5.4 二次函数与一元二次方程（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，涵盖图像与x轴交点对应方程解、交点个数与判别式关系、直线与抛物线交点求解等核心知识点，通过具体函数实例引导观察图像，衔接二次函数图像性质与一元二次方程解法，搭建学习支架。 其亮点是以“观察—探究—归纳—应用”为主线，借助图像观察培养几何直观（数学眼光），用判别式推理发展推理意识（数学思维），总结求解步骤强化模型意识（数学语言）。典例与题型结合具体题目，课堂小结结构化呈现，助力学生理解代数几何联系，提升探究能力，也为教师提供高效教学资源。

苏科版·九年级下册 5.4 二次函数 与一元二次方程 第五章 二次函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )与一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的关系 能根据二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与x轴的交点个数确定一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况 掌握直线与抛物线的交点问题 新知探究 思 考 1. 二次函数y = ax2 + bx + c与一元二次方程ax2 + bx + c = 0有怎样的关系？ 解：令y = 0，得：ax2 + bx + c = 0， 当二次函数y = ax2 + bx + c的y = 0时，有一元二次方程ax2 + bx + c = 0。 新知探究 思 考 2. 观察y = x2 - 3x - 4的图像，回答问题： ( 1 ) 二次函数y = x2 - 3x - 4的图像与x轴的交点A、B的坐标分别是A _______，B _______； ( 2 ) 求一元二次方程x2 - 3x - 4 = 0的解； ( 3 ) 二次函数y = x2 - 3x - 4与x轴的交点，与一元二次方程x2 - 3x - 4 = 0的解之间有什么关系？ ( -1，0 ) ( 4，0 ) 解：( 2 ) x1 = -1，x2 = 4； ( 3 ) 二次函数y = x2 - 3x - 4的图像与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程x2 - 3x - 4 = 0的解。 新知探究 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )与x轴的交点： 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的解。 注：( 1 ) x 轴可表示为：y = 0； ( 2 ) 抛物线与x轴交点的横坐标：当y = 0时，x的取值。 知识要点 典例分析 典例1 二次函数y = x2 - 6x + n的部分图像如图所示，若关于x的一元二次方程x2 - 6x + n = 0的一个解x1 = 1，求另一个解x2。 解：∵二次函数的图像与x轴的一个交点为( 1，0 )，且对称轴为x = 3， ∴另一个交点为( 5，0 )， ∴x2 - 6x + n = 0的另一个解为x2 = 5。 方法技巧 解题关键： 牢记二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的解。 1 O x y 新知探究 观 察 1. 观察二次函数y = x2 + x - 2、y = x2 - 6x + 9、y = x2 - x + 1的图像，分别说出一元二次方程x2 + x - 2 = 0、x2 - 6x + 9 = 0、x2 - x + 1 = 0的根的情况。 两个交点 →两个不相等的实数根 一个交点 →两个相等的实数根 没有交点 →无实数根 新知探究 观 察 2. 利用判别式法检验1. 中的结论是否正确。 解：对于x2 + x - 2 = 0，Δ = 9 > 0，方程有两个不相等的实数根； 对于x2 - 6x + 9 = 0，Δ = 0，方程有两个相等的实数根； 对于x2 - x + 1 = 0，Δ = -3 < 0，方程无实数根。 新知探究 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与x轴的交点个数： 知识要点 交点个数 2个 1个 0个 ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的 实数根 无实数根 判别式 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 图像 典例分析 典例2 抛物线y = ax2 - 2x + 3与x轴有两个交点， 求a的取值范围。 解：∵抛物线y = ax2 - 2x + 3与x轴有两个交点， ∴ = 4 - 12a > 0且a ≠ 0，解得：a < 且a ≠ 0。 方法技巧 解题关键： 2个交点 ⇔ Δ > 0； 1个交点 ⇔ Δ = 0； 没有交点 ⇔ Δ < 0。 新知探究 拓 展 观察y = x2 - 3x - 4的图像，回答问题： ( 1 ) 二次函数y = x2 - 3x - 4的图像与y = -4的交点C、D的坐标分别是C _______，D _______； ( 2 ) 求一元二次方程x2 - 3x - 4 = -4的解； ( 3 ) 二次函数y = x2 - 3x - 4与y = -4的交点，与一元二次方程x2 - 3x - 4 = -4的解之间有什么关系？ ( 0，-4 ) ( 3，-4 ) 解：( 2 ) x1 = 0，x2 = 3； ( 3 ) 二次函数y = x2 - 3x - 4的图像与y = -4交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程x2 - 3x - 4 = -4的解。 C D 新知探究 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )与y = m的交点： 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与y = m交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2 + bx + c = m ( a ≠ 0 )的解。 知识要点 典例分析 典例3 已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，请根据图象回答： ( 1 ) 方程ax2 + bx + c = 0的根为__________________； ( 2 ) 方程ax2 + bx + c = -3的根为_________________； ( 3 ) 方程ax2 + bx + c = -4的根为________________； ( 4 ) 方程ax2 + bx + c = -8的根 的情况为__________。 x1 = -1，x2 = 3 x1 = 0，x2 = 2 x1 = x2 = 1 无实数根 方法技巧 解题关键： 牢记二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与y = m交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2 + bx + c = m ( a ≠ 0 )的解。 新知探究 探 究 1. 求直线y = 1与抛物线y = x2 - 3x + 3的交点坐标。 解：联立， 得：x2 - 3x + 3 = 1，即x2 - 3x + 2 = 0， ( x - 1 )( x - 2 ) = 0，解得：x = 1或x = 2， ∴直线与抛物线的交点坐标为( 1，1 )，( 2，1 )。 新知探究 探 究 2. 求直线y = x + 1与抛物线y = x2 - 4x + 7的交点坐标。 解：联立， 得：x2 - 4x + 7 = x + 1，即x2 - 5x + 6 = 0， ( x - 2 )( x - 3 ) = 0，解得：x = 2或x = 3， 当x = 2时，y = 3；当x = 3时，y = 4， ∴直线与抛物线的交点坐标为( 2，3 )，( 3，4 )。 新知探究 求直线y = kx + b ( k ≠ 0 )与抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的交点坐标的一般步骤： ( 1 ) 联立； ( 2 ) 得一元二次方程：ax2 + ( b - k )x + c - b = 0； ( 3 ) 在方程有解的情况下，解一元二次方程得：交点的横坐标； ( 4 ) 将横坐标代入直线方程得：交点的纵坐标。 知识要点 典例分析 典例4 求直线y = x + 1与抛物线y = x2 - 1的交点坐标。 解：联立， 得：x2 - 1 = x + 1，即x2 - x - 2 = 0， ( x + 1 )( x - 2 ) = 0，解得：x = -1或x = 2， 当x = 2时，y = 3；当x = 3时，y = 4， ∴直线与抛物线的交点坐标为( -1，0 )，( 2，3 )。 题型探究 【例1】图中抛物线的表达式为y = ax2 + bx + c， 根据图像判断下列方程根的情况。 ( 1 ) 方程ax2 + bx + c = 0的两根分别为__________________； ( 2 ) 方程ax2 + bx + c - 3 = 0的两根分别为_______________； ( 3 ) 方程ax2 + bx + c = 2的根的情况是____________________； ( 4 ) 方程ax2 + bx + c = 4的根的情况是____________________。 图像法解一元二次方程 题型一 有两个不相等的实数根 x1 = x2 = -1 无实数根 x1 = -2.5，x2 = 0.5 题型探究 【例2】 ( 1 ) 已知抛物线y = x2 - ax + 2( a - 3 )， 求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点。 抛物线与x轴的交点个数问题 题型二 解：∵Δ = ( -a )2 - 4 × 1 × 2( a - 3 ) = a2 - 8a + 24 = a2- 8a + 16 + 8 = ( a - 4 )2 + 8 > 0， ∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点。 题型探究 【例2】 ( 2 ) 已知抛物线y = x2 + 4x + k - 1，若抛物线与x轴有两个不同的交点， 求k的取值范围。 抛物线与x轴的交点个数问题 题型二 解：∵抛物线y = x2 + 4x + k - 1与x轴有两个不同的交点， ∴b2 - 4ac = 42 - 4 × 1 × ( k - 1 ) = 20 - 4k > 0， ∴k < 5。 题型探究 【例3】求直线y = 2x - 6与抛物线y = 2x2 - 6x + 4的交点坐标。 求直线与抛物线的交点坐标 题型三 解：联立， 得：2x2 - 6x + 4 = 2x - 6，即x2 - 4x + 5 = 0， ∵ = 16 - 20 < 0， ∴直线与抛物线无交点。 课堂小结 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )与x轴的交点： 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的解。 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )与y = m的交点： 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像与y = m交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2 + bx + c = m ( a ≠ 0 )的解。 课堂小结 课堂小结 求直线y = kx + b ( k ≠ 0 )与抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的交点坐标的一般步骤： ( 1 ) 联立； ( 2 ) 得一元二次方程：ax2 + ( b - k )x + c - b = 0； ( 3 ) 在方程有解的情况下，解一元二次方程得：交点的横坐标； ( 4 ) 将横坐标代入直线方程得：交点的纵坐标。 感谢聆听! $$