专题8 线段最值问题-【一战成名新中考】2026广西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

专题八线段最值问题(5年2考) 阶模型初探 类型①》利用两点之间线段最短求最值(2021.18) 例1[2025南宁开学考]知识是用来为人类服务的，我们应眼模型解读 该把它们用于有意义的方面.下面就两个情景请你作出 情形1：两定点在直线异侧 评判。 问题：确定点P的位置使得AP+BP的 (1)情景一：从教学楼到图书馆，有些同学不走人行道而 值最小 横穿草坪，数学原理是 作法：连接AB与直线m的交点即为所 求的P点 (2)情景二：A,B是河流1两旁的两个村庄，现要在河边 定点A 定点A 修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方 才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点 动点P m P的位置 定点B 定点B 原理：AP+BP≥AB. 草坪 学 楼 图书馆 B· 例1题图 例2[2025南宁十四中开学考]如图，在等边三角形ABC情形2：两定点在直线同侧（将军饮马） 中，AD为∠BAC的平分线，在AB,CB上分别取点M,N, 问题：确定点P的位置使得AP+BP的 且AM=BN=4,DN=2,在AD上有一动点P,则PM+PN 值最小 作法：作点B关于直线m的对称点B 的最小值为 (转化为异侧)；连接AB'与直线m的 交点即为所求的P点.（作法不唯一） 定点A 定点A 定点B 定点B 动，点P m P、 ND 定点B 例2题图 原理：AP+BP=AP+B'P≥AB. 例3[2025南宁三十七中开学考]如图，∠A0B=30°，点P情形3：一定点在角内，两动点在角 两边 在∠A0B内部，0P=),点M,点N分别是0A,OB上的 问题：确定点P,Q的位置使得△APQ 的周长最小 动点，若存在点M,点N使得△PMW的周长最小，则 作法：分别作点A关于OM,ON的对称 △PMN周长的最小值是 点A1,A2;连接AA2与OM,ON的交点 ⊙ 即为所求的Q,P点 动，点/M 定点A1M 点A 人定点A M 0 -N 动，点P 例3题图 定点A2 原理：AP+PQ+AQ=AP+PQ+A,Q ≥A1A2 18 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 例4[2025南宁四十七中开学考]如图，四边形ABCD情形4：两定点在角内，两动点在角两边. 中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别 问题：确定点P,Q的位置使得四边形ABPQ 找到一点M,N,使△AMN的周长最小，则∠AMN+ 的周长最小 ∠ANM的度数为 ( 作法：分别作点A,B关于OM,ON的对称点 A.118° B.121° C.120° D.119° A,B,;连接AB,与OM,ON的交点即为所 D 求的Q,P点. M 定点A1M 动，点0 定点A 定点A 定点B 定点B -N 动点P 例4题图 定点B 原理：AB+BP+PQ+QA=AB+B,P+PQ+QA ≥AB+AB· 例5[人教八上P86问题2改编]如图，已知在河的两情形5：两定点在平行线异侧（造桥选址）. 岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A,B两村庄的直问题：确定M,N的位置使得AW+NM+MB 线距离AB=10千米，A,B两村庄到河岸的距离分别的值最小，其中平行线间的距离MN为a. 为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于 作法：将点A沿垂直于平行线的方向向下 两岸，点M为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的 平移长度a得A';连接A'B交直线m于点 最小值为 ( M';过点M'作M'N'⊥m与直线n交于点 N',连接AW',点M',N'即为所求.（作法不 A.23千米 B.(1+35)千米 唯一) C.(3+√37)千米 D.√85千米 定点A 定点A A· M Nn Nn 位 →定点A'Wa Mm MM元 定点B 定点B B 原理：AN+NM+MB=A'M+MN+MB≥ 例5题图 A'B+MN. 例6多解法如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是情形6：两定点在直线同侧，定长在直线上 AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动（点E在点（将军遛马） F左侧)，若EF=1,则GE+CF的最小值为 问题：确定P,Q的位置使得AP+PQ+QB的 D 值最小，其中PQ=a. 作法：作点B关于直线m的对称点B';将 点A向右平移距离a得A',连接A'B'交直 线m于点Q',将点Q'向左平移距离a得 例6题图 P',点P′，Q即为所求.（作法不唯一） 定点A 定，点Aa定点A' 定，点B 定点B 定点B 原理：AP+PQ+QB=A'Q+P'Q'+QB′≥ A'B'+P'O'. 专项分类提升练·广西数学 19 类型②)，利用垂线段最短求最值 例7[2025柳州二模]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=颶模型解读 3,BC=4,将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C,若 基本模型：直线上一动点与直线外一 定点 点M是AB边上不与A,B重合的一个动点，旋转后点M的 问题：确定点P的位置使得AP的值 对应点为点M',则线段MM'长度的最小值是 最小 作法：过点A作直线1的垂线，垂足P 即为所求. 定点A 定点A 例7题图 动，点P→定线l动，点P→P'定线 原理：垂线段最短，AP≥AP 例8[2024玉林期末]如图，△ABC的面积为6，AB=5,AD 模型拓展：一定点在角内，两动点在角 平分∠BAC.若E,F分别是AC,AD上的动点，则FE+FC 两边上 问题：确定点C,D的位置使得PD+CD 的最小值是 的值最小 作法：作点P关于OB的对称点P'(哪 个点为两条线段的公共点，就关于哪个 点所在直线作对称)；过点P'作OA的 垂线与OB交于点D,垂足为C,点C,D 即为所求 动点CA A 动，点C 例8题图 定点P 定点P -B 一→ -B O动点D 0动点D定点P' 已阶对接中考 1.[2025南宁二中二模]如图，在□ABCD中，AB=4,BC=7,∠ABC=60°，点E,F分别在边AD,BC上 运动，满足AE=CF,连接EF,当四边形ABFE的周长最小时，AE的长为 D B 第1题图 备用图 2.[2025南宁期末·2023广西18题改编]如图，菱形ABCD的边长为8，∠B=45°，E,F分别是CD,BC 边上的动点，连接AE,EF,G是AE的中点，H是EF的中点，连接GH,则GH的最小值为 A D A G H H B F C 第2题图 备用图 3.[2025南宁期中]如图，在□ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°，P是□ABCD内一动点， 且SAE=宁aa则PA+Pm的最小值为 第3题图 备用图 20 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 4.[2025南宁三中期中改编]如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点P在AD上，点Q在BC上，且 DP=BQ,连接CP,QD,则PC+QD的最小值为 0 第4题图 备用图 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,0为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2,点Q在 BC边上，连接PQ与OQ,则PQ-OQ的最大值为 D 0 Q 第5题图 备用图 6.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，ABCD,BC=3,DC=4,点E在BC上，且BE=1,F,G为边AB 上的两个动点，且FG=1,则四边形DEFG周长的最小值为： D D G F B 第6题图 备用图 7.[2024桂林期末]如图，在等边△ABC中，点P是AB上一点，过点P作PD⊥BC,PE⊥AC,分别交 BC,AC于点D,E,连接PC,若BC=4,则PC+PD+PE的最小值是 A BD C BD 第7题图 备用图 8.[2025南宁开学考]如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=45°，AC=8,D是线段BC上的一个动 点，以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值是 0 D D 第8题图 备用图 9.[2025南宁十四中二模]如图，已知正方形ABCD的边长为4√2，对角线AC,BD交于点O,G是B0 的中点，线段EF(点E在点F的左边)在AC上运动，连接BF,EG,若EF=2,则BF+GE的最小值 是 0 G B 第9题图 备用图 专项分类提升练·广西数学 21专题八线段最值问题 例1解：(1)两点之间，线段最短： (2)如解图，连接AB交直线1于点P,抽水站修在P点处 能使所需管道最短」 P B 例1题解图 例28例3片 例4A例5A 例632【解析】解法一：如解图①，作点G关于AB的对 称点G',在CD上截取CH=1,连接HG交AB于点E,在 EB上截取EF=1,此时GE+CF的值最小，.：CH=EF=1, CH∥EF,四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF, ∴.G'H=EG'+EH=EG+CF,.AB=4,BC=AD=2,G为边 AD的中点，.DG=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,由勾 股定理得G'H=√3+3=32，即GE+CF的最小值为32. 解法二：AG=之AD=1,设AE=x,则BF=AB-EF-AE=4 -1-x=3-x,由勾股定理得EG+CF=√x+1下+ √(3-x)2+2.如解图②，矩形JMN中，JN=3,MN=2, MQ=1,P为KM上一动点，设PM=x,则KP=3-x,.JP+ PQ=√(3-x)+2+√+下，当J,P,Q三点共线时，JP+ PQ最小，最小值是32，即EG+CF的最小值是3√2. H 图① 图② 例6题解图 例7122 5 例8号 122万3454585625+6745 8.269.2√/10 专题九辅助圆及与圆有关的最值问题 例1D练习14W2例22√5-1例32√7-23 二、中考能力提升纣 专题一方程（组）与函数的实际应用 1.解：(1)应选用A种食品3份，B种食品2份： (2)应选用A种食品2份，B种食品4份. 2.解：(1)若手链定价为x元(x>5),销量为(50-2x)只. (2)①若要每天获利128元，这条手链的定价为9元或 21元. ②当手链定价为15元时，每天的利润有最大值，利润的 最大值为200元. 3解：(1)新能源汽车的每千米行驶费用为0x1100元； 2 (2)燃油汽车的每千米行驶费用为0.8元，新能源汽车的 每千米行驶费用为0.2元： 参考答案与重难题 一战成名新中考 练习2B例42√5-2练习3B例58例6B 1.22.5-13.25-24.255.C 62090 )7.5 8.解：(1)0D=0D',证明如下： 在△A0B中，点D是A的中点0D=号B。 同理可得，0D'=2A'B, AB=A'B′， ∴.OD=0D': (2)如解图①，作△AOB的外接圆⊙L,连接C0交AB于点 D,当C,0,1三点共线时，OC最 大， :△ABC是等腰直角三角形， AB的垂直平分线经过点C, ⊙I为△AOB的外接圆， .AB的垂直平分线必经过点I, B N C,0,1三点共线， 第8题解图① C0为AB的垂直平分线， .∴.A0=B0. .∠AOB=60°，∴.△AOB是等边三角形， GB0=4B=6.品0C=CD+D0=24+3B0=3+3月 即点0与点C的最大距离为3+3√5： (3)当OA=OB时，△AOB的面积最大.理由如下： 如解图②，作△AOB的外接圆⊙F 连接AF,BF,·∠AOB=45°， ·.∠AFB=90°，连接OF并延长交AB于点P, 当OP⊥AB时，△AOB的面积最大，此时OA=OB A-5AB=35, 2 OP=PF+OF=- 46+0p=3 M 32. Sa:最大为分B,0P= 1 B 6×(3+3√2)=9+92 第8题解图② 当OA=OB时，△AOB的面积 最大，是9+92. 重难解答专题 (3)当每年行驶里程大于4500km时，买新能源汽车的年 费用更低 4.解：(1)第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟 醅； (2)需要准备37.5公斤大米. 5.解：【问题解决】精品包装销售了120箱，简单包装销售了 80箱； 【方案设计】共有3种分装方案， 方案1：分装成23箱简单包装，6箱精品包装： 方案2：分装成24箱简单包装，4箱精品包装： 方案3：分装成25箱简单包装，2箱精品包装 选择方案1的总销售额为88×23+65×6=2414（元）： 选择方案2的总销售额为88×24+65×4=2372（元）： 解析·广西数学 27