专题02二次函数表达式的确定与方程不等式的综合应用同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题02二次函数表达式确定与方程不等式的综合应用同步讲义 【题型01 待定系数法求二次函数解析式】...................................3 【题型02 由二次函数图象判断一样二次方程根的情况】.......................4 【题型03 求抛物线与x轴的交点坐标】.....................................5 【题型04 求抛物线与y轴的交点坐标】....................................5 【题型05 已知二次函数值.求对应自变量的值】..............................6 【题型06 抛物线与x轴交点问题综合】.....................................6 【题型07 求抛物线在x轴上的截线长】.....................................7 【题型08 用图象法求一元二次方程的近似根】...............................7 【题型09 用图象法解一元二次不等式】.....................................8 【题型10 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.........................9 【题型11 根据交点确定一元二次不等式的解集】.............................9 【解答题6题】...........................................................10 ★知识梳理 知识点01:用待定系数法确定二次函数表达式 一、核心方法：待定系数法 核心思想：先设含待定系数的函数表达式，再代入已知条件列方程（组），求解系数确定解析式，体现数形结合与方程思想。 二、二次函数三种表达式（核心） 表达式形式 表达式 适用条件 求解要点 一般式 y=ax2+bx+c（a0） 已知抛物线上任意三点坐标 代入三点列三元一次方程组，解出a、b、c 顶点式 y=a(x−h)2+k（a0） 已知顶点(h,k)、对称轴或最值 代入顶点坐标，再代入另一点求a 交点式（两根式） y=a(x−x1)(x−x2)（a0） 已知抛物线与x轴两交点(x1 0)、(x2 0) 代入交点坐标，再代入另一点求a 一般式 顶点式 交点式 · 一般式图解析式：y=−x2−2x+3（由 (−3,0)、(1,0)、(0,3) 求得） · 顶点式图解析式：y=−3(x+1)2+3（由顶点 (−1,3) 和交点 (0,0) 求得） · 交点式图解析式：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3（由 (1,0)、(3,0) 和 (0,3) 求得） 三、解题步骤（通用） 1.审题：明确已知条件（点、顶点、交点等）； 2.选式：根据条件选最合适的表达式； 3.设式：写出含待定系数的表达式； 4.代入：将已知点代入表达式，列方程（组）； 5.求解：解方程组，确定系数； 6.回代：写出完整二次函数表达式。 知识点02:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 二、判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 判别式 Δ 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 二次函数 y=ax2+bx+c 与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根 x1、x2 有两个不同交点 (x1 0)、(x2 0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1=x2​ 有唯一交点（顶点在x轴上） Δ<0 无实数根 无交点 三、重要公式与结论 1.交点坐标公式：若抛物线与x轴交于(x1 0)、(x2 0)，则 x1,2； 2.韦达定理：x1+x2=−，x1x2=​（用于求交点距离、对称轴等）； 3.图像法求近似根：画出二次函数图像，找与x轴交点横坐标，即为方程近似根； 4.二次函数与不等式：y>0 对应图像在x轴上方的x取值范围；y<0 对应图像在x轴下方的x取值范围。 【题型1.待定系数法求二次函数解析式】 【典例】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表，则__________． … －1 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 【跟踪专练1】已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 【跟踪专练3】已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【题型2.由二次函数图象判断一元二次方程根的情况】 【典例】若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【跟踪专练3】二次函数的图象过，并与二次函数的图象交于点．若关于的方程为，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【题型3.求抛物线与x轴的交点坐标】 【典例】如果一元二次方程的两个根是，，那么函数的图像与轴的两个交点的坐标是______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【跟踪专练2】将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 【跟踪专练3】如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，将抛物线向右平移个单位后，阴影部分图形的面积为（    ） A． B．8 C． D．4 【题型4.求抛物线与y轴的交点坐标】 【典例】二次函数的图象与轴交点坐标是_______． 【跟踪专练1】二次函数与两坐标轴交点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 【跟踪专练3】二次函数分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C的坐标是（2，1）．若在线段上存在A，B两点使得为等腰直角三角形，且，则b的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【题型5.已知二次函数值.求对应自变量的值】 【典例】若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为__________． 【跟踪专练1】已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪专练2】对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【跟踪专练3】二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6.抛物线与x轴交点问题综合】 【典例】若二次函数的图象与x轴有交点，a的值可以是______（写出一个即可）． 【跟踪专练1】抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为___________ 【跟踪专练3】已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型7.求抛物线在x轴上的截线长】 【典例】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【跟踪专练1】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【跟踪专练3】设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【题型8.用图象法求一元二次方程的近似根】 【典例】下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是______． 0 1 2 1 7 【跟踪专练1】．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【跟踪专练2】．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是________．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【跟踪专练3】已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【题型9.用图象法解一元二次不等式】 【典例】如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【跟踪专练3】已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型10.利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【典例】函数y=2x2中，自变量x的取值范围是____，函数值y的取值范围是____． 【跟踪专练1】已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点在二次函数的图象上，若，则的取值范围是_________． 【跟踪专练3】已知二次函数（）的图象经过、、三点，若点在该函数图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11.根据交点确定一元二次不等式的解集】 【典例】如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 【跟踪专练1】如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 【跟踪专练3】无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【解答题】 1．已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是． (1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式． (2)若直线经过抛物线的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围． 2．已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 3．已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 4．小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量的取值范围是___________； (2)小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； (4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 5．二次函数的图象如图所示． (1)写出关于的一元二次方程的两个根； (2)写出关于的不等式的解集； 6．抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数表达式确定与方程不等式的综合应用同步讲义 【题型01 待定系数法求二次函数解析式】...................................3 【题型02 由二次函数图象判断一样二次方程根的情况】.......................6 【题型03 求抛物线与x轴的交点坐标】.....................................9 【题型04 求抛物线与y轴的交点坐标】....................................12 【题型05 已知二次函数值.求对应自变量的值】..............................15 【题型06 抛物线与x轴交点问题综合】.....................................18 【题型07 求抛物线在x轴上的截线长】.....................................20 【题型08 用图象法求一元二次方程的近似根】...............................23 【题型09 用图象法解一元二次不等式】.....................................25 【题型10 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.........................28 【题型11 根据交点确定一元二次不等式的解集】.............................30 【解答题6题】...........................................................32 ★知识梳理 知识点01:用待定系数法确定二次函数表达式 一、核心方法：待定系数法 核心思想：先设含待定系数的函数表达式，再代入已知条件列方程（组），求解系数确定解析式，体现数形结合与方程思想。 二、二次函数三种表达式（核心） 表达式形式 表达式 适用条件 求解要点 一般式 y=ax2+bx+c（a0） 已知抛物线上任意三点坐标 代入三点列三元一次方程组，解出a、b、c 顶点式 y=a(x−h)2+k（a0） 已知顶点(h,k)、对称轴或最值 代入顶点坐标，再代入另一点求a 交点式（两根式） y=a(x−x1)(x−x2)（a0） 已知抛物线与x轴两交点(x1 0)、(x2 0) 代入交点坐标，再代入另一点求a 一般式 顶点式 交点式 · 一般式图解析式：y=−x2−2x+3（由 (−3,0)、(1,0)、(0,3) 求得） · 顶点式图解析式：y=−3(x+1)2+3（由顶点 (−1,3) 和交点 (0,0) 求得） · 交点式图解析式：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3（由 (1,0)、(3,0) 和 (0,3) 求得） 三、解题步骤（通用） 1.审题：明确已知条件（点、顶点、交点等）； 2.选式：根据条件选最合适的表达式； 3.设式：写出含待定系数的表达式； 4.代入：将已知点代入表达式，列方程（组）； 5.求解：解方程组，确定系数； 6.回代：写出完整二次函数表达式。 知识点02:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 二、判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 判别式 Δ 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 二次函数 y=ax2+bx+c 与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根 x1、x2 有两个不同交点 (x1 0)、(x2 0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1=x2​ 有唯一交点（顶点在x轴上） Δ<0 无实数根 无交点 三、重要公式与结论 1.交点坐标公式：若抛物线与x轴交于(x1 0)、(x2 0)，则 x1,2； 2.韦达定理：x1+x2=−，x1x2=​（用于求交点距离、对称轴等）； 3.图像法求近似根：画出二次函数图像，找与x轴交点横坐标，即为方程近似根； 4.二次函数与不等式：y>0 对应图像在x轴上方的x取值范围；y<0 对应图像在x轴下方的x取值范围。 【题型1.待定系数法求二次函数解析式】 【典例】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表，则__________． … －1 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的点求解是解题的关键．先确定出表格给出的抛物线上点的坐标，然后求解即可． 【详解】解：根据表格可得出该二次函数经过点、点和点， 代入原式可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】设二次函数的一般式，利用二次函数对称轴公式得到，结合已知两点的坐标列方程组，求解方程组得到各项系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， 由二次函数对称轴公式，得对称轴， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【跟踪专练3】已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 平移该抛物线的顶点始终在直线上， 设平移后抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为， 当时， 可得：， 整理得：， ， 有最大值， 即当时，取最大值，最大值为． 故选：A． 【题型2.由二次函数图象判断一元二次方程根的情况】 【典例】若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点，结合图象求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点， ， 选项中只有2符合要求． 故选：A． 【跟踪专练2】已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【跟踪专练3】二次函数的图象过，并与二次函数的图象交于点．若关于的方程为，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程的解, 由二次函数过点得，再根据两函数交于点建立等式，解得，进而得到，最后解方程，代入b和n，化简后求解二次方程即可． 【详解】解：∵二次函数过点, ∴, ∴． ∵两函数交于点, ∴，且, ∴, ∵，两边除以a, 得, 解得． ∴ 方程，代入, 得, ∵，两边除以a, 得，即, 解得． 故选：C． 【题型3.求抛物线与x轴的交点坐标】 【典例】如果一元二次方程的两个根是，，那么函数的图像与轴的两个交点的坐标是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的关系，二次函数与轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根．根据一元二次方程与二次函数的关系，可知抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而来求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根， ∴的图像与轴的两个交点的坐标为：，； 故答案为：，． 【跟踪专练1】在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 【跟踪专练2】将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 【答案】 和 【分析】本题考查二次函数的表达形式变换、图像与坐标轴交点的求解、函数在指定区间内的取值范围，以及根据函数值范围反求自变量的取值范围． 将顶点式展开得一般式；令解方程求交点；根据抛物线开口向下及区间端点求出函数的取值范围；根据，函数取得最大值．确定时自变量取值范围． 【详解】解：二次函数； 当y=0时，解方程，得，，故交点坐标为和； 函数为开口向下的抛物线，顶点，在区间内， 当时，函数取得最大值． 当时：， 当时：， ∵当时，随增大而增大，此时， 当时，随增大而减小，此时， 综上所述：当时，函数的取值范围是， ∵，函数取得最大值． ∴，则自变量取值范围是． 故答案为： ；和；；． 【跟踪专练3】如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，将抛物线向右平移个单位后，阴影部分图形的面积为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与x轴两交点的距离是解题的关键． 过点F作轴于点C．根据平移，可得四边形是矩形，由，求出．得，由抛物线向右平移个单位，得，由曲边三角形与曲边三角形全等，即得． 【详解】解：过点F作轴于点C． 由平移知，轴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 对， 令，则； 令，则． 解得或． ∴． ∴． ∵抛物线向右平移个单位， ∴． ∴． ∵曲边三角形与曲边三角形全等， ∴． 故选：A． 【题型4.求抛物线与y轴的交点坐标】 【典例】二次函数的图象与轴交点坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点坐标，把代入函数解析式求出的值即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数与两坐标轴交点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题需分别求出二次函数与x轴、y轴的交点个数，再求和得到总交点数． 【详解】解：当时，， ∴二次函数与y轴有1个交点 令，则， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，即二次函数与x轴有1个交点 ∴总交点个数为个． 故选：B． 【跟踪专练2】某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，熟知相关性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向，利用顶点公式计算顶点坐标，代入求与y轴交点，依据对称轴分析单调性． 【详解】解：对于二次函数， ①二次项系数，因此函数图像开口向上，正确 ②顶点横坐标，纵坐标，因此顶点坐标为，正确 ③与y轴交点时，代入得，因此与y轴交点的坐标为，正确 ④对称轴为，且开口向上，函数在时y随x的增大而增大，正确， 故答案为：①②③④． 【跟踪专练3】二次函数分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C的坐标是（2，1）．若在线段上存在A，B两点使得为等腰直角三角形，且，则b的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】可求出抛物线与两坐标轴的交点坐标，从而可求得直线的解析式，结合图形即可求解． 【详解】解：令，解得：（舍去）；令，得， 即，； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴； 若点C在直线上，即，此时， 当时，如图， 由题意，，且，， ∴，， 则满足条件的等腰直角三角形有两个； 当时，如图， . 