精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一下学期3月阶段评估数学试卷

高一数学三月阶段评估 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 2. 已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 3. 若，，则________. 4. 函数的最小值为________. 5. 函数的定义域是________. 6. 已知为第三象限角，，则________. 7. 函数的最小正周期为________. 8. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 9. 在中，若、是方程的两根，则角________. 10. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 11. 如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是______. 12. 如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 13. 若方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 16. 已知狄利克雷函数，设，有以下两个结论：①函数是周期函数；②函数的值域是.则以下说法正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 18. 某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN. （1）求M，N两地间的直线距离； （2）求观光线路长的取值范围. 19. 已知，. （1）若函数是偶函数，求的值； （2）当时，求函数，的单调增区间； （3）令，若函数，的最大值为1，求的取值范围. 20. 若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题： （1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明） （2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值； （3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学三月阶段评估 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】, 故答案为：. 2. 已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 3. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的周期及反正切函数的定义可得. 【详解】因为正切函数的周期为，所以,且. 根据反正切函数的定义：反正切函数的值域为，满足， 因为,且,所以,即. 4. 函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法，转换成二次函数求最值即可. 【详解】令，则， 原函数转化为二次函数： ， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此函数在上单调递增， 当时，取得最小值，代入得： ， 即当时，取得最小值. 5. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【详解】由于，解得：，则, 解得： 则函数的定义域是 6. 已知为第三象限角，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用半角公式计算. 【详解】因为是第三象限角，所以. 由，解得： 所以. 7. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【详解】由于，所以该函数的最小正周期为. 8. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，即， 因为三角形有两解，所以且，则，即，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 9. 在中，若、是方程的两根，则角________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出的值，利用诱导公式可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】由韦达定理可得，， 所以，， 所以，， ，故. 故答案为：. 10. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过整体代换的方法及正弦函数的单调递增区间可得不等式组，解不等式组可得. 【详解】因为，，因此： ， 又因为函数在区间上严格增， 所以且,得且, 所以当时，,得；当时，由,所以不等式组无解； 当时，由,不等式组无解； 综上所述，，故的取值范围为. 11. 如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可求得，然后由图可得线段AB扫过的面积以BC为半径的扇形的面积以AC为半径的扇形的面积，据此可得答案. 【详解】解：如图， ，， . 又如图，所求面积为：. 以BC为半径的扇形的面积为：， 以AC为半径的扇形的面积为：. 结合旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知的面积与的面积相等， 则，从而以BC为半径的扇形的面积为：， 则所求面积为：， 即线段AB扫过的面积以BC为半径的扇形的面积以AC为半径的扇形的面积 故答案为： 12. 如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，，利用三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得. 【详解】 如图，设， 则①，②. 由①，②两式左右分别相乘，可得：，即. 设，则. 在中，由余弦定理得， 因，则，当且仅当时，即时等号成立，故； 又，在上单调递减，故 时角最大， 此时，. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 13. 若方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象与的图象，根据图象，结合题意，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中作出函数的图象与的图象， 易知，当，即时，两图象有两个不同的交点， 即方程在上有两个不同的实根． 故选：C 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 15. 设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点在角的终边上，求出，由题意可得，再根据两角差的正余弦公式即可得解. 【详解】设点在角的终边上，则， 将点绕着点顺时针旋转后得到， 则， 而， ， 所以的坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用长度不变，两角差的正余弦公式求解即可. 16. 已知狄利克雷函数，设，有以下两个结论：①函数是周期函数；②函数的值域是.则以下说法正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 【答案】B 【解析】 【详解】对任意的正整数，当时，，则， 当时，，则，所以是函数的周期. 所以， 所以函数是周期函数，故①正确； 狄利克雷函数的值域为， 当时，，所以， 当时，， 又不可能取到一个周期内的所有实数， 所以的值域不是，故②错误. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 18. 某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN. （1）求M，N两地间的直线距离； （2）求观光线路长的取值范围. 【答案】（1） （2）长的取值范围是（单位：）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得正确答案. （2）设，利用三角函数表示出，并求得取值范围. 【小问1详解】 由余弦定理得. 【小问2详解】 设， 由正弦定理得， ， 所以， 所以 ， 由于，所以. 即长的取值范围是（单位：）. 19. 已知，. （1）若函数是偶函数，求的值； （2）当时，求函数，的单调增区间； （3）令，若函数，的最大值为1，求的取值范围. 【答案】（1） （2）和. （3） 【解析】 【分析】（1）正余弦函数的奇偶性得到，进而可求解； （2）由正弦函数的单调区间整体代入求解即可； （3）通过诱导公式及二倍角公式得到，再结合最大值为1，得到的范围内包含最大值点，进而求解即可. 【小问1详解】 因为是偶函数， 可得：，， 又，取，可得； ​ 【小问2详解】 当 ​时，， 由， 得： ， 结合，取得，取得， 故单调增区间为和. 【小问3详解】 当时，， 因为最大值为， 即区间内必须包含使得的点 又得：， 当，解得； 当，解得. 故的取值范围为. 20. 若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题： （1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明） （2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值； （3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明：. 【答案】（1）是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数； （2） 函数在上是上凸函数，证明如下： 任意， 又因为， 则 ， 因为， 所以， 所以，且， 所以， 即， 所以， 所以函数在上是上凸函数； 的最大值为； （3） 证明：设的半周长为， 因为， 所以， 所以 ， 因为， 所以， 所以 ， 即， 要证明， 即证明. 即， 即， 即， 即， 由基本不等式可得， 又因为， 所以， 即， 即， 上式成立，故(当且仅当时，等号成立). 【解析】 【分析】（1）结合二次函数、对数函数及指数函数的性质和函数凹凸性的定义，即可得答案； （2）根据函数凹凸性的定义，结合三角恒等变换及三角函数的性质，即可完成证明；利用基本不等式及三角形三个内角和为，即可求出最大值； （3）设的半周长为，利用海伦公式，转化为证明，结合基本不等式证明即可. 【小问1详解】 根据二次函数、对数函数及指数函数的性质可知： 是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数； 【小问2详解】 函数在上是上凸函数，证明略； 由题意可得， 又因为， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $