微专题 与“4.1 线段”相关的“新定义”试题（含4种题型） 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册教材解读与拓展

【解析版】 微专题 与“4.1 线段”相关的“新定义”试题 【沪教版】六年级上册“4.1 线段”的相关的新定义试题核心是：以线段的中点、线段和差、两点间距离等课本基础概念为载体，命题者额外创设陌生的新概念、新规则、新运算，要求学生现场阅读理解定义，结合线段知识推理求解的题型；它不直接考查现成公式结论，重在信息迁移，区分学生的理解、转化与几何推理能力，属于线段基础内容的拓展创新题； 这类试题常见四类题型：一是新定义点，如 “等分点”“倍分点”“友好点” 等，给出点在线段上或延长线上的数量关系，根据定义列式求线段长或点的位置，常伴随分类讨论；二是新定义线段关系，规定两条线段满足特定倍数、差值关系，判断、证明或计算；三是新定义操作类，给出线段截取、移动规则，按步骤画图并计算；四是新定义运算，把线段长度对应特殊运算，结合线段和差求值。 第4章 线段与角 4.1 线段 1、点与线 （1）点 点是图形的基本元素之一； （如右图）我们通常用一个大写字母来表示点，图中的点可以记为：“点”； 【说明】1、点是图形的基本元素之一；点没有大小；通常用大写英文字母表示：点、点、点等； 2、通过点的运动，我们可以得到各种形状的线； （2）直线 直线：经过两个点只能画一条直线，因此我们得到：经过两点有且只有一条直线； 能够向两端无限延伸的线叫做直线． 表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示： 直线或直线，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序； ②直线也可以用一个小写字母来表示：直线； 【说明】直线能够向两端无限延伸； （3）射线 直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线； 表示方法：射线可以用表示它的端点和射线上任意一点（端点除外）的两个字母表示， 表示端点的字母要写在前面，如右上图的射线记作：“射线”； 【说明】射线有一个端点，不可度量；从端点向一个方向可以无限延伸； （4）线段 直线上任意两点间的部分（包括端点）叫作线段； 表示方法：线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示， 如右上图中的线段可以记作“线段”或“线段”，也可以用一个小写字母表示，记作“线段”； 我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离； 【说明】如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了；这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段； （5）线段、射线、直线完整对比表 2、画线段的和、差与线段的中点 （1）线段的和（或差） 单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示；因此，线段的长度可以像数一样做加法、减法运算．如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）； （2）利用直尺和圆规画线段的和与差 画一条线段等于两条线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差，最后利用刻度尺画；在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差； 【说明】在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段； （3）线段的中点 如果一条线段是条线段的和，就说线段是线段的倍，或线段是线段的分之一，记作：或；特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点； 题型1、新定义点 新定义点试题：点在线段上或直线（延长线）上，由定义转化线段等式、求线段长、确定位置；一般解题思路是： ① 圈出新定义里的等式；② 画图，分：点在线段上或在延长线上；③ 设未知数，用线段和差列式；④ 检验是否符合定义。 例1、新定义：已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和；若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”；那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【提示】根据“奇妙点”的定义以及线段的数量关系即可求解； 【答案】C； 【解析】由：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 所以，线段的“奇妙点”的个数是个； 故选：C； 【说明】本题主要考查了新定义，线段等分点的有关计算、线段之间的数量关系；正确理解题意是解答本题的关键； 例2、新定义：在直线上的三点，，，若满足，则称点是点关于点的“半距点”；如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则______cm． 【提示】根据题意分两种情况讨论：当点P在线段之间时；当点P在的反向延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可； 【答案】2或6； 【解析】解：如图所示，当点P在线段之间时， 根据题意可得：，即， 所以，cm； 当点P在的反向延长线上时，如图所示： 根据题意得：，即cm； 故答案为：2或6； 【说明】本题结合新定义，主要考查了线段的和差的计算； 例3、我们定义：如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是a，b的两部分，并且满足，那么这个点叫做这条线段的“三高四新点”； （1）如图1，点C是线段的“三高四新点”，且，则__________； （2）若点D也是(1)中线段的“三高四新点”（ 不同于C点），求与的数量关系； （3）如图2，点O是数轴原点，点D对应的数是3，点E对应的数是12，在点E处有一挡板．小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动．Q追上P时，两小球同时停止运动．设运动时间为t秒，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，请求出t的值． 【提示】（1）根据“三高四新点”的定义，列出方程即可得到答案； （2）根据“三高四新点”的定义，计算即可得到答案； （3）将分成三种情况，并且根据“三高四新点”的定义列出方程即可求解； 【答案】（1）7；（2）；（3）t=1，，，，，； 【解析】（1）因为，C是线段的“三高四新点”，且， 所以，， 所以，， 所以，； （2）因为，点也是（1）中线段“三高四新点”（不同于点）． 所以，， 所以，， 又因为，， 所以，； （3）由：①当时，点Q向右运动，点D是线段的“三高四新点” 此时D表示的数为， P表示的数为，Q表示的数为 ， 所以，，， 由 有   解得； 由  有解得 ； ②当时，点Q遇到挡板后向左运动，点D是线段的“三高四新点”   此时D表示的数为3，P表示的数为，Q表示的数为 ， 所以， 由有，  解得； 由有  解得； ③当时，点Q在D左侧，点Q是线段PD的“三高四新点”，   此时D表示的数为3，P表示的数为，Q表示的数为 ， 所以， ，， 由有 解得， 由 有解得， 综上所述， t=1，，，，，； 【说明】本题主要考查了在新定义“三高四新点”下的有理数的运算与一元一次方程的应用，掌握“三高四新点”是解题的关键； 题型2、新定义线段关系 新定义线段关系（不是定义一个点，而是定义 “两条线段之间满足某种关系”）试题：给出一个规则，若两条线段满足倍数、和差等式，就称这两条线段是 XX 线段；题型以判断、说理证明、求线段长为主；一般解题思路是：①读懂：哪两条线段，满足什么等式；②找出图中线段，用和差表示；③代入等式，计算或者说理判断；④有多个位置时分类讨论。 例4、新定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”；如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【提示】分四种情况求t的值，一是，则，求得；二是，则，求得；三是，则，求得，可知t的最大值为，最小值为，求出它们的差即得到问题的答案； 【答案】D； 【解析】因为，点P是线段的“美点”， 所以，或或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 因为，， 所以，t的最大值为，最小值为， 则，（秒）， 故选：D； 【说明】此题综合考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键； 例5、新定义：若线段上一点到这条线段两个端点的距离差是这条线段长度的一半，则称点为这条线段的远距分点；已知线段，若点是线段的远距分点时，则____________． 【提示】根据远距分点的定义，点R到端点A和B的距离差等于长度的一半，即，同时与的和为长度，据此列绝对值方程求解即可解答； 【答案】5或15； 【解析】设，则． 由定义，，即， 所以，或， 所以或． 所以，或． 故答案为：5或15； 【说明】本题考查了线段的和差、绝对值方程等知识点，理解“远距分点”的定义是解题的关键； 例6、提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出新定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0； 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． （1）如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． （2）如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： （3）如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 【提示】（1）根据点到线段距离的定义，判断点与线段的位置关系，计算距离； （2）根据，结合线段长度，分情况确定点对应的数； （3）设点表示的数为，则点表示的数为，设，再分阶段表示的位置，并求出此时S的最小值，进而即可求解； 【答案】（1），，；（2）4或8；（3）；、、、； 【解析】（1）由：由图可得，，，； （2）因为，线段长度为． 所以，当点在左侧时，对应的数为； 当点在右侧时，对应的数为； （3）设点表示的数为，则点表示的数为． 所以，线段覆盖范围为至， 设， 当在左侧时，此时，即， 所以， ， 则当时，取最小值，； 当点A在上时，此时， 所以， ， 则当时，取最小值：； 当在之间时，此时， ， 则当时，取最小值：； 当点在上时，此时， 所以， ， 则当时，取最小值：； 当在之间时，此时， 所以， ； 当点C在上时，此时， 所以， ， 则当时，取最小值：； 当在右侧时，即， 同理可计算，当时，，最小值为15； 当时，，最小值为17； 当时，，最小值为23； 所以，右侧阶段的最小值均大于13． 综上所述，距离和的最小值为13，此时点的取值范围， 所以，点可以取的整数为：； 【说明】本题主要结合新定义，考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义； 例7、对于点，线段，给出如下新定义：为线段上任意一点，若时，我们称为点在线段上的“截值”，记作； 例如如图，点在上，，则；反之当，则． （1）如图，数轴、两点对应的数为、，且满足． ①求的长度和的值为原点； ②点，分别从点、同时出发，相向运动，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为和，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． （2）如图，在三角形中，，，点，同时从点出发，点沿线段匀速运动至点．点沿线段，匀速运动至点，且点，同时到达点，设，当点运动到线段上时，请用含的式子图表示． 【分析】（1）①根绝对值的意义得出，，进而根据新定义，即可求解； ②根据由点向点运动时，当点由点向点时，分别列出方程，解方程，即可求解； （2）根据时间相等，则路程比等于速度比，进而表示出，根据新定义，即可求解； 【答案】（1）①，；②或；（2）； 【解析】（1）①因为，．， 所以，， 所以，点表示，点表示， 所以，， 所以，， ②因为，点和点的运动速度分别为和， 所以， 因为， 所以，点的运动时间为， 当点由点向点运动时，即时， ， 则， 解得， 当点由点向点时，即时， ， 则， 解得， 综上可知，或； （2）因为，， 所以，， 因为，点，同时到达点， 所以， 所以， 因为，， 所以，，即， 所以，，解得：， 所以，； 【说明】本题结合新定义考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，列代数式； 题型3、新定义操作类 新定义操作类的特点是：给一套操作规则（在一条线段上截取一段、往左右平移、叠放、多次截取），要求按步骤画图、列式计算，有的还需要分类讨论。 解题核心：跟着操作顺序，一步一步标注线段长度；先画图，再写每一步得到的线段等式。 例8、【问题背景】：学习完平面图形的初步认识后，我们知道，从动态角度理解：“线段可由点运动而形成”、“角可由一条射线绕它的端点旋转而形成”；同时我们还知道，如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的角平分线；以此类推：“线段的三等分点”，“角的三等分线”；……． 【发现结论】如图1，当点C为线段中点时，射线为的角平分线；当点C为的三等分点时，射线为的三等分线；当点C为的四等分点时，射线为的四等分线，…．我们发现结论：的长度与的大小可以形成一种一一对应的关系．这种关系我们可以用式子更形象地加以描述． 【定义概念】对于图1，当，我们把线段称为的特征线，称为线段的特征角，若把特征线的长度记为x，特征角的度数记为，特征线与特征角之间的对应关系则可以表示为：．例如：，，若，则线段的特征角，线段与之间的对应关系就可以表示为． 【知识应用】 在图2中，若线段，． （1）特征线与特征角之间对应的关系用描述是否符合对应规则，请说明理由． （2）当时，求线段的长度． （3）已知特征线与特征角之间的对应关系可用表示，当时，请在图2中仅用无刻度直尺和圆规画出射线的位置． 【提示】（1）根据新定义，计算判断即可； （2）根据定义求出，可得结论； （3）根据新定义构建方程组求出m，n，延长，作，射线即为所求； 【答案】（1）符合规则，（见解析） （2） （3）见解析 【解析】（1）符合规则， 理由如下， 因为，特征线与特征角之间对应的关系用， 所以，， 因为，， 所以，特征线与特征角之间对应的关系用描述符合对应规则； （2）由题意知，，解得， 所以，； （3） 根据题意得，解得， 【说明】本题依托新定义考查几何变换，涉及线段的和差定义，角的和差定义，解题的关键是理解新定义； 例9、如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且． （1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹） ①作射线； ②在线段上截取； ③在线段上截取． 恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”． （2）阅读下面材料，并完成相关问题； 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点． 已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米． 【提示】（1）根据基本尺规作图的一般步骤作出点E； （2）根据黄金分割的概念计算，得到答案； 【答案】（1）见解析；（2）7.08 【解析】（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”； （2）因为，点Q是MN的黄金分割点， 所以，MQ≈0.618MN＝18.54， 所以，QN＝MN﹣MQ＝11.46， 又因为，点P是MN的黄金分割点， 所以，NP≈0.618MN＝18.54， 所以，PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米）， 故答案为：7.08； 【说明】本题考查的是黄金分割的概念、黄金分割点的作法，掌握勾股定理、黄金分割的概念是解题的关键； 题型4、新定义运算 新定义运算试题是：规定一个关于线段长度的新运算符号（⊕、⊗、※等），运算对象是线段的长，先看懂运算公式，再结合线段和差求出线段长，代入运算求值；和前面三类区分：新定义点：定义点满足线段等式 新定义线段关系：两条线段满足倍数或和差关系；新定义操作：截取、平移等动作流程； 新定义运算：自定义一个算式（运算），输入线段长度，算出一个结果； 解题步骤： ① 读懂运算公式，分清谁是、谁是； ② 用线段和差求出对应线段的长度； ③ 代入新运算列式计算。 例10、新定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作； 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（     ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【提示】根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论； 【答案】A； 【解析】由：甲同学： 因为，点C在线段AB上，且， 所以， ， 所以， ， 所以，甲同学正确． 乙同学： 因为，点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点， 所以，有两种情况， ①当时，， ②当时，， 所以，乙同学错误． 故选：A； 【说明】本题主要考查了对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可； 例11、如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为为坐标原点．老师启发同学们根据所学知识先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，解决问题． 【独立思考】 （1）线段____________，___________，若线段中点表示的数是，线段中点表示的数是，则___________，___________． （2）若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为和，则这条线段中点表示的数为____________．（用含a，b的代数式表示） 【合作交流】 某学习小组经过探索给出如下新定义：在同一条直线上，两条线段中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”；例如：线段和的“平均距离”为： 【探索解题】 （3）求线段和线段的“平均距离”． （4）若线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒v个单位长度的速度向左运动，点和点静止不动，设运动时间为．若线段和线段的“平均距离”保持不变，求v的值． 【提示】（1）根据数轴上两点之间距离的表示方法以及中点公式，即可解答； （2）根据中点公式即可解答； （3）先求出线段中点表示的数和线段中点表示的数，再根据“平均距离”的定义即可解答； （4）根据题意求出线段和线段的“平均距离”，根据线段和线段的“平均距离”保持不变，得出t的系数为0，则，即可解答； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）由：数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为， 所以，， 故答案为：；     （2）因为，线段两个端点表示的数分别为和， 所以，这条线段中点表示的数为， 故答案为：； （3）因为，线段中点表示的数是，线段中点表示的数是， 所以，线段和线段的“平均距离”为， （4）由题意，得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 所以，线段的中点所表示的数是，线段的中点所表示的数是， 所以，线段和线段的“平均距离”为 因为，线段和线段的“平均距离”保持不变， 所以，，解得； 【说明】本题考查了数轴动点问题，掌握数轴上两点之间的距离，中点公式是解题的关键； 例12、对于有理数x，y，定义两种新运算“☆”与“¤”，规定：，； （1）计算：___________，___________． （2）若x，y满足且，化简：___________； （3）如图：已知数轴上A表示的数为10，点P为数轴上一动点，点M为线段AP的一个三等分点，设点P表示的数为x，点M表示的数为m； ①若关于x的方程有无数解，求b的值； ②若，求此时点P表示的数． 【提示】（1）根据题目所给定义，直接计算即可； （2）根据所给条件，代入计算即可； （3）①根据条件，分类讨论：当时，时，时，分别求出对应的值即可； ②同理，根据条件，分类讨论：当时，时，时，分别求出对应的值即可； 【答案】（1）3，；（2）；（3）①或，②或13或或； 【解析】（1），， （2）因为，，， 所以，， （3）①由题意得：有无数解； 当时：；当时方程有无数解； 当时：，即；此时方程有唯一解； 当时：；当时方程有无数解； 综上所述：或； ②由题意得：； 当时：，解得，此时点表示的数为或13； 当时：，无解； 当时：，解得，此时点表示的数为或； 综上所述：点表示的数为或13或或； 【说明】本题通过新定义考查了求一个数的绝对值、整式的加减运算、一元一次方程的应用之几何问题； 解题核心是先读懂定义，标注条件，回归线段和差、中点等基础知识，注意点在线段上、线段延长线上的多情况讨论；这类题是六年级线段章节难点，衔接初中几何说理，训练学生把陌生问题转化为熟悉线段计算问题的能力。 1．“两点之间，线段最短”这个语句是（    ） A．定理 B．基本事实 C．定义 D．假命题 【答案】B； 【解析】由：“两点之间，线段最短”这句话是基本事实；故选：B； 2．对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”；如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（    ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【提示】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； 【答案】D； 【解析】当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 所以，的值为或1． 故选：D． 3．如图，C是线段上任意一点，M，N分别是的三等分点且，，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【提示】本题考查了线段的和差与等分关系，解题的关键是通过线段等分关系将转化为的比例形式． 先根据三等分点得出、，再将表示为，结合，代入的长度计算得； 【答案】C； 【解析】由：已知是的三等分点（）， 则； 是的三等分点（）， 则． ． 因为， 所以． 故选C； 4．已知点C在线段上，，，点M是的中点，且点N是的三等分点，则线段的长度为（　　） A．11或14 B．11或17 C．17 D．14 【提示】本题考查线段中点有关的计算问题，根据点M是的中点，得到，根据三等分点，得到或，最后根据求解即可，需要注意的三等分点有两个点； 【答案】B； 【解析】因为，，点M是的中点， 所以，， 因为，，点N是的三等分点， 所以，或， 所以，或， 即线段的长度为11或17， 故选：B． 5．新定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”；如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为 【提示】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键；分四种情况求t的值，一是，则，求得；二是，则，求得；三是，则，求得，可知t的最大值为，最小值为，求出它们的差即得到问题的答案； 【答案】； 【解析】因为，点P是线段的“美点”， 所以，或或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， 因为，， 所以，t的最大值为，最小值为， 所以，（秒）， 6．如果在同一直线上的三点满足（即点到点的距离是点到点距离的2倍），那么我们称点是点对（）的一个分点．若点在线段上，则称点为的内分点：若点在线段的延长线上，则称点为的外分点；同理，如果在同一直线上的三点满足，那么我们称点是点对的一个分点；已知数轴上两点所对应的数分别是4和．若点，分别从点同时出发，以4个单位/秒和3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点时两点停止运动．在点的运动过程中，存在点既是点对的分点，也是点对的分点，则运动时间的值为____________． 【提示】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离以及一元一次方程的求解．正确表示出各点在数轴上对应的数是解题关键；分类讨论点在线段上运动和点在的延长线上运动的情况，根据内分点和外分点画出对应图形即可求解； 【答案】或； 【解析】点在线段上运动，即， 设点表示的数为， 当点既是点对的外分点，也是点对的内分点时，如图所示， 所以，， 所以，，， 所以，， 所以， 解得； 当点既是点对的外分点，也是点对的外分点时，如图所示： 所以，，， 所以，，， 所以，，， 所以，， 解得； 综上所述，的值为或． 故答案为：或； 7．如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点” （1）线段中点______（选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”； （2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则______时，点是线段的“两倍分点”． 【提示】本题考查线段之间的数量关系，与线段中点有关的计算： （1）根据中点的性质以及“两倍分点”的定义，进行判断即可； （2）分四种情况进行讨论求解即可； 【答案】是；，12，18； 【解析】（1）一条线段的中点把这条线段分成相等的两部分，这条线段是每一部分的2倍，所以一条线段的中点是这条线段的“两倍分点”， 故答案为：是； （2）因为，，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动， 所以，， 因为，点是线段的“两倍分点” 所以，点在线段上， 所以，， 当点运动到点时，所需时间为秒， 所以，， 当时：，解得：； 当时：，解得：； 当时：； 当时：，解得：； 故答案为：，12，18． 8．如图，点在线段上，图中共有三条线段，和BC，若线段的长度是其中一条线段长度的倍，则称是线段 的“好点”． （1）线段的中点_____这条线段的“好点”；（填“是”或“不是”） （2）若，是线段的“好点”，则的长为_____． 【提示】（）根据“好点”的定义即可求解； （）分，两种情况讨论，分别求解即可； 本题考查线段的和差倍分，能理清题意，并根据题意进行判断及能分情况讨论是解题的关键； 【答案】不是； 或； 【解析】（）若是中点， 则， 不符合“好点”的定义， 故答案为：不是； （）当， 所以，； 当， 所以，； 所以，， 故答案为：或． 9．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称线段是线段的和谐线段；在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段是线段的和谐线段，则的值为___________． 【提示】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键； 根据和谐线段的定义，线段的中点是线段的一个三等分点，由于线段的三等分点有两个，需要分两种情况讨论，根据互为和谐线段的定义列方程求解即可； 【答案】10或13； 【解析】当线段的中点是线段的靠左的三等分点， 因为， 所以，， 解得； 当线段的中点是线段的靠右的三等分点， 因为， 所以，， 解得； 综上可知，x的值为10或13． 10．新定义：在同一条直线上，我们把具有公共端点的两条线段称为“共端点线段”；例如：在同一条直线上的线段和线段有公共端点，则这两条线段是“共端点线段”，若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为____________． 【提示】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想；考虑点A和点C位于公共端点B的同侧或异侧两种情况进行计算； 【答案】或； 【解析】设公共端点为B，线段长度为，线段长度为，的中点为M，的中点为N， 当点A和点C在点B的异侧时，点M与点N分别位于点B的两侧，则 ； 当点A和点C在点B的同侧时，点M与点N位于点B的同一侧，则； 综上，这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． 11．【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，，判断点C是否为线段的巧点，并说明理由； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由． 【提示】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）根据题意求出，，然后根据“巧点”的定义判断即可； （3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得， ②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解； 【答案】（1）是；（2）8或12或16； （3）t为或4.5或，理由如下：见解析； 【解析】（1）因为，C是线段的中点， 所以，， 所以， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以， 所以，点C是线段的巧点； （3） t为或4.5或，理由如下： ①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图， 所以，， 因为，，， 所以，， 所以，， 解得：， (ⅱ)如图， 所以，， 因为，，， 所以，， 所以，， 解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图， 所以，， 因为，，， 所以，， 所以，， ， 所以，， 解得：； (ⅱ)如图， 所以，， 同理可得： 所以，， 解得：，此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或4.5或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”； 12．直线l上的三个点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”， ． （1）①当点P在点N的左侧时，求的长度； ②当点P在点N的右侧时，求的长度； （2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度； 【提示】（1）①可求，由即可求解；②可求，由即可求解；（2）①当点P在点N的左侧时， 可求，由即可求解；②当点P在点N的右侧时， 可求，由即可求解； 【答案】（1）①；②；（2）或； 【解析】（1）解：①如图，    因为点P是点M关于点N的“半距点”，， 所以， 所以 ， 故的长度为； ②如图，    因为点P是点M关于点N的“半距点”，， 所以， 所以 ， 故的长度为． （2）解：①当点P在点N的左侧时，如图，    由（1）得：，， 因为点G是线段的中点， 所以， 所以 ； ②当点P在点N的右侧时，如图，    由（1）得：， 因为点G是线段的中点， 所以， 所以 ； 综上所述：线段的长度或； 第6页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 与“4.1 线段”相关的“新定义”试题 【沪教版】六年级上册“4.1 线段”的相关的新定义试题核心是：以线段的中点、线段和差、两点间距离等课本基础概念为载体，命题者额外创设陌生的新概念、新规则、新运算，要求学生现场阅读理解定义，结合线段知识推理求解的题型；它不直接考查现成公式结论，重在信息迁移，区分学生的理解、转化与几何推理能力，属于线段基础内容的拓展创新题； 这类试题常见四类题型：一是新定义点，如 “等分点”“倍分点”“友好点” 等，给出点在线段上或延长线上的数量关系，根据定义列式求线段长或点的位置，常伴随分类讨论；二是新定义线段关系，规定两条线段满足特定倍数、差值关系，判断、证明或计算；三是新定义操作类，给出线段截取、移动规则，按步骤画图并计算；四是新定义运算，把线段长度对应特殊运算，结合线段和差求值。 第4章 线段与角 4.1 线段 1、点与线 （1）点 点是图形的基本元素之一； （如右图）我们通常用一个大写字母来表示点，图中的点可以记为：“点”； 【说明】1、点是图形的基本元素之一；点没有大小；通常用大写英文字母表示：点、点、点等； 2、通过点的运动，我们可以得到各种形状的线； （2）直线 直线：经过两个点只能画一条直线，因此我们得到：经过两点有且只有一条直线； 能够向两端无限延伸的线叫做直线． 表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示： 直线或直线，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序； ②直线也可以用一个小写字母来表示：直线； 【说明】直线能够向两端无限延伸； （3）射线 直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线； 表示方法：射线可以用表示它的端点和射线上任意一点（端点除外）的两个字母表示， 表示端点的字母要写在前面，如右上图的射线记作：“射线”； 【说明】射线有一个端点，不可度量；从端点向一个方向可以无限延伸； （4）线段 直线上任意两点间的部分（包括端点）叫作线段； 表示方法：线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示， 如右上图中的线段可以记作“线段”或“线段”，也可以用一个小写字母表示，记作“线段”； 我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离； 【说明】如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了；这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段； （5）线段、射线、直线完整对比表 2、画线段的和、差与线段的中点 （1）线段的和（或差） 单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示；因此，线段的长度可以像数一样做加法、减法运算．如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）； （2）利用直尺和圆规画线段的和与差 画一条线段等于两条线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差，最后利用刻度尺画；在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差； 【说明】在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段； （3）线段的中点 如果一条线段是条线段的和，就说线段是线段的倍，或线段是线段的分之一，记作：或；特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点； 题型1、新定义点 新定义点试题：点在线段上或直线（延长线）上，由定义转化线段等式、求线段长、确定位置；一般解题思路是： ① 圈出新定义里的等式；② 画图，分：点在线段上或在延长线上；③ 设未知数，用线段和差列式；④ 检验是否符合定义。 例1、新定义：已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和；若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”；那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、新定义：在直线上的三点，，，若满足，则称点是点关于点的“半距点”；如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则______cm． 例3、我们定义：如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是a，b的两部分，并且满足，那么这个点叫做这条线段的“三高四新点”； （1）如图1，点C是线段的“三高四新点”，且，则__________； （2）若点D也是(1)中线段的“三高四新点”（ 不同于C点），求与的数量关系； （3）如图2，点O是数轴原点，点D对应的数是3，点E对应的数是12，在点E处有一挡板．小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动．Q追上P时，两小球同时停止运动．设运动时间为t秒，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，请求出t的值． 题型2、新定义线段关系 新定义线段关系（不是定义一个点，而是定义 “两条线段之间满足某种关系”）试题：给出一个规则，若两条线段满足倍数、和差等式，就称这两条线段是 XX 线段；题型以判断、说理证明、求线段长为主；一般解题思路是：①读懂：哪两条线段，满足什么等式；②找出图中线段，用和差表示；③代入等式，计算或者说理判断；④有多个位置时分类讨论。 例4、新定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”；如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 例5、新定义：若线段上一点到这条线段两个端点的距离差是这条线段长度的一半，则称点为这条线段的远距分点；已知线段，若点是线段的远距分点时，则____________． 例6、提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出新定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0； 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． （1）如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． （2）如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： （3）如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 例7、对于点，线段，给出如下新定义：为线段上任意一点，若时，我们称为点在线段上的“截值”，记作； 例如如图，点在上，，则；反之当，则． （1）如图，数轴、两点对应的数为、，且满足． ①求的长度和的值为原点； ②点，分别从点、同时出发，相向运动，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为和，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． （2）如图，在三角形中，，，点，同时从点出发，点沿线段匀速运动至点．点沿线段，匀速运动至点，且点，同时到达点，设，当点运动到线段上时，请用含的式子图表示． 题型3、新定义操作类 新定义操作类的特点是：给一套操作规则（在一条线段上截取一段、往左右平移、叠放、多次截取），要求按步骤画图、列式计算，有的还需要分类讨论。 解题核心：跟着操作顺序，一步一步标注线段长度；先画图，再写每一步得到的线段等式。 例8、【问题背景】：学习完平面图形的初步认识后，我们知道，从动态角度理解：“线段可由点运动而形成”、“角可由一条射线绕它的端点旋转而形成”；同时我们还知道，如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的角平分线；以此类推：“线段的三等分点”，“角的三等分线”；……． 【发现结论】如图1，当点C为线段中点时，射线为的角平分线；当点C为的三等分点时，射线为的三等分线；当点C为的四等分点时，射线为的四等分线，…．我们发现结论：的长度与的大小可以形成一种一一对应的关系．这种关系我们可以用式子更形象地加以描述． 【定义概念】对于图1，当，我们把线段称为的特征线，称为线段的特征角，若把特征线的长度记为x，特征角的度数记为，特征线与特征角之间的对应关系则可以表示为：．例如：，，若，则线段的特征角，线段与之间的对应关系就可以表示为． 【知识应用】 在图2中，若线段，． （1）特征线与特征角之间对应的关系用描述是否符合对应规则，请说明理由． （2）当时，求线段的长度． （3）已知特征线与特征角之间的对应关系可用表示，当时，请在图2中仅用无刻度直尺和圆规画出射线的位置． 例9、如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且． （1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹） ①作射线； ②在线段上截取； ③在线段上截取． 恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”． （2）阅读下面材料，并完成相关问题； 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点． 已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米． 题型4、新定义运算 新定义运算试题是：规定一个关于线段长度的新运算符号（⊕、⊗、※等），运算对象是线段的长，先看懂运算公式，再结合线段和差求出线段长，代入运算求值；和前面三类区分：新定义点：定义点满足线段等式 新定义线段关系：两条线段满足倍数或和差关系；新定义操作：截取、平移等动作流程； 新定义运算：自定义一个算式（运算），输入线段长度，算出一个结果； 解题步骤： ① 读懂运算公式，分清谁是、谁是； ② 用线段和差求出对应线段的长度； ③ 代入新运算列式计算。 例10、新定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作； 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（     ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 例11、如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为为坐标原点．老师启发同学们根据所学知识先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，解决问题． 【独立思考】 （1）线段____________，___________，若线段中点表示的数是，线段中点表示的数是，则___________，___________． （2）若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为和，则这条线段中点表示的数为____________．（用含a，b的代数式表示） 【合作交流】 某学习小组经过探索给出如下新定义：在同一条直线上，两条线段中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”；例如：线段和的“平均距离”为： 【探索解题】 （3）求线段和线段的“平均距离”． （4）若线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒v个单位长度的速度向左运动，点和点静止不动，设运动时间为．若线段和线段的“平均距离”保持不变，求v的值． 例12、对于有理数x，y，定义两种新运算“☆”与“¤”，规定：，； （1）计算：___________，___________． （2）若x，y满足且，化简：___________； （3）如图：已知数轴上A表示的数为10，点P为数轴上一动点，点M为线段AP的一个三等分点，设点P表示的数为x，点M表示的数为m； ①若关于x的方程有无数解，求b的值； ②若，求此时点P表示的数． 解题核心是先读懂定义，标注条件，回归线段和差、中点等基础知识，注意点在线段上、线段延长线上的多情况讨论；这类题是六年级线段章节难点，衔接初中几何说理，训练学生把陌生问题转化为熟悉线段计算问题的能力。 1．“两点之间，线段最短”这个语句是（    ） A．定理 B．基本事实 C．定义 D．假命题 2．对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”；如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（    ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 3．如图，C是线段上任意一点，M，N分别是的三等分点且，，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知点C在线段上，，，点M是的中点，且点N是的三等分点，则线段的长度为（　　） A．11或14 B．11或17 C．17 D．14 5．新定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”；如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为 6．如果在同一直线上的三点满足（即点到点的距离是点到点距离的2倍），那么我们称点是点对（）的一个分点．若点在线段上，则称点为的内分点：若点在线段的延长线上，则称点为的外分点；同理，如果在同一直线上的三点满足，那么我们称点是点对的一个分点；已知数轴上两点所对应的数分别是4和．若点，分别从点同时出发，以4个单位/秒和3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点时两点停止运动．在点的运动过程中，存在点既是点对的分点，也是点对的分点，则运动时间的值为____________． 7．如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点” （1）线段中点______（选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”； （2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则______时，点是线段的“两倍分点”． 8．如图，点在线段上，图中共有三条线段，和BC，若线段的长度是其中一条线段长度的倍，则称是线段 的“好点”． （1）线段的中点_____这条线段的“好点”；（填“是”或“不是”） （2）若，是线段的“好点”，则的长为_____． 9．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称线段是线段的和谐线段；在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段是线段的和谐线段，则的值为___________． 10．新定义：在同一条直线上，我们把具有公共端点的两条线段称为“共端点线段”；例如：在同一条直线上的线段和线段有公共端点，则这两条线段是“共端点线段”，若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为____________． 11．【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，，判断点C是否为线段的巧点，并说明理由； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由． 12．直线l上的三个点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”， ． （1）①当点P在点N的左侧时，求的长度； ②当点P在点N的右侧时，求的长度； （2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度； 第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $