专题9 辅助圆及与圆有关的最值问题-【一战成名新中考】2026广西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

专题九 辅助圆及与圆有关的最值问题(5年3考)》 日阶模型初探 类型①》点圆最值 例1如图，点A的坐标为(-3,3)，点P的坐标为(1,0)，点®模型解读 B的坐标为(-1,0)，⊙A的半径为1，C为圆上一动点，Q 已知：⊙0的半径为r,A是平面内一定 为BC的中点，连接PC,OQ,则OQ长的最大值为( 点，P是圆上一动点，确定PA的最值. A.5 B.2.5 C.6 D.3 方法：“一箭穿心”定交点P,“近点”有 最小值，“远点”有最大值， 原理：直径是最长的弦 A· 点A在圆内 P BO P 例1题图 最大值：r+OA(即AP2) 练习1[2025崇左、河池一模]如图，AB是⊙0的弦，AB=8, 最小值：r-OA(即AP) 点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°.若点M,N分 点A在圆外 别是AB,BC的中点，则MN长的最大值是 0. 最大值：r+OA(即AP2) 最小值：OA-r(即AP1) B 点A在圆上 练习1题图 A(P, 最大值：2r(即AP2) 最小值：0(P,与点A重合) 类型2线圆最值(2024.26) 例2一成原创如图，∠ABC=60°，点O在射线BC上，眼模型解读 OB=4,以O为圆心在BC的上方作半径为1的半圆，点 已知：⊙0的半径为r,圆心0到定直 M,V分别是射线BA,半圆上的动点，连接MN,则MN的线AB的距离为d,点P是圆上一动点， 最小值为 确定点P到直线AB的最值 思路剖析AB与半圆0相离，过点0作AB的垂线，与半 方法：过点O作AB的垂线，交⊙0于 圆O的交点即为MN最小时点N的位置，垂足即为MN最 点P,交直线AB于点C. 小时点M的位置， 直线与圆相交 直线与圆相离 P P -B P 例2题图 最大值：d+r d+r 最小值：0 d-r 22 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 类型3)辅助圆问题(2024.26,2022.18,2022.26) 例3定点定长[2025南宁青秀区二模]如图，在Rt△ABC®模型解读 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,点D是AC边的中点， 定点定长（圆的定义） 点E是AB上的动点，连接DE,将△ADE沿DE翻折得到 条件：点0为定点，OA长为定值 △A'DE,连接A'B,则A'B的最小值为 交思路剖析在折叠过程中，A'D的长为定值，故点A'的轨 迹是以点D为圆心，A'D的长为半径的弧. 结论：点A的轨迹是以0为圆心，OA 长为半径的圆。 常见类型： A< 等距成圆 旋转成圆 例3题图 OA=OB=OC 旋转△ABC 练习2如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,线段 DE长是5，且两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动，点 M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小值是( 5 A.2 B. C.3 0. 折叠成圆 斜边中点 点P在BC边上，AB为定长，C为AB 沿AP折叠△ABP的中点，点A,B在 射线OM,ON上滑动 D 练习2题图 B B 例4定弦定角[2025玉林三模]如图，E为正方形ABCD内 定弦定角（圆周角定理） 一点，EA⊥EB,垂足为E,连接DE,F,G分别是DE,CD 条件：在△ABC中，AB长为定值，AB所 的中点，若AB=8,则FG的最小值是 对的角∠C的大小为定值，点C为 动点. 思路剖析由EA⊥EB可知，点E在以AB为直径的弧上 由F,G分别是DE,CD的中点可知FG是△DCE的中位线， 将求FG的最小值转化为求CE的最小值. 结论：点C的轨迹是△ABC的外接圆 的一段弧. 常见类型： 90°型 45°，135°型 例4题图 d 练习3如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=√5，D为 平面内一点，且∠BDA=∠C,过点B作BE⊥BD,与DA的 延长线相交于点E,则△BDE面积的最大值为( 135o A.√5 95 B C.25 D.I85 Q 5 60°，120°型 30°，150°型 609 309 C 120° W150 练习3题图 Q 专项分类提升练·广西数学 23 例5四点共圆[2024贵港期末]如图，在四边形ABCD中，四点共圆（圆周角定理） ∠ABC=∠ADC=90°，AC=8,则BD的最大值为 对角互补型 B 定线段同侧有等角型 例5题图 D 例6最大张角[人教九上P124第11题、沪科九下P62综合最大张角 与实践改编]如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场条件：点A,B是射线ON上的两个定 D处沿着垂直于对方球门线PQ的方向带球射门，DC1点，点C是射线OM上的动点，确定点 PQ,垂足为C,若PQ=8米，PC=2米，仅从射门角度大小C的位置使得∠ACB最大. 考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位作法及推理：设C'是边OM上不同于 置时离点C的距离为 点C的任意一点，连接AC,BC',BC交 A.4米 B.25米C.26米D.5米 ⊙I于点D,连接AD,由圆周角定理可 文思路剖析由最佳射门位置（射门角度越大越容易进 知∠ACB=∠ADB,由三角形内外角关 球)，可知本题为最大张角问题，假设最佳射门位置为点M, 系可知∠ADB>∠AC'B,.∠ACB> 即求∠PMQ最大时CM的值.∠PMQ最大时即以PQ为弦 ∠ACB,.当⊙I与边OM相切时， 的圆与CD相切时. ∠ACB最大 M C O A B NO A-B N D 结论：当△ABC的外接圆与OM相切于 例6题图 点C时，∠ACB最大 已阶对接中考 1.[2022北部湾18题改编]如图，在正方形ABCD中，AB=4√2，对角线AC,BD相交于点O.点E是对 角线AC上一点，连接BE,过点E作EF⊥BE,交CD于点F,若点F为CD的中点，则OE的长 为 E 0 第1题图 备用图 2.一成名原创如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，⊙M经过点A,点N 为⊙M上一动点，连接BN,CN,则△BCW面积的最小值为 D D M N B 第2题图 备用图 24 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 3.「2025长春改编]如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.点E在线段OA 上，连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.则点A与点F之间的距离的最小值为 0 第3题图 备用图 4.[2020北部湾18题改编]如图，在等边△ABC中，AB=6,点D,E分别在BC和AC上，且BD=CE,连 接AD,BE交于点F,则CF的最小值为 D D 第4题图 备用图 5.[2025梧州三模]如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E在边AD上，且AE=2.点G,P分别为 边AB,BC上的动点，将△AEG沿直线GE翻折得到△FEG,则PF+PD的最小值是 A.4 B.6 C.8 D.10 D 第5题图 备用图 6.[2025柳州八中开学考]如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴 的正半轴上滑动，AB=8,BC=3.当OD最大时，点D的坐标是 B x B 第6题图 备用图 7.如图，某商场在一部向下运行的手扶电梯BC的终点C的正上方竖直悬挂一幅高度DE=4m的广 告画.已知广告画的最低点D到地面AC的距离为6.5m.该电梯的高AB为4m,它所占水平地面 的长AC为8m.小明从点B出发，站在该电梯上观看广告画DE,其观看视角为∠DPE.已知小明 的眼睛P到脚底的距离PQ为1.5m,电梯在竖直AB方向上的下降速度为20cm/s,当观看视角 ∠DPE最大时，小明站在电梯上的时间为 E D 第7题图 备用图 专项分类提升练·广西数学 25 8.「2022北部湾26题7已知∠M0N=α，点A,B分别在射线0M,ON上运动，AB=6. (1)如图①，若α=90°，取AB中点D,点A,B运动时，点D也随之运动，点A,B,D的对应点分别为 A',B',D',连接OD,OD'.判断OD与OD'有什么数量关系？证明你的结论； (2)如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点0与点C的最大 距离； (3)如图③，若α=45°，当点A,B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出 △AOB面积的最大值， M A A D 0人60 -N 0∠450 B B'N B 图① 图② 图③ 第8题图 26 专项分类提升练·广西数学专题八线段最值问题 例1解：(1)两点之间，线段最短： (2)如解图，连接AB交直线1于点P,抽水站修在P点处 能使所需管道最短」 P B 例1题解图 例28例3片 例4A例5A 例632【解析】解法一：如解图①，作点G关于AB的对 称点G',在CD上截取CH=1,连接HG交AB于点E,在 EB上截取EF=1,此时GE+CF的值最小，.：CH=EF=1, CH∥EF,四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF, ∴.G'H=EG'+EH=EG+CF,.AB=4,BC=AD=2,G为边 AD的中点，.DG=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,由勾 股定理得G'H=√3+3=32，即GE+CF的最小值为32. 解法二：AG=之AD=1,设AE=x,则BF=AB-EF-AE=4 -1-x=3-x,由勾股定理得EG+CF=√x+1下+ √(3-x)2+2.如解图②，矩形JMN中，JN=3,MN=2, MQ=1,P为KM上一动点，设PM=x,则KP=3-x,.JP+ PQ=√(3-x)+2+√+下，当J,P,Q三点共线时，JP+ PQ最小，最小值是32，即EG+CF的最小值是3√2. H 图① 图② 例6题解图 例7122 5 例8号 122万3454585625+6745 8.269.2√/10 专题九辅助圆及与圆有关的最值问题 例1D练习14W2例22√5-1例32√7-23 二、中考能力提升纣 专题一方程（组）与函数的实际应用 1.解：(1)应选用A种食品3份，B种食品2份： (2)应选用A种食品2份，B种食品4份. 2.解：(1)若手链定价为x元(x>5),销量为(50-2x)只. (2)①若要每天获利128元，这条手链的定价为9元或 21元. ②当手链定价为15元时，每天的利润有最大值，利润的 最大值为200元. 3解：(1)新能源汽车的每千米行驶费用为0x1100元； 2 (2)燃油汽车的每千米行驶费用为0.8元，新能源汽车的 每千米行驶费用为0.2元： 参考答案与重难题 一战成名新中考 练习2B例42√5-2练习3B例58例6B 1.22.5-13.25-24.255.C 62090 )7.5 8.解：(1)0D=0D',证明如下： 在△A0B中，点D是A的中点0D=号B。 同理可得，0D'=2A'B, AB=A'B′， ∴.OD=0D': (2)如解图①，作△AOB的外接圆⊙L,连接C0交AB于点 D,当C,0,1三点共线时，OC最 大， :△ABC是等腰直角三角形， AB的垂直平分线经过点C, ⊙I为△AOB的外接圆， .AB的垂直平分线必经过点I, B N C,0,1三点共线， 第8题解图① C0为AB的垂直平分线， .∴.A0=B0. .∠AOB=60°，∴.△AOB是等边三角形， GB0=4B=6.品0C=CD+D0=24+3B0=3+3月 即点0与点C的最大距离为3+3√5： (3)当OA=OB时，△AOB的面积最大.理由如下： 如解图②，作△AOB的外接圆⊙F 连接AF,BF,·∠AOB=45°， ·.∠AFB=90°，连接OF并延长交AB于点P, 当OP⊥AB时，△AOB的面积最大，此时OA=OB A-5AB=35, 2 OP=PF+OF=- 46+0p=3 M 32. Sa:最大为分B,0P= 1 B 6×(3+3√2)=9+92 第8题解图② 当OA=OB时，△AOB的面积 最大，是9+92. 重难解答专题 (3)当每年行驶里程大于4500km时，买新能源汽车的年 费用更低 4.解：(1)第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟 醅； (2)需要准备37.5公斤大米. 5.解：【问题解决】精品包装销售了120箱，简单包装销售了 80箱； 【方案设计】共有3种分装方案， 方案1：分装成23箱简单包装，6箱精品包装： 方案2：分装成24箱简单包装，4箱精品包装： 方案3：分装成25箱简单包装，2箱精品包装 选择方案1的总销售额为88×23+65×6=2414（元）： 选择方案2的总销售额为88×24+65×4=2372（元）： 解析·广西数学 27