4.2.1～4.2.3 两角和与差的三角函数公式（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角恒等变换，系统讲解两角和与差的余弦、正弦、正切公式及三角函数叠加公式，通过卢浮宫高度测量情境导入，以问题链引导从实例猜想、向量法推导到公式应用，构建递进式知识支架。 其亮点在于情境化与逻辑化结合，以卢浮宫问题体现用数学眼光观察现实，通过向量推导培养数学思维，辅助角公式应用（如电流合成问题）强化数学语言表达，帮助学生提升探究能力，教师可高效开展公式教学与应用训练。

两角和与差的三角函数公式 （4.2.1~4.2.3） 第四章 三 角 恒 等 变 换 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 能运用向量的数量积和三角函数的概念推导两角和与差的余弦、正弦、正切公式. 能利用两角和与差的公将三角函数式转化成的三角函数式. 能够应用两角和与差的三角函数公式解决三角函数的化简、求值问题. 读教材 阅读课本P152-P158，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“两角和与差的三角函数公式”吧！ 1.如何利用向量法推导两角差的余弦公式？如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？如何应用两角和与差的余弦公式得到两角和与差的正弦、正切公式？ 2.什么是三角函数的叠加公式？三角函数的叠加公式有哪些应用？ 3.如何应用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值、证明问题？ 单击此处添加备注 3 情境导入 如图，为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭． 思考：如何利用三角函数有关知识测量卢浮宫的高度呢？ 我们可以将测量高度抽象为三角形问题. 这就需要对两角差的正、余弦进行变换． 那么在测量这类建筑物的高度时（如右图），我们需要来解复合角∠DAC＝α－β的正、余弦值， 学习过程 01 03 02 目录 1 两角和与差的余弦公式及其应用 3 三角函数的叠加及其应用 2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 单击此处添加备注 5 新知探究 问题1：如何用角的正弦、余弦值来表示呢？ 有人认为，你认为正确吗？试举出两例加以说明． 不一定正确． 例如，当时，． 再如，当时， ． 而，故 新知探究 问题2：计算下列各式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． 猜想：． ① ③ ② ④ ＝1 ． 新知探究 问题3：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α－β的余弦吗?(可借助向量求解) 因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论 如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q， 则点P和点Q的坐标分别为和， 如果，那么可以用向量的数量积求， 由于向量和向量都是单位向量，它们的夹角是 新知探究 追问1：如何利用与，求 由图可得 因此： 新知探究 追问2：如何得到当，的值 由诱导公式得： 如图所示，当，那么是向量与向量的夹角 因此： 新知探究 两角差的余弦公式 记作Cα－β． ①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦； ②将所得的积相加． ③公式中的α，β 都是任意角，可以为常量，也可以为变角． 公式Cα－β的结构特点？ 新知探究 思考：把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，结果如何？． cos(α＋β)＝cos[(α－(－β)] ＝cosαcos(－β)+sinαsin(－β) ＝cosαcosβ－sinαsinβ． 因此： 这是两角和的余弦公式，记作Cα＋β. 归纳小结 ，记作 ，记作 两角和与差的余弦公式 口诀：余余正正，符号相反． 典例分析 例1.利用两角差的余弦公式求的值. 解：法1： 法2： 典例分析 例2.已知，求的值. 解：观察已知的两个角，与未知角 之间的运算关系，可以得到 . 因此，求的值可以看成求两个角，和的余弦值 ∵ 学习过程 01 03 02 目录 1 两角和与差的余弦公式及其应用 3 三角函数的叠加及其应用 2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 单击此处添加备注 16 新知探究 思考：由公式Cα±β可以得到sin(α＋β)的公式吗？ 可以，sin(α＋β) ＝ sin αcos β＋cos αsin β． sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β. 做一做：尝试推导两角差的正弦公式 归纳小结 sin(α＋β)sin αcos β＋cos αsin β，记作 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，记作 两角和与差的正弦公式 口诀：正余余正，符号相同． 新知探究 思考2：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？ ①tan(α＋β) ②tan(α－β) 归纳小结 tan(α＋β)＝　 　　　　　，记作Tα＋β． tan(α－β)＝　　　　　　 ，记作Tα－β． ①在两角和的正切公式中，使用条件是：； ②在两角差的正切公式中，使用条件是：． 两角和与差的正切公式 注意： 归纳小结 和 (差) 公式之间的关系： 【和角公式】S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)； 【差角公式】：S(α – β)、C(α – β)、T(α – β) . 典例分析 例3.已知，α为第三象限角，求的值． 解：因为，α 为第三象限角，所以 归纳小结 给值求值(角)的方法： ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 典例分析 例4. 已知，其中． 求：（1）的值；（2）． 解：（1） （2）因为0＜α＜ ＜β＜π，所以 而 故． 学习过程 01 03 02 目录 1 两角和与差的余弦公式及其应用 3 三角函数的叠加及其应用 2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 单击此处添加备注 25 典例分析 例5.请同学们化简以下式子. （1） （2） 解：（1）由公式可得 （2）可以将分别看成和 新知探究 思考：如何将能否化简为只含有一个三角函数的形式？ 则asinα＋bcosα＝(sinαcosφsinφcosα) 解：asin α＋bcos α＝ 根据＝cosφ，＝sinφ， ＝α＋φ)． 辅助角公式 归纳小结 角φ所在象限由的符号确定，角φ的值由sinφ和cosφ的值确定， 也就是由tanφ＝来确定． 思考：如何确定辅助角公式中φ的值？ （不同时为0） 辅助角公式公式 典例分析 例6 .求的最值和最小正周期. ，周期π. 提示：先用辅助角公式化为一个角的形式即“一角一名”，再利用三角函数的性质求解． 思考交流 思考交流：如何利用例6的方法，研究求函数不同时为的最大值、最小值和周期. 当 时， 当 时， 的周期 T＝2π. 利用两角和或差的三角函数公式，可以将某些三角函数化简成为的形式，以利于研究这类三角函数的图象和性质. 典例分析 例7 .已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是 其中 ω 为常数，t 为线圈旋转的时间. 求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅. 解：将三个电流瞬时值的函数解析式化成的形式，由两角和与差的正弦公式有 I＝I1＋I2＋I3＝ 其中tanθ＝，所以I＝sin(ωt＋θ)，且它的振幅是． 课堂小结 感谢聆听! $