第八章 平面向量（高效培优单元自测·提升卷）数学沪教版高一必修第二册

第八章 平面向量（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知向量，，，若A，C，D三点共线，则_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值. 【详解】由，又A，C，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为： 2．如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用基底表示向量、向量减法法则的几何应用 【分析】设，利用平面向量基底表示以及线性运算可得、，结合数量积的运算律、定义和诱导公式计算即可. 【详解】设，则， ， 设正方向边长为6，则， 所以 ， 所以. 故答案为： 3．已知向量，且，则________________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量垂直求参数、坐标计算向量的模 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数m，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，，解得， 所以. 故答案为：. 4．设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】由，结合数量积的性质求的关系，再确定的大小即可． 【详解】单位向量，由，得，解得， 而，当且仅当时取等号，因此，此时， 因此，，， 所以. 故答案为：1 5．在中，，，，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围． 【详解】根据正弦定理得，即， ， ， ，，所以， ， 即的取值范围． 故答案为：． 6．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，向量与共线， 可得，即，可得，解得. 故答案为：. 7．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     8．高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】在中，，，米， 则， 因为， 所以米， 在中，， 则， 所以米. 故答案为：. 9．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量新定义、已知模求数量积 【分析】利用题干中的定义即可求得结果. 【详解】设是的夹角，因为， 又因为，故，所以， 故答案为： 10．知，，，则在上的投影向量是______．（用坐标表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】利用向量数量积、模的坐标运算求解即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量， 故答案为： 11．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米.    【答案】90 【难度】0.85 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 12．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律、基本不等式求积的最大值 【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得． 【详解】因为是中点，，，得， 在四边形中，令，，由，得，， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 当且仅当时，两个等号同时成立， 所以的最大值为． 故答案为：. 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】先求出，根据即可求解. 【详解】， 由，可得， 即，解得. 故选：D. 14．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线， 所以. 故选：A. 15．如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　) A．[0,) B．[0,2) C．[1,) D．[1,2) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量的模 【分析】设的夹角为θ，θ∈，则cosθ∈[﹣1，0），||2=+2=2+2cosθ即可． 【详解】设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,). 答案A 【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底． 16．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设向量 (1)若与垂直，求的值. (2)求的最大值. 【答案】（1）2．（2）4． 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量模的坐标表示、平面向量的数量积 【分析】（1）根据向量垂直得出数量积为0，列出方程，使用三角函数恒等变换化简； （2）求出（）2，利用三角函数的性质得出（）2的最大值； 【详解】解：（1）（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ）， 若（），则0，即4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）＝0． ∴4cosαsinβ+4sinαcosβ﹣8cosαcosβ+8sinαsinβ＝0， 即sin（α+β）＝2cos（α+β）， ∴tan（α+β）＝2． （2）（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ）， ∴（）2＝（sinβ+cosβ）2+（4cosβ﹣4sinβ）2＝17﹣30sinβcosβ＝17﹣15sin2β． ∴当sin2β＝﹣1时，（）2取得最大值32． ∴||的最大值是4． 【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直，三角函数的恒等变换，属于中档题． 18．已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】（1）根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由向量， 则，解得， 设向量和的夹角为，则，所以， 所以向量和的夹角为. （2）解：向量为在上的投影向量，可得， 则. 19．在平行四边形ABCD中，已知，点为BC上一点，点为CD上一点，满足.当时，. (1)求的值； (2)当取最小值时，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】（1） 当时, ， 可得，, ， 化简得， 带入解得. （2）由题意可得，， 由(1)可知. 带入得， 设，对称轴为,可知在上单调递减，在上单调递增， 则在上时取最小值，此时. 20．如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记． (1)当时，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）分解向量得，，然后由向量的数量积即可求解； （2）分解向量得，由三点共线可设，根据三点共线求得的值即可进一步求解； （3）分解向量得，，结合，可得，从而所求可转换为关于的函数. 【详解】（1） 由题意， ， 所以 ； （2） ， 若，则， ， 因为三点共线， 所以可设， 由于三点共线，所以设， 所以，解得，， 所以； （3） ， 则 ， , 因为三点共线， 所以可设， 因为，所以， 所以，即， 所以， 令，所以， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故所求为. 21．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析，（ii) 【难度】0.65 【知识点】向量新定义、数量积的运算律 【分析】（1）由新定义代入即可求解； （2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果. 【详解】（1）由，， 可得： （2）（i）因为 ， 且，，则， 所以. （ii）因为D为中点， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的中点，则， 可得， 即 则， ， ， 可得， 所以. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知向量，，，若A，C，D三点共线，则_____. 2．如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则________． 3．已知向量，且，则________________ 4．设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 5．在中，，，，则的取值范围是__________． 6．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为_________． 7．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 8．高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，.    9．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则__________. 10．知，，，则在上的投影向量是______．（用坐标表示） 11．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米.    12．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 14．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 15．如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　) A．[0,) B．[0,2) C．[1,) D．[1,2) 16．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设向量 (1)若与垂直，求的值. (2)求的最大值. 18．已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 19．在平行四边形ABCD中，已知，点为BC上一点，点为CD上一点，满足.当时，. (1)求的值； (2)当取最小值时，求. 20．如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记． (1)当时，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $