2.3 一元二次方程根与系数关系（题型专练，5基础&1提升题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

2.3 一元二次方程根与系数关系 题型一、利用一元二次方程根与系数关系直接计算 1．已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 4．若一元二次方程的两个实数根为，则的值是___________． 题型二、利用一元二次方程根与系数关系求代数式的值 5．设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 6．若，是方程的两个根，则________． 7．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 8．先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． (1)若是方程的两个根，则___________，___________； (2)若是方程的两个根，求的值． 题型三、利用一元二次方程根与系数关系求字母参数的值 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 10．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 11．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 12．已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 题型一、一元二次方程根与系数关系的综合应用 13．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， (2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 15．已知关于x的一元二次方程． (1)若，解这个方程； (2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，求m的值． 16．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 1．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 2．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 4．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 5．已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 6．已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 7．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 8．按要求解答下列问题． (1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________； (2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； (3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数． 9．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 10．材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 27．【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 试卷第22页，共23页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程根与系数关系 题型一、利用一元二次方程根与系数关系直接计算 1．已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个根为，，则，，直接利用公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴． 2．若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果. 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，， ∴，. 3．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 4．若一元二次方程的两个实数根为，则的值是___________． 【答案】4 【分析】对于一元二次方程，两根之和为，代入对应系数计算即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴ 根据根与系数的关系得 . 题型二、利用一元二次方程根与系数关系求代数式的值 5．设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 6．若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 7．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】41 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：41． 8．先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． (1)若是方程的两个根，则___________，___________； (2)若是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）将变形为，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，，， ∴，； （2）解：由题意得，在中，，，， ∴，， ∴ ． 题型三、利用一元二次方程根与系数关系求字母参数的值 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】利用韦达定理，先根据两根之和求出另一个根，再根据两根之积求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 在方程中，，， 两根之和， ∴． ∴． 10．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 【答案】(1)二，见解析 (2) 【分析】（1）根据配方法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【详解】（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下： 当时，， 移项，得， 配方，得，即， 由此可得，， ∴，； （2）解：由题意知，， ∵，， ∴， 解得， 代入判别式成立， ∴． 11．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 12．已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 题型一、一元二次方程根与系数关系的综合应用 13．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明：， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， (2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式，通过配方判断恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， ， 无论为何值，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根， 根据根与系数关系得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， 又，， ， 解得或， ，是三角形的边长， ，， ，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 即当时，是以为斜边的直角三角形． 15．已知关于x的一元二次方程． (1)若，解这个方程； (2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法以及根与系数的关系． （1）由题意可得，进一步利用公式法解方程即可． （2）由题意设，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ∴方程为： ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴不妨设，且， ∵， ∴，， ∴． 16．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据定义代入解题即可求解； （2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解； （3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解． 【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 1．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 2．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 3．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项，从小刚的解可求出一次项系数 【详解】解：小明看错了一次项系数，但解正确，故常数项正确， 由根与系数的关系，； 小刚看错了常数项，但解正确，故一次项系数正确， 由根与系数的关系，，即，解得． 因此正确的一元二次方程为． 故答案为：． 4．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 5．已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则； （2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即． 【详解】（1）解：∵方程有实根， 若方程为一元二次方程，则， 即， 解得且； 若方程为一元一次方程，则， 解得； 综上所述，； （2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足， 即， 解得且； 又∵方程有两个正实根， ∴， 即， 解不等式①得或, 解得或； 解不等式②得或， 解得或， 则不等式组的解集为或， 综上所述． 6．已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 7．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2043 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据二次项系数 且判别式大于零列式求解即可； （2）把代入方程得到 ，由两根为 和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． （2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 8．按要求解答下列问题． (1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________； (2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； (3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数． 【答案】(1)， (2)，根为0和2 (3)见解析 【分析】本题考查命题真假判断、一元二次方程根与系数的关系、完全平方数的性质，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）要判断命题是假命题，只需找出满足a、b和与积为整数，但a、b本身不是整数的反例即可； （2）先根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合两根为整数的条件，通过因式分解求出m的值和方程的根； （3）利用求根公式表示出方程的根，再根据完全平方数的性质证明两根为整数即可． 【详解】（1）解：令a，b，． 验算：、均是整数，但a，b都不是整数， 故答案为：，； （2）解：设关于x的方程（m为整数）的两根分别为，，由题意得： ， 整理得：， ，是整数， 、都是整数， 分情况讨论： 当、时， 解得、， ； 当、时， 解得、， ； 综上所述，，方程根为0和2； （3）证明：， （p、q为整数）， ，是方程（p，q为整数）的两根， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 又q是整数， 是整数．即是4的倍数， 必为偶数， 设，k为整数， 是整数， ，都是整数． 9．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析 (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 10．材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 27．【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）利用根与系数的关系得，，然后根据即可求解． 【详解】（）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， 故答案为：，； （）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 试卷第22页，共23页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $