3.课时三 动轴动区间求最值-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

课时三动轴动区间求最值 例已知二次函数y=-(x-m)2+m+1,当3-m≤x≤5-m时，求函数解题突破点 的最小值（用含m的式子表示） 画图区 三要素：a=-1<0,开口方向向 下，对称轴为直线x=m, 与y轴交点坐标为(0，m+1) m<0 m=0 x=m!↑y 变式1已知二次函数y=-(x-m)2+m+1,当2≤x≤m+2时，函数的 最大值与最小值的差为4，求m的取值范围. m>0 ↑x=m 变式2已知二次函数y=-(x-m)2+m+1,当m-1≤x≤2m+1时， 随着x增大，y先增大再减小，y的最大值与y的最小值的和为-1，求 m的值. 做题笔记 变式3已知二次函数y=-(x-m)2+m+1,对于每一个x,当m≤x≤ m+1时，都有y>0成立，求m的取值范围. 变式4已知二次函数y=-(x-m)2+m+1,对于每一个x,当m≤x≤ m+1时，都有y<0成立，求m的取值范围. 18 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 《 1.二次函数y=x2-2mx(m≠0)的图象经过点A(2m+ 2.(2025杭州富阳区一模改编)已知二次函数y= 1,y1),点B(m-1,y2) -x2+2mx+4. (1)若m=2,求抛物线的顶点坐标； (1)若二次函数图象过点A(3,7). (2)若存在实数k,使得y2-1=k(y1-1)且1< ①求此二次函数表达式； k<2,求m的取值范围； ②将二次函数图象向下平移2个单位长度，求平 (3)当m-1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小 移后的二次函数图象与x轴的两个交点之间的 再增大，y的最大值与y的最小值的和为2，求m 距离； (2)如果P(n,a),M(-3,b),Q(n+2,a)都在这 的值. 个二次函数图象上，且4≤b<a,求n的最大值. 浙江新中考数学二轮重难题型培优 19针对训练 1解：1-=1，，=9， 4 .b=-2,c=10, ∴y=x2-2x+10或y=(x-1)2+9; (2)①油题意得m+(m+4)=1,解得m=-1, 2 .y1=13,.M(-1,13); ②由条件可知m+0+4<1,> 2 当-3≤m<-1时，当x=m时函数取到最大值，最小 值是9，.m2-2m+10=18, 得m1=-2,m2=4(舍去)； 当m<-3时，当x=m时函数取到最大值，x=m+ 4时函数取到最小值， ∴.y1=m2-2m+10,y2=m2+6m+18, 重 .m2-2m+10=2(m2+6m+18), 解得m1=-√23-7，m2=√23-7（舍去）. 型 综上所述，m的值为-2或-√23-7. 2.解：(1)当b=4,c=3时， y=x2+4x+3=(x+2)2-1, .二次函数的顶点坐标为(-2，-1)； (2)二次函数图象与x轴只有一个交点， 52-4c=0,即c= 二次函数图象过点(3,1)，.9+3b+c=1, c=-36-88=-36-8, 整理，得b2+12b+32=0, 解得b=-4或b=-8, ∴.c=4或c=16,∴.二次函数表达式为y=x2-4x+ 4或y=x2-8x+16; (3):二次函数的对称轴为直线x=1, -号=16=-2 当t<3时，二次函数y=x2-2x+c在x=-1时取 得最大值，∴.1+2+c=1,∴.c=-2; 当≥3时，二次函数y=x2-2x+c在x=t时取得 最大值，.t2-2t+c=1, c=-t2+2t+1=-(t-1)2+2. :-1<0,∴.当t>1时，c随t的增大而减小. t≥3，.当t=3时，c取得最大值，最大值为-2， .c≤-2. 综上所述，c的取值范围为c≤-2 3.解：(1)：二次函数y=-x2+bx+c的图象的对称 轴是直线x=1,并经过点(3,0)， ∫、6 .rb=2 ,解得{ [-9+3b+c=0 lc=31 .二次函数的表达式为y=-x2+2x+3; 30 浙江新中考 (2)由题意得平移后的抛物线表达式为y=-x2+ 2x+3+m,由B0=2A0,设A(-t,0),则B(2t,0), .-t和2t是-x2+2x+3+m=0的两个实数根， t+2s2 -t.2t=-(3+m),獬得22 lm=51 .m的值为5； (3)在y=-x2+2x+3中，当x=n+1时，y=-(n+ 1)2+2(n+1)+3=-n2+4.n>0, ∴.（n+1,-n2+4)在对称轴直线x=1的右侧. 当0<n≤1时，即(n,-n2+2n+3)在对称轴直线 x=1及左侧时. .·二次函数的最大值是2n,抛物线开口向下， ∴.当x=1时，y的最大值为2n,即-12+2+3=2n, 解得n=2(舍去)，当n>1时，即(n,-n2+2n+3) 在对称轴直线x=1右侧时. :二次函数的最大值是2n,抛物线开口向下， .当x=n时，y的最大值为2n,即-n2+2n+3=2n, 解得n=√3或n=-3(舍去). 综上所述，n的值为3. 4.解：(1)设二次函数的表达式为y=-(x-1)2+n, 把P(-1,5)代入，得-(-1-1)2+n=5, 解得n=9, .二次函数的表达式为y=-(x-1)2+9; (2)设平移后的函数表达式为y=-(x-1-m)2+9, 代入(0,0)得m=-4或m=2, ∴.该二次函数的图象向左平移4个单位或向右平 移2个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点： (3)二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=1. ①当t+2<1,即t<-1时，函数在x=t取最小值， x=t+2时取最大值， .-(t+2-1)2+9-[-(t-1)2+9]≥2， 解得1≤-2，故1<-l: ②当-1≤t<0时，函数在x=1取最大值，x=6时 取最小值，.9-[-(t-1)2+9]≥2， 解得t≤1-√2或t≥1+√2，故-1≤t≤1-√2； ③当0≤t<1时，函数在x=1取最大值，x=t+2时 取最小值，.9-[-(t+2-1)2+9]≥2， 解得t≤-1-√2或t≥-1+√2，故2-1≤t<1; ④当t≥1时，函数在x=t取最大值，x=t+2时取 最小值， .-(t-1)2+9-[-(t+2-1)2+9]≥2， 解得≥2，故4≥1 综上所述，t的取值范围是t≥√2-1或t≤1-√2. 课时三动轴动区间求最值 例解：二次函数y=-(x-m)2+m+1图象的对称 轴为直线x=m,开口向下，顶点坐标为(m,m+1). ①当3-m>m,即m<1.5时，当x=5-m时，y有 学 参考答案 最小值-(5-m-m)2+m+1=-4m2+21m-24; ②当3-m≤m≤5-m,即1.5≤m≤2.5时， 当x=m时，y有最小值-(m-m)2+m+1=m+1; ③当5-m<m,即m>2.5时，当x=3-m时，y有 最小值-(3-m-m)2+m+1=-4m2+13m-8. 变式1解：二次函数y=-(x-m)2+m+1图象的 对称轴为直线x=m,开口向下，顶点坐标为 (m,m+1) ①当m<2时，当x=2时，y取最大值-(2-m)2+ m+1=-m2+5m-3,当x=m+2时，y取最小值 -(m+2-m)2+m+1=m-3,.-m2+5m-3- (m-3)=4,解得m1=m2=2(舍去)； ②当m≥2时，当2≤m≤4时，当x=m时，y取到最 大值m+1,当x=m+2时，y取到最小值m-3,∴ m+1-(m-3)=4,符合题意； 当m>4时，当x=m时，y取到最大值m+1,当x=2 时，y取到最小值-m2+5m-3,∴.m+1-（-m2+ 5m-3)=4解得m1=0,m2=4(均舍去). 综上所述，m的取值范围是2≤m≤4. 变式2解：二次函数y=-（x-m)2+m+1图象的对 称轴为直线x=m,开口向下，顶点坐标为(m,m+1). 当x=m时，y=m+1,当x=m-1时，y=m, 当x=2m+1时，y=-m2-m. 当m-1≤x≤2m+1时，随着x值的增大，y的值先 增大再减小，∴.点(m-1,y)在抛物线对称轴直线 x=m的左侧，点(2m+1,y2)在抛物线对称轴直线 x=m的右侧， ∴.当x=m时，y的最大值是m+1. ①若2m+1-m>m-(m-1),即m>0, 则当x=2m+1时，y的最小值是-m2-m, .m+1-m2-m=-1,解得m1=√2，m2=-√2（舍 去)； ②若2m+1-m<m-(m-1),即m<0, 则当x=m-1时，y的最小值是m, ∴.m+1+m=-1, 解得m3=-1; ③若2m+1-m=m-(m-1),即m=0, 则当x=0时，y的最大值是1， 当x=1或-1时，y的最小值是0， 1+0=1,不符合题意.。 综上，m的值是√2或-1. 变式3解：：二次函数y=-(x-m)2+m+1图象 的对称轴为直线x=m,开口向下，顶点坐标为(m, m+1),当m≤x≤m+1时，y随x增大而减小，且 y>0恒成立， .∴.当x=m+1时，y有最小值-（m+1-m)2+m+ 1=m>0,.∴.m>0. 变式4解：二次函数y=-(x-m)2+m+1图象 的对称轴为直线x=m,开口向下，顶点坐标为(m, 浙江新中考 m+1),当m≤x≤m+1时，y随x增大而减小，且 y<0恒成立， .当x=m时，y有最大值-(m-m)2+m+1= m+1<0,∴.m<-1. 针对训练 1.解：(1)若m=2, 则y=x2-4x=(x-2)2-4,顶点坐标为(2，-4)； (2)把x=2m+1代入得y1=(2m+1)2-2m(2m+ 1)=2m+1,把x=m-1代人得y2=(m-1)2-2m (m-1)=1-m2. y2-1=k(y1-1), k=2-1=1-m2-1 1 y-12m+1-i=-2m 1 1<k<2,1<-2m<2,-4<m<-2; (3):二次函数y=x2-2mx图象的对称轴为直线 m二m, 轮 x=-2 难 当m-1≤x≤2m+1时，随着x值的增大，y的值先 题 减小再增大， ∴.点B(m-1,y2)在抛物线对称轴直线x=m的左 镜 侧，点A(2m+1,y1)在抛物线对称轴直线x=m的 右侧， .当x=m时，y的最小值是-m2. 若2m+1-m>m-(m-1),即m>0, 则当x=2m+1时，y的最大值是2m+1, 2m+1+(-m)=分 解得m,=1+6 m=1-(含： 若2m+1-m<m-(m-1),即m<0, 则当x=m-1时，y的最大值是1-m2, 1-m2+(-m)=1-2m2=分， 解得m=宁网=宁（合去）： 1 若2m+1-m=m-(m-1),即m=0, 则当x=0时，y的最小值是0， 当x=1或-1时，y的最大值是1， 1+0=1,不符合题意. 综上，m的值是1+或-宁 1 2.解：(1)①将点A(3,7)代入函数表达式得7=-9+ 6m+4,则m=2, 则二次函数表达式为y=-x2+4x+4; ②平移后的表达式为y=-x2+4x+2, 令y=0,则x=2±√6， 则两个交点之间的距离为2√6； (2)P(n,a),Q(n+2,a)在二次函数图象上， .对称轴为直线x=n+1, 2m 六2x(-1)=m=n+1, 文学参考答案 31 y=-x2+(2n+2)x+4. 