：C． 4.（2026·四川成都·一模）如图，与位似，点为位似中心．已知，的面积是8，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查位似的性质．根据面积比等于位似比的平方计算即可． 【详解】解： 与位似，点O是位似中心， ， ， ∴， ， ， 的面积为8， 故的面积为． 故选：A． 5.（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 6.（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 命题点一 比例线段 ►题型01 比例的性质 【典例1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）若，则___________． 【答案】 【分析】将所求分式拆分变形，结合已知比例关系代入计算即可得到结果． 【详解】解： 【变式1-1】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）已知两条线段的长分别为a，b，且，则________． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出a与b的关系，再将其代入进行化简求值． 【详解】解：∵， ∴， 将代入，得到， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）若，则代数式______． 【答案】/ 【分析】已知分式比例关系，可通过设参数法将、用同一参数表示，代入所求代数式化简求值． 【详解】解：由，设，（，因分式分母不能为0）， 将，代入， 得：（，约去） 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，等式的基本性质， 先根据已知等式，利用等式的基本性质用含的代数式表示，再代入所求比例化简计算． 【详解】解：由，根据等式的基本性质，得，即． 将代入，得： ． 故答案为：． ►题型02 成比例线段 【典例2】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 【变式2-2】（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段． 根据成比例线段的概念，对各组线段按从小到大排序，计算判断即可． 【详解】解：A．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； B．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； C．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； D．排序为，，，，，，，该组线段成比例． 故选：D． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． ►题型03 黄金分割 【典例3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金比例是解答的关键． 根据黄金分割定义求得即可求解． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金三角形，先根据为黄金三角形，，求出，再根据为黄金三角形，求出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴． 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·山西晋中·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：． 故选C． ►题型04 平行线分线段成比例 【典例4】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点D为边上的黄金分割点（），点G为的重心，连接．若，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，黄金分割性质，三角形重心性质，逐一判断即得． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A正确： B、延长交于点H，连接并延长交于点I， ∵点D为边上的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∵点G为的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， 即，同理， ∵是的中线，，， ∴， ∴， ∴B正确； C、∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴， ∴． ∴D不正确． 【点睛】本题考查了相似三角形综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，黄金分割性质，三角形重心性质，是解题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，根据以上知识，结合图形逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 故选：D ． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． ►题型05 平行线所截线段 【典例5】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，分别是边上的点，且，若，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，可得，由，可求，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级下·上海·开学考试）如图，为边上的中线，，点、分别为、与的交点，则____________． 【答案】 【分析】本题考查平行线所截线段比例相等，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，交于点，易得，再根据，，得出BM线段上相关的比例关系，最终得出，故可得出最后结果． 【详解】解：过点作，交于点，交于点，交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 结合， 可解得， ， ， ∴， ∴， 故最后结果为． 【变式5-2】（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴ 故选：A． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，若，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 命题点二 相似图形 ►题型01 图形的相似 【典例1】（甘肃省金昌市202-20254学年第二学期九年级学业质量调研（问卷）数学试卷）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】此题考查了相似图形的定义．根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形），对各选项逐一分析，利用排除法确定正确选项． 【详解】解：相似图形的定义是对应角相等、对应边成比例的图形， A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； B选项：两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； C选项：两个正方形的所有内角均为，各角都相等，且各边均相等，对应边的比值一定相等， ∴一定相似； D选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义． 根据相似变换进行求解即可． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（    ） A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握：把形状相同的图形叫做相似图形，相似图形之间的互相变换称为相似变换．据此分析即可． 【详解】解：用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，属于图形的形状相同，大小不相同， ∴这种图形的变换是相似变换． 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法；由相似多边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：相似多边形是指边数相同且对应角相等、对应边成比例的平面图形，题中图形角度都是90度，只需对应边成比例即可， A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． ►题型02 相似图形的判断 【典例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·月考）如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有______．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】此题主要考查了相似图形判定，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形、正五边形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件 故答案为：②③． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列图形中有可能与图相似的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相似，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 ►题型03 相似图形的性质 【典例3】（23-24九年级上·陕西西安·月考）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．也考查了相似多边形的性质．先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，某文创店以三星堆博物馆“黄金面具”为主题，设计了一款边长为的正方形纪念徼章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徼章．若以顶点A为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到正方形正方形，且相似比为，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形正方形，且相似比为， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 命题点三 位似图形 ►题型01 位似图形的判断 【典例1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 故选：． 【变式1-3】（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B ►题型02 判断位似中心 【典例2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是__________． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论． 连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为或． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． ►题型03 位似图形的相似比 【典例3】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误，符合题意 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明△△，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：正方形和正方形是位似图形， ， △△， ， ， 故选：A． 【变式3-2】（19-20九年级上·河南洛阳·月考）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．C，O，三点在同一直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形是相似形是解题的关键． 直接利用位似图形的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，故选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式3-3】（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握位似图形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的性质可得，然后推出，得到，那么四边形的周长与四边形的周长的比等于，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，且， ， ， ， ∴四边形的周长与四边形的周长的比为， ∵四边形的周长是2， ∴四边形的周长为6． 故选：B． ►题型04 根据位似性质求位似图形的面积 【典例4】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（   ） A． B． C． D．，，三点共线 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，， 故选项C错误，符合题意． 【变式4-1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则__________． 【答案】16 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质： 先由位似图形得到，则，然后求出，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的概念，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A ． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是_________． 【答案】 【分析】本题考查位似的性质，掌握位似的性质是解题的关键． 根据比例关系，求出，再根据位似的性质，可得且相似比为，最后根据“面积之比是相似比的平方”，计算即可求解． 【详解】解： ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， 与的相似比为， 则面积比为． 故答案为：． ►题型05 作位似图形 【典例5】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； (3)在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是． 【点睛】一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且相似比为2； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为A的对应点，同样方法作出B，C的对应点、，依次连接、、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的点坐标． 【详解】（1）解： 即为所求 （2）解：由图可得点的坐标为． 【变式5-2】（25-26九年级上·广西来宾·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，的顶点和点M都在小正方形的顶点上． (1)在的右边画出以点M为位似中心，将放大2倍后的图形． (2)在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，以坐标原点为位似中心，将放大，记所得三角形为．若点A的对应点的横坐标为6，直接写出的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)点的坐标为 【分析】（1）连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接并延长到F，使，首尾顺次连接D、E、F； （2）以点A的坐标为，点B的坐标为，建立平面直角坐标系，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并延长到，使，首尾顺次连接． 【详解】（1）解：如图，连接并延长到D，使， 连接并延长到E，使， 连接并延长到F，使， 首尾顺次连接D、E、F， 即为所求． （2）解：以点A的坐标为，点B的坐标为，建立平面直角坐标系，如图所示． 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 首尾顺次连接，得到，如图所示． 由题意得，与的相似比为， 由图可得，点的坐标为． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到；（的对应点是，的对应点是） (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查了位似变换、旋转变换的作图方法，熟练运用相关性质和步骤是解答本题的关键． （1）利用位似变换的性质，结合位似中心和放大比例确定、的位置； （2）将的各顶点绕点顺时针旋转，结合旋转方向和角度确定、、的位置，进而画出． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． ►题型06 求位似图形的坐标 【典例6】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与关于原点位似，与的相似比为，得，，因为点在第一象限，所以点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），与的相似比为， ∴ ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 【变式6-1】（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论． 连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：． ∴， 当时，，即点． 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】位似图形的对应边互相平行，对应点的连线所在的直线交于位似中心． 根据点的对应点分类讨论，利用待定系数法求出直线的函数解析式，联立求出交点坐标，即位似中心的坐标． 【详解】解： ①当点的对应点为点时，如图， ∵四边形是正方形， 又∵点C的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ②当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； ③当点的对应点为点时，如图， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ④当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； 综上所述，位似中心的坐标为或 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内把按位似比为缩小，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把A点的横、纵坐标都乘以即可求解． 