专题4 综合与实践-【一战成名新中考】2026广西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题四 综合与实践(5年4考) 考情时间轴 22.二次函数的实际 25.一次方程与一次函数 应用，平移遮阳伞 的实际应用，制作杆秤 2024 2022 2025 2023 2021 23.分式方程的实际应用 22.统计调查，分类树木 洗衣节约用水策略 综合训练 类型1方程函数应用类 (2025.22,2024.23,2023.25) 1.[新人教七上P189综合与实践、人教九上P17实验与探究改编]综合与实践：根据以下素材，探索 完成任务. 【背景】据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相 等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈 (最内圈边线)弯道半径为35.0米到38.0米之间 【素材1】 某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36米的标准跑道 (如图).小轩同学计算了各圈（各跑道内圈边线）的长如下（π取3.14，结果保留一位小数）. 第一圈长：87×2+2π(36+1.2×0)≈400.1（米）： 第二圈长：87×2+2T(36+1.2×1)≈407.6（米）； 第三圈长：87×2+2π(36+1.2×2)≈415.2（米） 【素材2】 小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步，教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所在跑道内侧边线 长计路程)，在图中起跑线的位置同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇.已知小轩的平均 速度与教练的平均速度之比为2：3. 【问题解决】以下各题中，π取3.14，结果保留一位小数 【任务1】 (1)求第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？ (2)求小轩计算的第八圈的长是多少米？ 【任务2】 (3)求小轩与教练的平均速度各是多少？ (注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人在直道相遇)》 起跑线 足 场 第1题图 专项分类提升练·广西数学 39 2.学科融合「2025兰州7综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请 你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长 素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的 发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度： 0 0.6 1.7 2.5 2.7 3.3 4.2 x(标准单位) 发芽率y(%) 35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应 的点 y(%) 80 60- O20 1● ○ 自然发芽率 0123456x(标准单位) 第2题图 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率： ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽： ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验。 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式： (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围。 40 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 3.[2025深圳·沪科七下P38综合与实践改编]综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检 时间，安检通道数之间的关系. 【研究条件】 黑点表示观众 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数 ●●安检口●000 ● =现场总人数-已入场人数； ● 舞 ●安检口●●●● 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道 ● 安检口●●●●● 每分钟可安检6人. ● ● 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现 通道未开放 场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y=-x2+60x+100(0≤ 第3题图 x≤30) 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 ,排队人数w与安检时间x 的函数关系式为 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检 流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性， 专项分类提升练·广西数学 41 4.综合与实践 【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图①，现要利用若干长为 200mm的相同吸管制作简易排箫 【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动 频率，部分数据如表1： 表1 长度x/mm 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y/Hz 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 (填“高”或“低”) (2)请你根据表1中的数据在图②中描点、连线.观察图象，振动频率y与吸管长度x之间的关系 可以近似地用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式 表2C调音符与频率对照表 不同音区的频率/Hz 音符 低音区 中音区 高音区 个振动频率y/Hz 1800 Do 262 523 1046 1600 --- 1400 1200 --- Re 294 587 1175 1000 800 Mi 330 600 659 1318 400 200 Fa 349 698 1397 05060708090100110120130140150160170180190200长度x/mm So 392 784 1568 图① 图② La 440 880 1760 第4题图 494 988 1976 【实际应用】 (3)根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的Do音，若能，请求出对应吸管长度：若 不能，请说明理由.（精确到1mm) 42 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 5.综合与实践 综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动， 素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00 是峰时，22：00到次日8：00为谷时. 素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式： 分时电表 普通电表 峰时(8：00到22：00) 谷时(22：00到次日8：00) 电价0.55元/度 电价0.6元/度 电价0.4元/度 素材三： 小明家 4月 5月 6月 备注 时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实 用电量（度） 250 50 250 100 320 100 施分时电表计价 小红家 4月 5月 6月 备注 用电量（度）》 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价 任务 (1)小明家4月份电费为 元，6月份电费为 元； (2)小红家4月份电费为 元，6月份电费为 元； 任务二： (3)某家庭某月用电量α度(a为常数)，其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为y1元，用普 通电表计价时总价为y2元.分别求出y,y2与用电量之间的关系式； (4)通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样： 任务三： (5)根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”)，请给使用 分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费。 专项分类提升练·广西数学 43 6.学科融合「2025吉林省卷7综合与实践 【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相 同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方，从离桌面20cm的高度， 分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化.（溢 水杯的杯底厚度忽略不计) 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关物体 浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力： 当小铝块浸入液面后，F拉为=G重力F浮力 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A,B各自的示数F拉(N)与小铝块 各自下降的高度x(cm)之间的关系如图②所示. 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数. (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式. (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙 液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出 m,n的值 B F拉方/N 2.8, 弹簧测力计A的示数 2.5 弹簧测力计B的示数 20 cm 20 cm 甲 U 0 610 20 x/cm 图① 图② 第6题图 44 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 类型2几何测量类 7.[2025兰州]综合与实践 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探究用三角函数知识 计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地 球之间的近似距离.具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 B P 月球 地球A 第7题图 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A,B,以线段AB作为基准线，再借助天文 说明 经纬仪从A,B两点同时观测月球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度 数.根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作PH⊥AB于点H,连接AP,BP 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP=8925'37.43",∠BAP=8922'38.09" 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH.（结果精确到1万千米) (参考数据：tan8925'37.43"≈100.00，tan8922'38.09≈92.00，sin8925'37.43"≈0.99995， sin8922'38.09"≈0.99994，c0s8925'37.43"≈0.00999，cos89°22'38.09"≈0.01087) 专项分类提升练·广西数学 45 8.「2025吉林省卷7综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度 项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文 化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度， 为制作3D打印模型提供数据， 项目报告表 时间：2025年5月29日 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 项目分析 测量工具 测角仪、皮尺 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量 草图。 任务一 1.测出测角仪的高CD=1.4m. 测量数据 2.利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE=61°. 3.测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之：1S B D 项目实施 间的距离DB=42m. 第8题图 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度.（结果精确 任务二 到1m) 计算实际高度 (参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804)》 任务三 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印 换算模型高度 模型的高度约为 cm.(结果精确到1cm) 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三 46 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 9.[2025河南]综合与实践 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈土纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部 的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下， 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和 测量示意图 E FMD 第9题图 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处， 同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼 测量说明 睛所在位置为点N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视 线上 测量数据 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m,MN=1.2 m. 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题 (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度. (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m查阅资料得知，纪 念碑的实际高度为19.64m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差 较大的可能原因（写出一条即可）. 专项分类提升练·广西数学 47 10.「2025山东省卷7综合与实践 【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校 航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①， 【问题提出】 部件主视图如图②所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到1的长度的方案， 以检测该部件中1的长度是否符合要求 CB A 正面 图① 图② 图③ 图④ 第10题图 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）. 操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图 ④，⊙O分别与AC,AD相切于点B,D.用游标卡尺测量出CC的长度y. 【问题解决】 已知∠CAD=∠C'A'D'=60°，l的长度要求是1.9cm~2.1cm (1)求∠BAO的度数： (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的 长度是否符合要求.（参考数据：√3≈1.73） 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体 吗？如果能，写出一个：如果不能，说明理由 48 专项分类提升练·广西数学5.解：(1)当点C落在边DF上时，x的值为6，S的值为18： (2)当点C落在边DE上时，AF=EF=6√2cm,设DF与 BC的交点为G,如解图①. CD=DE-AC=(12-62)cm, ∠D=45°，∠BCD=90°，.CG=CD=(12-6W2)cm, △C0G的面积为CD·CG=之x(2-6,万)x(12- 62)=(108-722)cm2, △DEF的面积为2EF.DF=7×6,x6万=36(em). ∴.S=SADEF-Sacc=36-(108-72W2)=(72W2-72)cm2, ∴.当点C落在边DE上时，x的值为6√2，S的值为722 72: A(E) E 图① 图② 第5题解图 (3)从图③到点F与点B重合的过程中，设DE,DF分别 与BC交于点H,G,如解图②， .BF=FG=12-, .DG=DF-FG=62-12+x, ∴DM=iG=C=6-65+ 2 2， .S=S△EF-S△DHc x656-6 =+(6-3)+6w5-18: 从图③到点F与点B重合的过程中S关于x的解析式为 5=+(6-32)+36万-18(6≤≤12)， 该函数图象的对称轴为直线x=12-62<62, 在此过程中，当6√2≤x≤12时，S随x的增大而减小， 当S取得最大值时，x的值为62. 6.解：(1)由题意可得BC⊥AD,OA=OB. 设⊙0的半径为rm,0B=0A=rm,C0=(r-0.8)m, 在Rt△0BC中，∠OCB=90°，BC2+OC2=OB, 即1.62+(r-0.8)2=72,解得r=2, ∴.圆心0到地面的距离0D=AD-A0=2.6-2=0.6(m) 答：圆心0到地面的距离为0.6m: (2)小明的说法正确.理由如下：如解图①，延长B0交ED 的延长线于点K,OB∥GF,CBDF,.∠GFE=∠BKE= ∠CBO, K 第6题解图① :∠BC0=∠GEF=90°，0C=GE=1.2m, ∴.△FEG≌△BCO(AAS),∴.FG=OB, .小明的说法正确： 参考答案与重难题每 一战成名新中考 （3l=05n+1.41m≤1或1=-n+3( ,16 15 <n<3): 理由如下：当过点B的影子M落在DE边上时，有BM∥ GF,如解图②，过点B作BN⊥DE交DE于点N, 当F,H重合时，EF=1, Ar G 0 第6题解图② ,'BM∥GF,∴.∠BMN=∠GFE,则tan∠BMN=tan∠GFE, 祭w子 BN GE 当过点B的影子M与D重合时，MN=L.6,E示，即 1.6EF.EF=16 1.81.2 5 分两种情形： 情形一：当过点B的影子M落在DE边上时，1<n≤6时。 15 此时M在DN上，如解图③ 0 D M 第6题解图③ MF=1.DM=DE-MF-EF=3-l-n, MN=DN-DM=1.6-(3-l-n), 由BM∥GF得tan∠BMN=tan∠GFE. 票甲16品2热理鹅01 情形二：当过点B的影子M落在AD上时，如解图④， A D E 第6题解图④ 此时点P在左制且治ca<3。 此时太阳光线可照射在花圃上的宽度为DF=DE-EF, 即l=-n+3: (4)由题意可得1≥0.8， 当1ka≤治1-05+14 则有0.5n+1.4≥0.8.解得n≥-1.2： 当6 5n<3时，1=3-n,则有3-n≥08，解得n≤2.2. 综上所述，n的取值范围为1<n≤2.2. 专题四综合与实践 1.解：(1)第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长约多 15.1米： (2)小轩计算的第八圈的长约是452.8米： 析·广西数学 31 (3)小轩的平均速度约为8.2米/秒，教练的平均速度约 为12.2米/秒. 2.解：(1)y关于x的函数是二次函数 该二次函数的表达式为y=-7x2+28x+35: (2)抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5 3.解：(1)18x,w=-x2+42x+100: (2)排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541 人 (3)7条，理由如下：设开了m条安检通道，则w=y-6mx= -x2+60x+100-6mx=-x2+6x(10-m)+100 .对称轴为直线x=3(10-m), :·排队人数在10分钟内（包括10分钟）减少， .0≤3(10-m)≤10，即3≤m≤10， 又·最多开通9条 20 9. m为正整数， .m最小值为7， .最少开7条安检通道 4.解：(1)高： (2)根据表1中的数据描点、连线，画出函数图象如解图. 反比例： 根据表格可知xy=87000. ∴.从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似地用 反比例函数模型反映，该函数表达式为)-8700 (x>0). 个振动频率y/Hz 1800 1600 T-r-r-c 1400 1200 1000--- 800- 400h 00607力809010011012013014015016017018019020装度x/mm 第4题解图 (3)不能吹出低音区的Do音，理由略 5.解：(1)170,232；(2)154,231； (3)y1=0.6x+0.4(a-x)=0.2x+0.4a,y2=0.55a; (4)当。为子时，家庭使用分时电表和普通电表费用一 样： (5)小：建议：尽可能地在峰时少使用电器 6.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为 2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N (2)当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的 函数解析式为F拉力=-0.3x+5.8. (3)m=0.6,n=1.6. 7.解：月球与地球之间的近似距离PH为38万千米 8.解：任务二：该城市规划展览馆AB的高度约为77m: 任务三：19 9.解：(1)太阳光下，纪念碑顶端A的影子落在点D处，同 一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处 AC DE CD DF 标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF, .∴.CD=CA: (2)纪念碑AB的高度为19.8m; (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB 32 参考答案与重对 的高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m, .小红的结果误差较大 原因：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无 法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果（答 案不唯一，合理即可) 10.解：(1)∠BA0=30°： (2):钢柱的底面圆半径为1cm, ∴.BC=OB=1, ∠OAB=30°，∠OBA=90°， OB ∴.AB tan30 =3, .AC=BC+AB=1+√5. 同理可得A'C'=1+√， .1=7.52-2×(1+√3)≈2.06. 1.9<2.06<2.1, 该部件1的长度符合要求： (3)能.将圆柱换成正方体 11.解：任务1：.·甲校共抽取200名学生， ∴.a=200-20-50-80-35=15: 任务2：2×(2x15+45x3+90x4+35x5+15x6)=3.95 4. .乙校学生了解非遗技艺种类数量的平均数约为4种： 任务3：①； 任务4：乙校学生的实践活动效果更好，理由如下：了解1 种及以下的非遗技艺种类的学生数量，甲校A组数据占 比大于乙校A组数据占比，也就意味着乙校学生对广西 非遗技艺的认知广度更宽，故乙校学生的实践活动效果 更好 12.解：(1)54,28,40： (2)①号品种的火龙果产量比较稳定，理由如下： .215.04<236.24,即抽取的①号品种火龙果树所结火龙果 个数的方差<②号品种火龙果树所结火龙果个数的方差， .①号品种的火龙果产量比较稳定： (3)建议果农选择①号品种种植，理由如下：在平均数都 是53的情况下，①号品种火龙果树所结火龙果个数的众 数大于②号品种火龙果树所结火龙果个数的众数（理由不 唯一，合理即可) 13.解：(1)AB=29cm: (2)限位器P应装在离点A(17-53)cm的位置. 14.解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 解法一：如解图，由题意知，AB=AC=BC=7cm, 折叠后c0=CB=之×10=5(m) ~滤纸围成的圆雏形底面周长=2×10m=5m(cm), ∴.DE·T=5m ∴.DE=5cm, DE CD CE ABCA CB' ∴.△CDE∽△CAB. .滤纸能紧贴此漏斗内壁 解法二：·表面贴紧的两个圆锥侧面展 开图的圆心角相等，.表面是否贴紧只 需要判断展开图的圆心角是否相等，由题 可知，围成的圆锥展开图是半圆，其圆心 角为180°，：漏斗的底面周长为7mcm,第14题解图 题解析·广西数学 .7T=7石，n=180,即漏斗侧面展开图的圆心角为 180 180°，∴.圆心角相等，即该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏 斗内壁 (2)如解图，由(1)知CD=DE=CE=5cm, .△CDE是等边三角形，.∠CDE=60°， 过点C作CELDE于点E,则DF=)DE= 2(cm), 在R△CDF中，Cr=VCD-DF_5 2(cm), 52 5W3125W3 .V= 3m·( 2 2 24r(cm3). 即滤纸围成圆锥形的体积是25,5 24 m cm3 15.解：①1：②6：③60：④(60y+10):⑤126：⑥2142 16.解：(1)V=x(20-2x)2(0<x<10): (2)500: (3)描点，画图如解图所示： 650tVlem' 600 368 450 400 250 200 150 100 50 012345678910x/cm 第16题解图 (4)①由图象可得：函数图象的最高点所对的函数值大 约为590cm3, .:.长方体盒子的容积最大约为590cm3(588~600之间 均可)： ②x的值约为1.7(1.5~2.0之间均可)或5.0. 专题五圆的综合题 例1(1)思路剖析：∠BED=∠EAO,∠DEO=∠EOA. ∠EDO=∠AOC:∠ED0=∠DEO 证明：如解图，连接OE,则0E=0D=0C .∴.∠OED=∠ODE, 例1题解图 .·DE∥OA,.∠OED=∠AOE,∠ODE=∠AOC .∠AOE=∠AOC. 10E=0C. 在△A0E和△A0C中， ∠A0E=∠A0C. OA=0A .△AOE≌△AOC(SAS), .·AC⊥CD,.∴.∠OEA=∠C=90°，即AE⊥OE OE是⊙0的半径，.直线AE是⊙0的切线： (2)解：由(1)得∠C=90°，△AOE≌△A0C,.AE=AC= 2, .BE=4,∴.AB=AE+BE=2+4=6. 参考答案与重难题 一战成名新中考 .在Rt△ACB中，BC=√AB2-AC=√6-22=42. 解法-：∠0BB=90°tanB=0E-4C=2=2 BE BC44 2 .0E= 4x4=2. .⊙0的半径长为2. 解法二：.·∠BEO=∠BCA,∠B=∠B, 4520B= 、△BEO一△CA.CAC,即=E .⊙0的半径长为2. 例2(1)思路剖析：∠BAD,∠BAC:∠BEA,∠BFA:∠AEF, ∠BAF. 证明：直线1与⊙0相切于点A, .∠BAD=90°，.∠BDA+∠ABD=90° .·AB是⊙0的直径，.∠BFA=90°， ∴.∠BAF+∠ABD=90°，∴.∠BAF=∠BDC ·∠BAF=∠BEF,.∠BEF=∠BDC: (2)解：⊙0的半径为2，AB=4, :直线1与⊙0相切于点A,.∠BAD=∠BAC=90°， .AD=3,..BD=VAB +AD=5 AB=AC=4,△ABC是等腰直角三角形， .BC=2AB=4V2 AB是⊙O的直径，.∠BEA=90° 六AE L BC...BE=2BC=25, '∠BEF=∠BDC,∠EBF=∠DBC, ÷△BEF∽△BDC..BD-DC BEEF 22 EF CD=AC+AD=7,5=7EF=142 5 1.(1)证明：AB是⊙0的直径，0为圆心，0A=0B, CA=CB. 在△OAC和△OBC中，〈OA=OB \0C=0C ·.△OAC≌△OBC(SSS); (2)解：解法一：如解图①，连接BE AC=BC,.△ABC是等腰三角形， AB是⊙O的直径，O为圆心，即O为AB的中点， .OC⊥AB,即∠A0E=90°，.∠ABE=45°， ,四边形ABED是⊙O的内接四边形，.∠ABE+∠ADE= 180°，.∠ADE=135° 图① 图② 第1题解图 解法二：如解图②，连接BD ·AB是⊙0的直径，.∠ADB=90° :AC=BC,AB是⊙O的直径，O为圆心，即O为AB的中 点， ∴.OC⊥AB,即∠B0E=90° ∴.∠BDE=45°，∴.∠ADE=∠BDE+∠ADB=135° 解析·广西数学 33