2.1.1建立空间直角坐标系 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.1.1 建立空间直角坐标系 1．数轴Ox上的点A，用代数的方法怎样表示呢？ 可用与它对应的实数x表示 x O 数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示 -1 -2 1 2 3 A x y P O x y (x,y) 平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点 2.直角坐标平面上的点P，怎样表示呢？ 问题1:在空间中怎样表示每个点的位置呢？ 如图，如何描述在海面上空飞行的飞机的位置？ 利用坐标定位 对于图中黄色潜艇，若其坐标为（2，3，-0.5），就说明它位于海平面坐标P'（2,3）的位置的正下方，且在海平面以下的0.5km处. 同理，要确定飞机的位置P，可以从飞机在空中所在位置P向海平面作垂线 PP'，垂足为P'，则飞机在 P'上空． 若(x，y，z)=(2，3，2)，单位长度为1 km；就说明飞机在海平面坐标为(2，3)的位置上空，高度为2 km． x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)可以表示空间中每个点的位置 1.空间直角坐标系O-xyz的建立 （1）在空间取定一点O （2）从O出发引三条两两垂直的直线 （3）选定某个长度作为共同的单位长度 (原点) (坐标轴) • O x y z 1 1 1 作图： 一般地 ，使 问题2: 根据上述实例，我们该怎么建立空间直角坐标系呢？ 斜二测画法 斜二测画法画空间直角坐标系需要注意: ①在 y轴、z轴上的线段长度都与原来的长度相同； ②在 x 轴上的线段长度则取原来长度的一半． 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面, O为坐标原点 x轴,y轴,z轴叫坐标轴 分别为xOy平面，yOz平面，xOz平面． Ⅱ Ⅶ 面 Ⅴ Ⅵ Ⅰ 面 面 Ⅲ Ⅳ Ⅷ • O 空间直角坐标系共有八个卦限 2.空间直角坐标系的划分 右手直角坐标系 建立空间直角坐标系时，一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面. 它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系(如右图). 3.空间中点的坐标 有了空间直角坐标系，我们就能够建立空间中对于空间任意一点P与三个实数组成的有序实数组(x,y,z)之间的对应关系. 如图，若点P不在三个坐标平面内，则过点P分别作垂直于x轴,y轴,z轴的平面，依次交x轴,y轴,z轴于点A、B、C.设交点A,B,C分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按照顺序排成(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z). x称为点P的x坐标 O x y z Px Pz x z y P Py y称为点P的y坐标 z称为点P的z坐标 反之：（x,y,z)对应唯一的点P 空间的点P 有序数组 一一 对应 具体过程如下： 13 问题3：在空间直角坐标系中，原点、坐标轴和坐标平面上点的坐标有何特点？ P O P′ （a，b，c） y x z M a Q b R c A B 观察右图所示的长方体，并完成下面的填空. C' D' B' A' C O A B y z x xOy平面是坐标形如 的点构成的 x轴上的点坐标为 ; z轴上的点坐标为 . y轴上的点坐标为__________; ③坐标平面内的点 ②坐标轴上的点 yOz平面是坐标形如 的点构成的 xOz平面是坐标形如 的点构成的 (x,0,0) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) ①原点坐标为（0,0,0） (0,y,0) (0,0,z) 例1 在空间直角坐标系中，描出下列各点： （1）A(0，0，4)； （2）B(3，－3，0)； （3）C(1，2，3)． 例2 长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8，|AD|=3，|AA'|=5． 建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标． 解：如图，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D 都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，因此 A，B，C，D的坐 标分别是 A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)． 问题4 空间中点关于轴和平面的对称点有何特点？尝试画一画. x y O x0 y0 (x0,y0) P (x0 , -y0) P1 (-x0 ,y0) P2 P3 -y0 -x0 (-x0 , -y0) 横坐标相反， 纵坐标不变 横坐标相反， 纵坐标相反 横坐标不变， 纵坐标相反 对称点： 一般的P(x , y , z) 关于： （1）x轴对称的点P1为__________; （2）y轴对称的点P2为__________; （3）z轴对称的点P3为__________; 关于谁对称谁不变 关于坐标平面对称： 一般的P(x , y , z) 关于： （1）xoy平面对称的点P1为__________; （2）yoz平面对称的点P2为__________; （3）xoz平面对称的点P3为__________; （x,y,-z） （-x,y, z） （x, -y, z） 关于谁对称谁不变 (1,-1,-1) (1,1,1) (1,1,-1) (-1,1,1) (-1,-1,1) (1,-1,1) (-1,-1,-1) 关于谁对 称谁不变 其余坐标 变相反数 例3 空间直角坐标系中，点P（1，-2，3） （1）求点P关于x轴的对称点A坐标？ （2）求点P关于yoz平面的对称点B坐标？ 答案（1）A（1，2，-3） （2）B（-1，-2，3） 1.知识清单： (1)空间直角坐标系的相关概念. (2)空间直角坐标系中点的坐标. (3)空间直角坐标系中点的对称问题. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：由空间点的位置求点的坐标时，坐标的符号容易出错. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.z轴上点的坐标的特点是(　　) A．竖坐标为0　 　B．横坐标，纵坐标都是0 C．横坐标为0 D．横，纵，竖坐标不可能都是0 B 2.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(　　) A．y轴上 B．xOy平面上 C．xOz平面上 D．yOz平面上 C 4.如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中|OA|=3, |OC|=4， |OD′|=2,写出长方体以下顶点的坐标. A B C O x A′ y z B′ C′ D′ 3.在空间直角坐标系O－xyz中，点P(1,2,3)关于xOz平面的对称点的坐标是________． （1，-2,3） 点D′坐标为 ; 点A′坐标为 . 点C坐标为__________; 点B′坐标为 . y z x 5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标. $