【详解】解：∵把按位似比为缩小，且在原点异侧，点A的对应点为点C， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． ►题型07 在坐标系上求图形的周长、面积 【典例7】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【变式7-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（  ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，核心知识点为：位似图形的对应边成比例，且该比例等于位似比．先根据对应点、的坐标求出相似比，再利用位似比结合的长度计算出的长度． 【详解】解：∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴相似比为． 又∵，已知， ∴； 故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的相似比． 根据题意可得与的相似比，即可得线段的长度． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵， ∴线段的长度是， 故选：C． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，与位似，点是位似中心．若，则与的周长的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的性质，灵活运用位似图形的对应边成比例、周长比等于相似比是解题的关键． 根据，可先求出，再结合位似图形的性质得到相似比，进而求出与的周长比． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ． 故选：B． 1.（2026·广西柳州·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 2.（25-26九年级上·河北石家庄·期末）透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感，如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例的对应关系是解题的关键．利用平行线分线段成比例的性质，结合已知的线段比例关系，推导出所求线段的比例． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3.（25-26九年级上·重庆·月考）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似图形的性质，周长比等于位似比，位似比为，进而求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴与的相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为10， ∴的周长， 故选：A． 4.（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：连接、并延长，如图：交点即为它们的位似中心， ∴它们的位似中心为， 故选：D． 5.（22-23九年级上·河北沧州·期中）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键；因此此题可根据位似的性质逐项判断正误即可． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍得到， ∴，，，点，，三点在同一条直线上． ∴，， 综上，只有选项错误，符合题意． 故选． 6.（2025·甘肃张掖·二模）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，对已知等式进行变形，从而得的值． 【详解】解：，, ， 故答案为：． 7.（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】， ， 又， ， ， ，解得． 故答案为：． 8.（2026·重庆大渡口·一模）若，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，由比例关系设参数，代入表达式求值． 【详解】解：设（），则，， ， 故答案为：． 9.（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积之比为________． 【答案】 【分析】先根据位似图形的概念求出与的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：∵与位似， , ∵， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 10.（25-26九年级上·重庆长寿·月考）如图，三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了画位似图形： （1）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （2）直接求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：． 1.（2026·湖北·一模）如图，将正方形纸片对折得到折痕，连接线段，沿折痕折叠使落在线段上，点D的对应点为点N，连接线段．图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查正方形基本性质，相似三角形基本性质以及黄金分割比，能够正确作出辅助线证得三角形相似是解题关键； 延长，交的延长线交于点，先证得，进而，再通过折叠得，，，进而，，设，则， ，进而求出，进而可得到，进而可求解． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是正方形． ∴，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是， 故选：C． 2.（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在中，点D在边上，点E、F在边上，．下列条件中，不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据相似三角形的性质与判定，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， 选项A：∵，∴，∵，∴，∴，∴，不符合题意； 选项B：∵，∴，不能得到，符合题意； 选项C：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，不符合题意； 选项D：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，不符合题意； 故选：B． 3.（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律是解题的关键． 首先根据与是相似比为的位似图形，可知对应点的横纵坐标均为原来的倍，即可得到答案． 【详解】解：∵，与是相似比为的位似图形，点O为位似中心， ∴的坐标是 故选：B． 4.（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，与关于点O位似，若，，，则为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵， ∴, 故选：A． 5.（2026·上海长宁·一模）若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，设，则，代入解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 6.（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，先求出k，再根据“黄金三角形”的定义先求出，再求出即可． 【详解】解：如图①，设，则， ， ，， ， 整理得， ，即， 解得：（负值舍去）， ∵为“黄金三角形”， ，即， ， 为“黄金三角形”， ，即， ， 故答案为：． 7.（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，在中，点是的重心，连接，连接并延长交边于点，过点作交边于点．当时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心，勾股定理以及平行线分线段成比例定理；根据是重心，求出，因为是等腰直角三角形，勾股定理计算出 ，由，求出 ，相加即可求解． 【详解】解：是三角形的重心， ，， ， ， 在中， ∴ ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 8.（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)_______；_______ ； (2)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为：； (3)在网格中找到点，使得，并写出点的坐标_________． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了解三角形，作位似作图，垂直平分线的性质，熟练掌握相应的作图方法是解题关键． （1）根据网格构造直角三角形即可求解； （2）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可； （3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： 由正方形网格的特征可知，， 在中，， 在中，，， ， 故答案为：；； （2）如图，即为所求． （3）如上图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求， 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 9.（25-26九年级上·新疆塔城·月考）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上（网格线的交点），点的坐标分别为，，． (1)以点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； (3)连接，利用格点，在轴上找一点，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）利用位似图形的性质可得点的坐标分别为，，，再连线即可画出； （）根据旋转的性质画图即可； （）取格点，连接交轴于点，由平移的性质可知，故点即为所求； 本题考查了作位似图形，旋转作图，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 1.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 2.（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3.（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 4.（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 5.（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6.（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 7.（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 8.（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 9.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 10.（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 图形的变化 第03讲 比例、相似图形与位似图形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 11 命题点一 比例线段 题型01比例的性质 题型02成比例线段 题型03黄金分割 题型04平行线分线段成比例 题型05平行线所截线段 命题点二 相似图形 题型01图形的相似 题型02相似图形的判断 题型03相似图形的性质 命题点三 位似图形 题型01位似图形的判断 题型02判断位似中心 题型03位似图形的相似比 题型04根据位似的性质求位似图形的面积 题型05作位似图形 题型06求位似图形的坐标 题型07在坐标系上求图形的周长面积 05·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 比例线段 / / 丽水卷T14 1. 了解比例的基本性质、成比例线段； 2. 了解黄金分割。 相似图形 / / / 1. 理解相似图形概念； 2. 掌握性质：对应角相等，对应边成比例，周长比=相似比，面积比=相似比平方； 位似图形 浙江卷T6 浙江卷T6 嘉兴卷T5 1. 了解位似图形概念； 2. 知道位似是特殊相似，能利用位似放大或缩小图形。 命题预测 在近三年的浙江省中考中，相似图形和位似图形的考查呈现出由单独考点向综合性题目发展的趋势，特别是相似三角形的判定和比例计算，往往与其他几何图形结合出现。位似则越来越注重图形的放缩比例与面积、周长的关系，强调比例系数的计算和应用。未来中考可能会进一步强化综合性、情境化题目，并且结合更多实际应用场景进行考察。备考策略上，建议学生在巩固基础知识的同时，注重通过构造辅助线和做比例链条来解决综合题，逐步提高解题的逻辑推理能力和应用能力。 考点一 比例的概念与性质 1. 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2. 比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 3. 比例的性质： 1）基本性质： 2）变形： 核心内容： 3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. 5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为： 2）一条线段的黄金分割点有两个. 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 6）平行线分线段成比例定理 4. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 可得等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1.（25-26九年级上·河北保定·期末）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则________． 3.（2024·甘肃陇南·一模）已知，那么的值是__________． 4.（2025·上海·模拟预测）如果为和u的比例中项，则u的值为_________． 5.（2024·甘肃陇南·一模）已知点是线段的黄金分割点，且，那么__________． 6.（2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 考点二 相似图形 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1.（2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 2.（2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 3.（2019·上海松江·一模）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 4.（2025·上海·模拟预测）下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 5.（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 考点三 位似图形 1. 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 2. 常见的位似图形： 3. 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 4. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 5. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 6. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 1.（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 2.（2026·重庆·模拟预测）如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 3.（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 4.（2026·四川成都·一模）如图，与位似，点为位似中心．已知，的面积是8，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5.（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 6.（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 命题点一 比例线段 ►题型01 比例的性质 【典例1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）若，则___________． 【变式1-1】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）已知两条线段的长分别为a，b，且，则________． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）若，则代数式______． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知，则________． ►题型02 成比例线段 【典例2】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【变式2-2】（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-3】（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ►题型03 黄金分割 【典例3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·山西晋中·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（    ） A． B． C． D． ►题型04 平行线分线段成比例 【典例4】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点D为边上的黄金分割点（），点G为的重心，连接．若，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． ►题型05 平行线所截线段 【典例5】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，分别是边上的点，且，若，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 【变式5-1】（25-26八年级下·上海·开学考试）如图，为边上的中线，，点、分别为、与的交点，则____________． 【变式5-2】（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，若，那么的值为（   ） A． B． C． D． 命题点二 相似图形 ►题型01 图形的相似 【典例1】（甘肃省金昌市202-20254学年第二学期九年级学业质量调研（问卷）数学试卷）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【变式1-1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【变式1-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（    ） A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 相似图形的判断 【典例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·月考）如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有______．（填写序号） 【变式2-2】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列图形中有可能与图相似的是（    ） A． B． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． ►题型03 相似图形的性质 【典例3】（23-24九年级上·陕西西安·月考）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式3-1】（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【变式3-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，某文创店以三星堆博物馆“黄金面具”为主题，设计了一款边长为的正方形纪念徼章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徼章．若以顶点A为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是___________． 命题点三 位似图形 ►题型01 位似图形的判断 【典例1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 判断位似中心 【典例2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是__________． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 ►题型03 位似图形的相似比 【典例3】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（19-20九年级上·河南洛阳·月考）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．C，O，三点在同一直线 C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 ►题型04 根据位似性质求位似图形的面积 【典例4】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（   ） A． B． C． D．，，三点共线 【变式4-1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则__________． 【变式4-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．8 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是_________． ►题型05 作位似图形 【典例5】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； (3)在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且相似比为2； (2)写出点的坐标． 【变式5-2】（25-26九年级上·广西来宾·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，的顶点和点M都在小正方形的顶点上． (1)在的右边画出以点M为位似中心，将放大2倍后的图形． (2)在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，以坐标原点为位似中心，将放大，记所得三角形为．若点A的对应点的横坐标为6，直接写出的坐标． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到；（的对应点是，的对应点是） (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． ►题型06 求位似图形的坐标 【典例6】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【变式6-1】（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D．或 【变式6-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内把按位似比为缩小，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ►题型07 在坐标系上求图形的周长、面积 【典例7】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【变式7-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（  ） A． B．4 C． D．5 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，与位似，点是位似中心．若，则与的周长的比是（   ） A． B． C． D． 1.（2026·广西柳州·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 2.（25-26九年级上·河北石家庄·期末）透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感，如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·重庆·月考）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D． 4.（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5.（22-23九年级上·河北沧州·期中）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 6.（2025·甘肃张掖·二模）如果，那么______． 7.（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 8.（2026·重庆大渡口·一模）若，则的值为______． 9.（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积之比为________． 10.（25-26九年级上·重庆长寿·月考）如图，三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； (2)求的面积． 1.（2026·湖北·一模）如图，将正方形纸片对折得到折痕，连接线段，沿折痕折叠使落在线段上，点D的对应点为点N，连接线段．图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2.（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在中，点D在边上，点E、F在边上，．下列条件中，不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，与关于点O位似，若，，，则为（   ） A． B．3 C．4 D．6 5.（2026·上海长宁·一模）若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 6.（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是______． 7.（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，在中，点是的重心，连接，连接并延长交边于点，过点作交边于点．当时，求的长． 8.（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)_______；_______ ； (2)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为：； (3)在网格中找到点，使得，并写出点的坐标_________． 9.（25-26九年级上·新疆塔城·月考）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上（网格线的交点），点的坐标分别为，，． (1)以点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； (3)连接，利用格点，在轴上找一点，使得． 1.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3.（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4.（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 6.（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 7.（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 8.（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 9.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 10.（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $