2.1 空间直角坐标系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.1　空间直角坐标系 1 | 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系:在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线 Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的长度单位,分别建立坐标轴,依次称为x轴、 y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz. 2.相关概念:在空间直角坐标系O-xyz中,点O叫坐标原点,由两条坐标轴确定的平 面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.空间直角坐标系点的坐标的概念 在空间直角坐标系O-xyz中,若点P与有序实数组(x,y,z)之间为一一对应关系,此时, 有序实数组(x,y,z)称为点P的坐标,记作P(x,y,z),其中x称为点P的横坐标,y称为点P 的纵坐标,z称为点P的竖坐标. 2.特殊点的坐标 在空间直角坐标系中,原点O的坐标为(0,0,0),x轴上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的 点的坐标为(0,y,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z),xOy平面内的点的坐标为(x,y,0),yOz 平面内的点的坐标为(0,y,z),xOz平面内的点的坐标为(x,0,z). 记忆方法:无谁谁为0. 2 | 空间点的坐标表示 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则 |AB|= . 特别地,原点O到空间中任意一点P(x,y,z)的距离为|OP|= . 3 | 空间两点间的距离公式 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 知识拓展     1.线段中点坐标公式 已知空间中任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点M的坐标为  . 2.三角形重心坐标公式 已知△ABC的三个顶点分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心 G的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 3.空间中的对称问题 在空间直角坐标系内,已知点P(x,y,z),则有如下结论: (1)点P关于原点对称的点是P1(-x,-y,-z); (2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x,-y,-z); (3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x,y,-z); (4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x,-y,z); (5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x,y,-z); (6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x,y,z); (7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x,-y,z). 记忆方法:关于谁对称谁不变,其余坐标变为相反数. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存 在唯一的对应关系? 是.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点的坐标是唯一的有序实数组(x,y, z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间中也有唯一的点与之对应. 2.在空间直角坐标系中,x轴上的点的坐标满足x=0,对吗? 不对.x轴上的点的坐标形式为(x,0,0),即x轴上的点的坐标满足y=0,z=0. 3.在空间直角坐标系中,xOz平面上的点的坐标满足y=0,对吗? 对.xOz平面上的点的坐标形式为(x,0,z). 4.空间两点间的距离公式对同在坐标平面内的两点适用吗? 适用.空间两点间的距离公式适用于空间中任意两点,对同在某一坐标平面内的 两点也适用. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 5.已知点A(3,4,5),则点A到原点O的距离是多少? 由原点到空间中任意一点的距离公式得|OA|= =5 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.建立空间直角坐标系应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的对称性; (3)充分利用图中已有的垂直关系. 2.确定空间中点的坐标的方法 (1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影.方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C的坐 标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则(x,y,z)就是点P的坐标. (2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1,由 的长度及 其方向确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的 横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z). 1 空间直角坐标系点的坐标的确定 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是1,且侧棱AA1⊥底面ABC,试建 立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO,OO1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC,OO1 ⊥BO,以O为原点,有向直线OB,OC,OO1分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立 空间直角坐标系,如图所示.   ∵三棱柱的各棱长均为1,∴OA=OC=O1C1=O1A1= ,OB= , ∵点A,B,C均在坐标轴上, ∴A ,B ,C . 由题意知A1,B1,C1在xOy平面内的射影分别为点A,B,C,且AA1=1, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 ∴A1 ,B1 ,C1 . 解题指导    需注意的是,空间点的坐标受空间直角坐标系的制约,同一个点在不 同的空间直角坐标系中的坐标一般是不同的,故本题若建立其他的空间直角坐标 系,则得到的各点的坐标也会随之改变. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.计算空间两点间的距离 (1)若两点坐标已知,则直接代入空间两点间的距离公式求解. (2)若点的坐标未知,则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系 求出点的坐标,再代入空间两点间的距离公式求解. 2.利用空间两点间的距离公式确定点的坐标 设出点的坐标,利用空间两点间的距离公式构造方程求解.此外,要注意点的坐标 的巧设,如在x轴上的点的坐标可设为(x,0,0),在xOy平面上的点的坐标可设为(x,y, 0). 3.根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长,从而判断三角形的形状. 2 空间两点间的距离公式的应用 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例    (1)已知△ABC的三个顶点分别为A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5),求△ABC中 最短边的边长及AC边上中线的长度; (2)若点P在x轴上,它到点P1(0, ,3)的距离为它到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,求点P 的坐标; (3)已知三角形的三个顶点分别为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试判断该三角形 的形状. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    (1)由空间两点间的距离公式得, |AB|= =3, |BC|= = , |AC|= = , ∵ >3> , ∴△ABC中最短的边是BC,其长度为 . 由中点坐标公式得,AC的中点坐标为 , ∴AC边上中线的长度为  = . (2)∵点P在x轴上, ∴不妨设点P(x,0,0), 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 则|P1P|= = , |P2P|= = . ∵|P1P|=2|P2P|, ∴ =2 , 解得x=±1, ∴点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0). (3)易得|AB|=  =3, |BC|= =3 , |AC|= =3. ∵|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2, ∴△ABC是等腰直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 $$