8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球 的表面积和体积 第八章 立体几何初步 前情回顾 扇形面积公式： 圆的面积公式： 回忆下面公式： 扇形弧长公式： 思考：扇环的面积公式是什么？ r r <m> <m></m> <m></m> 2 d <m> 前情回顾 常见的旋转体： 圆柱 圆锥 圆台 球 学 习 目 标 1 2 3 通过圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，掌握圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的公式. 能灵活运用公式求圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积. 会求简单组合体的表面积和体积. 读教材 阅读课本P116-P118，5分钟后完成下列问题： 一起来探究“圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积”吧！ 1. 圆柱、圆锥、圆台和球的侧面展开图分别是什么？怎么求表面积？ 2. 思考如何求圆台的表面积和体积公式？ 新课引入 下面是粮仓模型，从成本和实用性考虑，设计时应该关注哪些方面： （1）存储量可以抽象成什么数学问题？ （2）省材料可以抽象成什么数学问题？ 体积 表面积 学习过程 01 03 02 目录 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 2 圆柱、圆锥、圆台和球的体积 3 题型训练 新知探究1 探究1 多面体的表面积是各个面的平面图形的面积之和，那如何求圆柱的表面积呢？ 圆柱的表面积：由两个一样的圆做底面和一个长方形侧面 (是底面半径，是母线长) 新知探究1 圆锥的表面积：由圆做底面和一个扇形侧面构成 (是底面半径，是母线长) 新知探究1 圆台的表面积：不同的两个圆做底面和一个扇环侧面 r r' 2πr' 2πr ， 其中 为上、下底面圆半径， 为母线长. 新知1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台的表面积： S圆柱＝ S圆锥＝ S圆台 r'=r r'=0 练习巩固 解：(1) . (2)由底面周长为 ，可得底面半径为1，所以 ， ，所以 . 例1 (1)一个高为2的圆柱，底面周长为 <m></m> .该圆柱的表面积为____. (2)圆台的上、下底面半径分别为3， <m></m> ，母线长为6，求其表面积____. <m></m> <m></m> 练习巩固 解：设底面半径为 ，则 ，解得 ， ∴底面周长为 ，又侧面展开图为一个正方形， ∴侧面积为 . 例2 圆柱的一个底面积是 <m></m> ，侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的侧面积？ 练习巩固 解：设圆台的上、下底面圆半径分别为，母线长为 ， ∵已知∴满足，解得 , 又∵已知母线 ， ∴满足， 即 ，解得 , 故这个圆台较小底面的半径为 例3 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为 ，求圆台较小底面的半径？ 学习过程 01 03 02 目录 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 2 圆柱、圆锥、圆台和球的体积 3 题型训练 新知探究2 探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式与棱柱、棱锥、棱台的体积公式有联系吗？ 圆柱的体积 圆锥的体积 新知探究2 圆台的体积 O' O r' r l S O' O r' r l • • h h′ 圆锥的高： 圆柱、圆锥、圆台的体积公式与棱柱、棱锥、棱台的体积公式相同. (分别是上、下底面半径，是高). 新知探究2 球的表面积 球的体积 O A B C D 新知2 圆柱、圆锥、圆台和球的体积 圆柱、圆锥、圆台和球的体积： 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 S′=S S′=0 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 练习巩固 例1 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为 该圆台的体积为 则该圆台的高为 . 3 解：由圆台的体积 ， 得，所以该圆台的高为3. 练习巩固 例2 如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的体积 是_ ______. 解：用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 则底面半径 满足 ，即 ， 所以该圆锥筒的轴截面是边长为 的等边三角形，则其高 ： ， 所以该圆锥筒的体积 . <m> 练习巩固 例3 用一张长为12，宽为8的铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为 . 解：若圆柱的底面周长为12,高为8,则底面半径为 ， 此时圆柱的体积为 ； 若圆柱的底面周长为8,高为12，则底面半径为 ， 此时圆柱的体积为 ； 所以圆柱的体积为 或 . <m></m> 或 <m></m> 练习巩固 例4 一个底面半径为的圆柱形容器中装有一定量的水，两直径为的玻 璃球都浸没在水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为_ ______. 解：设容器内水面下降的高度为 ， 由题意可得 ，解得 ， 因此，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 . <m> 学习过程 01 03 02 目录 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 2 圆柱、圆锥、圆台和球的体积 3 题型训练 旋转体的表面积 题型1 题型探究 例1 (1)若圆锥的高为3，底面半径为4，求此圆锥的表面积？ 解：圆锥的母线长 ， 所以圆锥的表面积为 . 解：圆锥的底面直径 ， ，高 ， 则母线长 ， 所以该圆锥的侧面积为 . 例1 (2)已知圆锥的底面直径与高都是4，求该圆锥的侧面积？ 旋转体的表面积 题型1 题型探究 例2 如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线， 已知，，，求该圆柱的侧面积和表面积？ 解: 因为 ，且四边形是圆柱的轴截面， 所以，即底面半径， 又因为，所以圆柱的侧面积是， 故圆柱的表面积是. 旋转体的表面积 题型1 题型探究 例3 已知 是球面上三点，且 ， ， 若球心到平面的距离为，求该球的表面积？ 解: 因为 ， ， 所以 为平面 截球所得截面圆的直径， 如图，设截面圆的半径为 ，球的半径为 ，则 ，解得 ， 又球心 到平面 的距离 ，所以 ， 所以该球的表面积 . 旋转体的体积 题型2 题型探究 例4 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比？ 解：设球的半径为则圆柱的底面半径为，高为 ∵ ， ∴ : . 旋转体的体积 题型2 题型探究 例5 已知圆台的上、下底面半径和高的比为 <m></m> ，母线长为10，求圆台的体积？ 解：设上底面半径为 ，则下底面半径 ，高 ，如图. 由题意得， ， 解得 ， . 旋转体的体积 题型2 题型探究 例6 如图，在底面半径为，母线长为的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱， (1)求圆柱的表面积； (2)求圆柱的体积与圆锥的体积之比？ 解：(1)设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为. 则， 如图所示，易知，所以，即， 所以，. 所以. 所以圆柱的表面积为. 旋转体的体积 题型2 题型探究 例6 如图，在底面半径为，母线长为的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱， (1)求圆柱的表面积； (2)求圆柱的体积与圆锥的体积之比？ 解：(2)由(1)知，圆柱的底面半径为，高， 所以圆柱的体积. 圆锥的体积. 所以圆柱与圆锥的体积比为. 课堂小结 圆柱、圆锥、圆台的表面积： S圆柱＝ S圆锥＝ S圆台 r'=r r'=0 课堂小结 圆柱、圆锥、圆台和球的体积： 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 S′=S S′=0 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 感谢聆听! $