将P(n,a)和M(-3,b)代入，得 a=-n2+(2n+2)n+4=n2+2n+4, b=-9-3(2n+2)+4=-6n-11. f-6n-11≥4 4≤b<a,. ln2+2n+4>-6n-11 解得 n≤-2 ln<-5或n>-3 综上所述，的最大值为-子 课时四对称性下的参数求取值范围 例1解：抛物线的对称轴为直线x=会-1， ①当a>0时，对于1<x1<3,x2=2a,都有y1<y2, ∴.B(x1,y1)和C(x2,y2)都在对称轴右侧. 重 在对称轴的右侧，y随x增大而增大， 3≤2a≥2： 型 ②当a<0时，1<x1<3,∴B(x1,y1)在对称轴右侧. ·抛物线的对称轴为直线x=-1, .B(x1,y1)关于对称轴的对称点为(-2-x1,y1), .-5<-2-x1<-3. :对于1<x1<3,x2=2a,都有y1<y2, 3 2a≥-3，.-2≤a<0: 3 综上，-2≤a<0或a 2 变式1-1证明略. 变式1-2解：二次函数图象的对称轴为直线x= -1,由抛物线的对称轴得十名=-1，变形可得 2 x2=-2-x1, 代人0<x2-2x1<1中，得0<-2-x1-2x1<1, 解得-1<名<-子 :x2和x1是方程ax2+2ax+3=0的两个根，把x 代入方程得ax+2ax1+3=0, 整理可得a=+2x -3 令=+2=(+1)2-1，-1<5-号， 当x1=-1时，z=(-1+1)2-1=-1, 当5=-子时=(-号+10-1=)-1-8 ~在-1<x<-子这个范围内2=片+2随自变 量的增大而增大， 1 气1<￡+2<-&则8+26 -< 9 27 32 浙江新中考 例2解法一：由条件可知二次函数图象开口向上，对 称轴为直线x=-m, 则点B(-m+2,y2)在对称轴右侧， y1<y2,.存在如下情况： ①当-m<-1,即m>1时，-1<-m+2, 解得m<3,∴.1<m<3; ②当-m≥-1，即m≤1时，-m+2-（-m)>-m -（-1),解得m>-1,.-1<m≤1. 综上，m的取值范围为-1<m<3; 解法二：函数y=x2+2mx-m+2的图象经过点 A(-1,y1),B(-m+2,y2), .y1=1-2m-m+2=-3m+3,y2=-m2-m+6. y1<y2.y1-y2<0, ∴y1-y2=(-3m+3)-（-m2-m+6)=m2-2m -3<0,.-1<m<3. 变式2-1解：由条件可知二次函数图象开口向上， 对称轴为直线x=-m. B(-m,y2), .点B为抛物线的顶点，函数值最小，∴y1>y2 变式2-2证明略. 变式2-3解：函数y=x2+2mx-m+2的图象经 过点(n,y1),(n+3,y2), ∴.y1=n2+2mn-m+2,y2=(n+3)2+2m(n+3)- m+2=n2+6n+9+2mm+6m-m+2. :y1<y2,.y1-y2=(n2+2mn-m+2)-(n2+6n +9+2mn+6m-m+2)=-6n-6m-9<0, ,.m+n>-1.5. 变式2-4解：将A,B两点坐标代入函数表达式得， y1=x号+2mx1-m+2,y2=x号+2mx2-m+2, 两式相减得y1-y2=x-x号+2m(x1-x2)=(x1+x2+ 2m)(x1-x2). 又x1+2=3,∴.y1-y2=(2m+3)(x1-x2). 又：当x1<x2时，总有y1>y2,.2m+3<0, 解得m<一多m的取值范同是m<-多 变式2-5解：由条件可知二次函数图象开口向上， 对称轴为直线x=-m. 设点A(x1,y1)关于对称轴的对称点为(，y1), 则-3m-1≤x≤-3m+3. :点B(2-3m,y2)也在抛物线上，且y1<y2, 2-3m<m-3或2-3m>-3m+3,m>4 5 针对训练 1上据：(1)对称销为直线=六2=m (2)①y1>y2,理由略； ②m的取值范围为m<2 3 2.解：(1)根据y=-x2+2x=-（x-1)2+1,可得其 顶点坐标为(1,1)，把(1,1)代人二次函数y=x2+ 2tx+t-3中，可得1=1+2t+t-3,解得t=1; 学参考答案