此时点B与点P重合，点Q与点B重合，此时，满足条件的等腰直角三角形恰有一个；当时不存在； 当时，如图， 当时， 此时满足条件的等腰直角三角形存在， 综上，满足条件的b的取值范围为或； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质等知识，注意数形结合与分类讨论． 【题型5.已知二次函数值.求对应自变量的值】 【典例】若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为__________． 【答案】3或 【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可． 【详解】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1， ∴=1， 解得m=-2， ∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0， 解得x1=-1，x2=3． 故答案为：3或-1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键． 【跟踪专练1】已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 【跟踪专练2】对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 【跟踪专练3】二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及其性质、线段平移规律，根据线段平移特点求出坐标，再讨论二次函数与线段一个交点的情况，利用排除法即可求解． 【详解】解：，，线段向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴直线解析式为， 二次函数， 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线有两个交点，故不符合条件； 故排除D选项； 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除A选项； 当时，联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除B选项． 故选：C． 【题型6.抛物线与x轴交点问题综合】 【典例】若二次函数的图象与x轴有交点，a的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查二次的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据题意由二次函数的图象与x轴有交点，可得，进而求出的取值范围，即可判断得解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， ∴， ∴， 故a的值可以是1 故答案：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解．抛物线与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为___________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．先对二次函数配方，再分类讨论开口方向，结合图象经过四个象限的条件列不等式求解即可． 【详解】解：对二次函数配方得， ∴二次函数的顶点坐标为，顶点纵坐标为，对称轴为直线， ①当时，抛物线开口向上，顶点在第三象限，二次函数图象与轴一定有两个交点， 若二次函数图象经过四个象限，则两个交点需分别位于轴两侧，即时，， 解得，结合可得； ②当时，抛物线开口向下，顶点纵坐标为，二次函数的最大值为，整个函数图象都在轴下方，不可能经过第一、二象限，即图象不可能经过四个象限，不符合题意， 综上，的取值范围为． 【跟踪专练3】已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的性质，抛物线顶点在轴上说明其与轴仅有一个交点，即判别式，通过代入系数计算判别式方程即可求解的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线与轴仅有一个交点， ，，， ， 整理得：， 两边同除以得：， 因式分解得：， 或． 故选：C． 【题型7.求抛物线在x轴上的截线长】 【典例】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【跟踪专练2】下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 【跟踪专练3】设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 【题型8.用图象法求一元二次方程的近似根】 【典例】下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是______． 0 1 2 1 7 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，根据表格可知二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间，则方程的一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知，当时，，当，， ∴二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间， ∴方程的一个解的范围是， 故答案为：． 【跟踪专练1】．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【跟踪专练2】．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是________．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线性规划，根据一元二次方程有两个实根为，且，得到二次函数，在时：，在时：，画出对应的平面区域，求解即可． 【详解】∵的二次项系数为， ∴二次函数的图象开口向上， ∵一元二次方程有两个实根为，且， ∴当时：，当时：， 即：， 其对应的平面区域如下图阴影示： ∵表示阴影区域上一点与原点连线，线的斜率， 由图可知：； 故选：D． 【题型9.用图象法解一元二次不等式】 【典例】如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 【跟踪专练2】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【跟踪专练3】已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由时，的取值范围为或，可得或是方程的两个根，则有，再得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：当时，， ， 当时，的取值范围为或， 或是方程的两个根， ， ， ， 是函数的对称轴，且， ， 函数经过点， ， ， ， ， ， ， 设抛物线， 令，解得， 令，解得， 根据抛物线开口向上， 的解集为或 的可能取值为2， 故选：A． 【题型10.利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【典例】函数y=2x2中，自变量x的取值范围是____，函数值y的取值范围是____． 【答案】 全体实数 y≥0. 【分析】先判断自变量x的取值范围，再判断函数值y的取值范围. 【详解】函数y=2x2中， ∵自变量x的取值范围是全体实数，且x2≥0， ∴函数值y的取值范围是y≥0. 故答案为全体实数，y≥0. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从几个方面考虑： ①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 【跟踪专练1】已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 【跟踪专练2】已知点在二次函数的图象上，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的单调性与不等式求解是解题的关键．先求出点对应的函数值，再根据列出关于的不等式，最后结合二次函数的图象性质求出的取值范围． 【详解】解：由点在二次函数上， 代入，得， 由，得，即， 解二次不等式，先求方程的根， 利用求根公式，根为，即或， 由于二次函数开口向上，不等式的解集为， 因此的取值范围是． 故答案为． 【跟踪专练3】已知二次函数（）的图象经过、、三点，若点在该函数图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由已知点求二次函数解析式，再根据自变量范围求函数值范围即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， 代入得， 解得， 解析式为，顶点坐标为． 当时，n在顶点处取最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， 故． 故选：B． 【题型11.根据交点确定一元二次不等式的解集】 【典例】如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的取值范围，即可得解． 【详解】解：由图可知：当或时，抛物线在直线上方， 即不等式的解集是：或． 【跟踪专练3】无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象及性质，可知直线，点总在直线上，抛物线 ，对称轴为，顶点坐标为，分两种情况：当时和当时． 【详解】解：∵直线， ∴点总在直线上． 抛物线 ，对称轴为，顶点坐标为． （Ⅰ）当时，抛物线开口向上，将代入抛物线，得，所以点在抛物线上，所以点在抛物线内部，所以，时，无论为何值，直线与抛物线总有公共点． （Ⅱ）当时，抛物线开口向下，将代入抛物线，得，所以点在抛物线上，根据题意可知，点必须在抛物线内部或抛物线上，即，所以． 综上所述，或． 故选：C 【解答题】 1．已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是． (1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式． (2)若直线经过抛物线的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为，设顶点式，再将点代入求值即可； （2）①根据二次函数的性质可得顶点为，将代入直线解析式，根据解方程，即可解答； ②将，代入抛物线解析式，利用解不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为． 设抛物线对应的函数表达式为， 把代入，可得 解得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①根据， 可得二次函数的顶点为， 把代入， 得， 化简，得． ， ， ， ， 抛物线的顶点坐标为； ②设抛物线对应的函数表达式为． ，． ． ， ， ， ， ． 2．已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) 证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）令，得，由根的判别式可判断一元二次方程有实数解，即该函数的图象与轴总有公共点； （2）先判断该函数的对称轴位置，结合图象的开口方向推出当时，随着的增大而增大后即可得解． 【详解】（1）证明：令，得， 此时， ， ， ， ， ， 即一元二次方程有实数解， 二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：二次函数的对称轴， ， ， ， ， 即二次函数的对称轴， 又，即二次函数图象开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数的关系、根的判别式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程与二次函数的关系． 3．已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，最小值 (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）分别令和即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据P到x轴的距离为2得到解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； 当时，，解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值． （3）∵P到x轴的距离为2， 即 或 解得或 4．小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量的取值范围是___________； (2)小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； (4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】(1)所有实数 (2)①；②见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，求函数值，画函数图象等知识，解题的关键是： （1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是任意实数； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）根据配方法可求出，则当，即时，有最小值为，然后利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是所有实数， 故答案为：所有实数； （2）解：①当时，， 故答案为：； ②补图如下： ； （3）解：令，如下图所示： 方程最小的解接近， ∵当时，； 当时，； 当时，， ∴由图象可知：方程最小的解的近似值， 故答案为：； （4）解： ， ∴当，即时，有最小值为， 如图， 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 故答案为：或． 5．二次函数的图象如图所示． (1)写出关于的一元二次方程的两个根； (2)写出关于的不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点和对称性，利用函数图象解不等式等知识，数形结合是关键． （1）根据对称性求出抛物线与轴的另一交点，据此即可得到答案； （2）根据开口方向和与轴交点的横坐标进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的交点坐标为，对称轴为直线， 设另一交点为， 则，解得， 所以方程的两个根为 （2）由图抛物线开口向下，与轴交于和， 所以当或时，， 即不等式的解集为或 6．抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $