专题02 平面向量数量积5种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题02 平面向量数量积问题 目录 类型一、平面向量数量积的几何意义（投影） 类型二、求平面向量的投影向量 类型三、与向量的模有关的计算 类型四、与向量夹角的有关计算 类型五、利用公式法求向量的数量积 类型六、利用投影法求向量的数量积 类型七、利用极化恒等式求向量的数量积 压轴专练 类型一、平面向量数量积的几何意义（投影） 解题技巧： 平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为； 当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0. ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积 例1-1．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 例1-2．若单位向量满足，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 变式1-1．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为______ 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解. 【详解】向量在方向上的投影为：. 故答案为：. 变式1-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 【答案】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 向量在向量方向上的投影， 故答案为：. 变式1-3．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得． 【详解】在方向上的数量投影为： 故答案为： ． 变式1-4．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____. 【答案】 【分析】设，，，由题意点A,B分别在两个圆上运动，作，由数量投影的定义，分为锐角、钝角时讨论，先固定点，移动点A，再固定点，移动点，由图可得取最值时的情况，由几何关系求解即可. 【详解】由题可设，，， 则可得在以为圆心，3为半径的圆上， B在以为圆心，1为半径的圆上， 如图所示，作，垂足为，当为锐角时，在方向上的数量投影为， 先固定点，移动点A，当变小时，变大，变大， 则当直线与圆相切时，最大； 再固定点，移动点，则当与圆N相切时最大； 此时，，，则， 作，垂足为，连接， 则， 故在方向上的数量投影最大为； 当为钝角时，在方向上的数量投影为， 则越大，数量投影越小， 先固定点，移动点A，当变大时，变小，数量投影变小， 则当直线与圆相切时，数量投影最小； 再固定点，移动点，当与圆N相切时最大，数量投影最小； 此时，，， 则， 作，垂足为， 则， 则在方向上的数量投影最小为. 故答案为：. 类型二、求平面向量的投影向量 解题技巧： 向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为= 例2-1．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为___________. 【答案】 【分析】根据投影向量的求解公式得到答案. 【详解】向量在向量上的投影为. 故答案为： 例2-2．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式求出结果即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 所以. 故答案为：. 变式2-1．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ． 【答案】 【分析】利用投影向量的公式计算即可． 【详解】向量在向量方向上的投影向量是． 故答案为： 变式2-2．已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_________． 【答案】 【分析】设与的夹角为，则，利用投影向量的定义可得出的值，即可得出角的值，即为所求. 【详解】设与的夹角为，则， 因为在上的投影向量为，可得， 故，即与的夹角为. 故答案为：. 变式2-3．（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 【答案】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 变式2-4．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由知，为直角三角形；根据在上的投影向量为计算. 【详解】 设的中点为，则，所以， 所以外心与中点重合，故为直角三角形. 设，则，， ，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为. 故选：C. 类型三、与向量的模有关的计算 解题技巧： 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 例3-1．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 例3-2．起点重合，，则的取值范围为________________ 【答案】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． 变式3-1．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是__________. 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、的值，再由并结合向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因为平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 变式3-2．已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 变式3-3．平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 变式3-4．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 【答案】 【分析】利用数量积的运算律，系结合恒成立的不等式求得，再利用数量积的运算律求得，然后利用向量的三角不等式求出最小值. 【详解】由，得，而， 则，依题意，对任意的实数，恒成立， 因此，则， 又， 则 ，当且仅当与反向时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 类型四、与向量夹角的有关计算 解题技巧： 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝ 例4-1．已知，且与的夹角为； (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，求与的夹角大小. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）结合数量积的定义和运算律利用向量垂直数量积为零解方程可得； （2）由数量积的运算律和模长的计算结合向量夹角的计算公式可得. 【详解】（1）若与垂直，则， 因为，且与的夹角为， 所以，解得. （2）， ，， 所以， 因为两向量夹角范围是，所以与的夹角为. 例4-2．已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 变式4-1．若，，与的夹角为，则向量与的夹角为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算即得. 【详解】依题意，，， ，， 因此，而， 所以向量与的夹角。 故答案为： 变式4-2．已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求及的值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据向量数量积运算律将展开得，再将代入即可求得的值； （2）先由得到，再将平方后转化为数量积运算求解，然后利用即可求解． 【详解】（1）因为，所以，故， 又，所以， （2）因为，所以； 所以， 所以，因为， 又，，， 所以. 变式4-3．已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）通过求平方即可求解； （2）根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解； 【详解】（1）， 所以 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与的夹角不为． 首先， 因为， 所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以， 所以的取值范围为． 变式4-4．已知，为单位向量，且与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量共线定理求解即可； （2）根据结合数量积的运算律求解即可； （3）由题意可得且向量与不共线，再根据数量积的运算律和平面向量共线定理求解即可. 【详解】（1）因为与共线， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以； （2）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 则； （3）因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与不共线， 由，得， 即，解得， 当向量与共线时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为向量与不共线，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 类型五、利用公式法求向量的数量积 解题技巧： 基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解 例5-1．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再由向量的数量积公式计算即可. 【详解】， . 故选:B 例5-2．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 变式5-1．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可. 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 变式5-2．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由余弦定理可得，利用数量积的定义可求得的值. 【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：A. 变式5-3．如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得. 【详解】连接，，设，依题意，，，， 则， 由，得，所以. 故选：C 变式5-4．在平面几何中的“圆幂定理”有一个重要结论，即相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆的半径为是圆内的定点，为过点的直径，且，则__________. 【答案】12 【分析】由“相交弦定理”得到，再结合，由向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由，得， ，由，得， 所以 . 故答案为：12 类型六、利用投影法求向量的数量积 解题技巧： 投影法（数量积的几何意义） （其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-） 例6-1．在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 例6-2．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．    【答案】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，      过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 变式6-1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=（ ） A．    B．      C．     D． 【答案】D 【分析】利用投影解决向量积的方法进行求解． 【详解】 变式6-2．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 变式6-3．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则__________； 【答案】 【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再由对称性得到AC与AE的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果. 【详解】连接CE，因为正八边形的每一个内角都是，且， 所以, 由正八边形的对称性知，且，所以， 则， 故答案为： 变式6-4．八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意可知：，，， 则，， 所以. 故答案为：. 类型七、利用极化恒等式求向量的数量积 解题技巧： （1）极化恒等式： ①公式推导： ②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． ①推导过程：由. ②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （4）极化恒等式的适用范围： ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 例7-1．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 例7-2．在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【详解】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 变式7-1．线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】由题意知，连接，为的中点， 则， 可得， 又因为，则圆心O到直线CD的距离为， 由点P在线段CD上可知，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 变式7-2．如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 变式7-3．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 变式7-4．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 压轴专练 1.已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 、 的夹角为 ，利用投影向量的定义可得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】设 、 的夹角为 ， 因为向量在向量 上的投影向量为，所以， 又因为，则 ． 故选：C. 2设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，求出，再利用不等式即可求解. 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 3.已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断是不是必要条件即得 【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设. 则， 因为，所以，所以， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件； 若，则 ，但此时，不是锐角， 所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件. 总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4.已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由知，为直角三角形；根据在上的投影向量为计算. 【详解】 设的中点为，则，所以， 所以外心与中点重合，故为直角三角形. 设，则，， ，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为. 故选：C. 5.在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形先利用向量数量积的运算律求得，，化简得，再借助于向量的三角不等式即可求出的取值范围. 【详解】    如图，因，， 则，即， 因，又，则， 则， 因， 当且仅当与同方向时，； 当且仅当与反方向时，， 即. 故选：C. 6.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（   ） A．5 B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出. 【详解】分别取线段的中点为， 因为圆心，则， 则，， 又为边的中点，则， 则. 故选：C 7.已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的运算和模长公式可得的最小值为3，结合二次函数最值得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】已知， 又任意，的最小值为，则的最小值3， 记，则的最小值为3， 即，即， 又向量与夹角为锐角，则， 即，即，即， 则， 又向量满足，则， 即， 即， 即. 故选：D． 8.已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 【答案】 【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解. 【详解】依题意，设与的夹角为，， 因为，，所以，即， 则，所以， 因为对任意的，都有成立， 所以，即，即对于恒成立， 故，又，解得， 综上，，则的最小值为. 故答案为：. 9.如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为___________.    【答案】4 【分析】设向量，的夹角为，根据数量积的定义可得，说明能取，由此证明结论. 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 10.已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题可知单位向量的夹角为，解法1、设，根据可得，利用几何意义即可求解；解法2、设，，由代入可得，再利用零点存在定理即可；解法3、设，为的中点，根据极化恒等式，再根据几何意义可解. 【详解】设， 则 所以，解得，即单位向量的夹角为， 解法1：设，，， 则， 得， 整理得， 即， 所以． 解法2：设，，由， 得， 即， 从而有即 得． 解法3：极化定理法 设，为的中点，则， 则有：， 解得，所以点在以为圆心、为半径的圆上运动， 如图，则，所以． 故答案为：. 11.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论： ①与的夹角为； ②； ③； ④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）． 其中正确结论的个数为______． 【答案】2 【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可. 【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误； 对②：，平分，则，②错误； 对③：∵，则，③正确； 对④：∵，即与的夹角为，     ∴向量在向量上的投影向量为，④正确； 故答案为：2 12.已知向量，不共线，为实数. （1）若，，，当为何值时，，，三点共线： （2）若，且与的夹角为120°，实数，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）因为三点共线，则存在实数，使得，由此得到关于的方程，解方程即可得到答案． （2）求出与的数列积，然后将所求平方，转为为与的模和数量积的运算，利用二次函数即可求出其取值范围． 试题解析：（Ⅰ）三点共线，则存在实数，使得， 即，则 （Ⅱ）由，则， 因为，当时，的最小值为 当时，的最大值为 所以的取值范围是 13.已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)求：先利用向量模的平方等于向量自身平方，将转化为，再用完全平方公式展开，结合向量数量积公式算出结果，最后开方. (2)求在上的投影向量：依据投影向量定义，把已知的和的值代入公式计算. (3)先根据数量积分配律展开式子，解不等式得到的初步范围；再通过设共线关系求出共线时的值，排除这些值，得到最终范围. 【详解】（1）根据向量模的平方等于向量自身平方，可得. 根据完全平方公式，则. 已知，，且，的夹角为，可得. 所以.则. （2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为. 由前面计算可知，，所以投影向量为. （3）因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且与不共线. 可得. 将，，代入上式，得到，即.解得. 若两向量反向共线，则存在实数，使得， 即，将代入，得到，因，解得. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 14.已知向量与的夹角为，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义得出内积的值，并根据展开得到； （2）利用直接计算即可得到结果； （3）将条件转化为且，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】（1）由题目条件知，. （2）. （3）由于， ， ， 而与夹角为钝角，这等价于且. 从而且，即且. 将方程变形为， 整理得到，即. 这在时一定不成立，故可直接去除该条件. 从而的取值范围是. 15.已知两个不共线的向量，的夹角为，且 (1)若，求的最小值及对应的x的值，并指出向量与的位置关系； (2)若为锐角，对于正实数m，关于x的方程有两个不同正实数解，且，求m的取值范围． 【答案】(1)当时，最小值，垂直 (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次函数的性质求出的最小值及相应的值，利用数量积公式判定向量的位置关系； （2）利用平面向量的模长公式将方程有两个不同正实数解转化为方程有两个不同正实数解，再利用根与系数的关系列出不等式组，再利用进行求解. 【详解】（1）解：由题意可知： ， 当时，取得最小值， 此时，， 所以； （2）解：对方程两边平方， 得， 设关于x的方程有两个不同正实数解， 所以， 解得； 若，则方程可化为， 则； 而已知，故， 令，又θ为锐角， 得，故，且， 综上所述，当且时，m的取值范围为 且； 当或时，m的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量数量积问题 目录 类型一、平面向量数量积的几何意义（投影） 类型二、求平面向量的投影向量 类型三、与向量的模有关的计算 类型四、与向量夹角的有关计算 类型五、利用公式法求向量的数量积 类型六、利用投影法求向量的数量积 类型七、利用极化恒等式求向量的数量积 压轴专练 类型一、平面向量数量积的几何意义（投影） 解题技巧： 平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为； 当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0. ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积 例1-1．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 例1-2．若单位向量满足，则在方向上的数量投影为______. 变式1-1．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为______ 变式1-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 变式1-3．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为______. 变式1-4．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____. 类型二、求平面向量的投影向量 解题技巧： 向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为= 例2-1．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为___________. 例2-2．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 变式2-1．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ． 变式2-2．已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_________． 变式2-3．（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 变式2-4．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 类型三、与向量的模有关的计算 解题技巧： 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 例3-1．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 例3-2．起点重合，，则的取值范围为________________ 变式3-1．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是__________. 变式3-2．已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 变式3-3．平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 变式3-4．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 类型四、与向量夹角的有关计算 解题技巧： 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝ 例4-1．已知，且与的夹角为； (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，求与的夹角大小. 例4-2．已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 变式4-1．若，，与的夹角为，则向量与的夹角为______. 变式4-2．已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求及的值. 变式4-3．已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 变式4-4．已知，为单位向量，且与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 类型五、利用公式法求向量的数量积 解题技巧： 基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解 例5-1．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 例5-2．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 变式5-1．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 变式5-2．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 变式5-3．如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．在平面几何中的“圆幂定理”有一个重要结论，即相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆的半径为是圆内的定点，为过点的直径，且，则__________. 类型六、利用投影法求向量的数量积 解题技巧： 投影法（数量积的几何意义） （其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-） 例6-1．在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6-2．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．    变式6-1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=（ ） A．    B．      C．     D． 变式6-2．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则__________； 变式6-4．八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________． 类型七、利用极化恒等式求向量的数量积 解题技巧： （1）极化恒等式： ①公式推导： ②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． ①推导过程：由. ②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （4）极化恒等式的适用范围： ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 例7-1．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 例7-2．在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 变式7-1．线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 变式7-2．如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式7-3．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-4．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 压轴专练 1.已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 2设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3.已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5.在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（   ） A．5 B．10 C．13 D．26 7.已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 9.如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为___________.    10.已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是______． 11.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论： ①与的夹角为； ②； ③； ④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）． 其中正确结论的个数为______． 12.已知向量，不共线，为实数. （1）若，，，当为何值时，，，三点共线： （2）若，且与的夹角为120°，实数，求的取值范围. 13.已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 14.已知向量与的夹角为，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与夹角为钝角，求实数k的取值范围. 15.已知两个不共线的向量，的夹角为，且 (1)若，求的最小值及对应的x的值，并指出向量与的位置关系； (2)若为锐角，对于正实数m，关于x的方程有两个不同正实数解，且，求m的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $