第5章一元一次方程（复习课件）数学新教材华东师大版七年级下册

单元复习课件 第5章 一元一次方程 华师版（新教材）·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握一元一次方程的定义、等式的基本性质，掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能规范、准确地解一元一次方程，熟练检验方程的解。能准确识别一元一次方程实际应用的常见题型，掌握“审、设、列、解、验、答”的解题流程，能找出实际问题中的等量关系并列出方程求解 3.通过实际问题建模训练，体会方程作为“刻画现实世界数量关系的数学模型”的作用，培养数学应用意识和分析问题、解决问题的能力。通过章末小结，感受数学知识的系统性和逻辑性，激发对数学学习的兴趣，培养严谨细致的解题习惯（如规范步骤、检验结果）。 2.通过梳理本章知识点，构建完整的知识框架，体会知识点之间的内在联系（如等式性质是解方程的依据），培养归纳总结能力。通过题型剖析和变式训练，总结各类题型的解题规律和易错点，培养分类讨论、转化归纳的数学思想，提升解题技巧。 单元学习目标 实际问题 数量关系 一元一次方程 解一元一次方程 一元一次方程的解 分析 抽象 方程变形 设 元 等量关系 运算 解释 检验 本章核心是“一元一次方程的定义→解法→应用”，围绕“等式”这一核心，从概念到运算，再到实际应用，层层递进 单元知识图谱 考点一 等式与方程概念 *等式是表示相等关系的式子，不一定含有未知数 *方程是含有未知数的等式，一定是等式，但等式不一定是方程。 2.一元一次方程是方程的特殊形式，需同时满足三个条件 ① 只含有一个未知数 ② 未知数的最高次数是1 ③ 等号两边都是整式 1. 等式与一元一次方程的区别与联系 3.一元一次方程的一般形式 ax+b=0（a、b为常数，且a≠0）， 其中a是未知数的系数，b是常数项 注意： 若a=0，则方程变为：0·x + b=0 当b=0时，方程有无数个解 当b≠0时，方程无解 考点串讲 考点一 等式与方程概念 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值是能使方程左右两边相等的未知数的值，而解方程是求方程的解的过程，是求方程解的具体操作步骤，最终目的是得到方程的解 1） 3） 2） 方程的解是通过解方程求得的. 方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.方程的解与解方程的区别 5.方程解的检验： 一个数值是否为方程的解，只需将其代入方程左右两边，若两边的值相等，则该数值是方程的解；若不相等，则不是 考点串讲 等式的性质1 01 等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，则b=a （对称性） 如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2 02 等式的性质3 03 等式的性质4 04 如果 a=b(c≠0)，那么 = 即： 如果a=b，那么ac = bc； 等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 考点二 等式的基本性质 易错易混 1）利用等式的性质进行变形时， “同一个”是关键 3）方程两边 乘同一个数时，无限制（可以是正数、负数、0）； 方程两边除以同一个数时，必须保证除数不为0 2）等式两边都要参加运算，且是同一种运算. 考点串讲 7 考点三、一元一次方程的解法 步骤 具体操作 依据 适用场景 去分母 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数(常数项也需要乘) 等式性质2 方程中含有分母时 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号；括号前是负号时，括号内各项要变号 去括号法则、乘法分配律 方程中含有括号时 移项 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 等式性质1 方程两边同时有未知数项或常数项时 合并同类项 分别合并左右两边的同类项，将方程化为 ax=b（a≠0）的形式 合并同类项法则 方程中有同类项时 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数a（或乘​） 等式性质2 方程化为ax=b形式后 通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为 x = . 基本思路： 考点串讲 考点三 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 具体步骤需结合方程特点灵活调整 1.去分母： ① 找各分母的最小公倍数 ② 两边同乘最小公倍数，注意“每一项都要乘”，包括不含分母的常数项 ③ 若分母中有负数，可先将负号移到分子上，再去分母 方程：+2=3x， 两边同乘2，得：x + 2=6， 不能漏乘不含分母项； 方程： -x = 3， 可化为 -x = 3 再两边同乘2，得 -(x-1)2x=6， 示例 每个步骤的注意事项总结如下 考点串讲 考点三 一元一次方程的解法 每个步骤的注意事项总结如下 2.去括号： ① 遵循“先小括号、再中括号、最后大括号”的顺序； ② 运用乘法分配律去括号， 括号前是正数，去括号后各项符号不变； 括号前是负数，去括号后各项符号要改变 ③ 若括号前有系数，需将系数乘括号内每一项，不能漏乘 -2(x+3)=-2x-6， 不能写成-2(x+3)=--2x+3 示例 如：3(2x-1)=6x-3， 3不能漏乘-1 考点串讲 考点三 一元一次方程的解法 每个步骤的注意事项总结如下 示例 3.移项： ① 定义：把方程中的某一项从等号一边移到另一边，改变符号后，所得方程与原方程等价； ② 依据：等式性质1（本质是两边同时加（减）该项的相反数）； ③ 注意：移项必须变号，不移项的项符号不变 ④常数项和含未知数的项可双向移项，建议将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，便于合并同类项。 方程：2x+5=3x-1， 将3x移到左边变为-3x 5移到右边变为-5， 得：2x-3x= -1-5 考点串讲 考点三 一元一次方程的解法 每个步骤的注意事项总结如下 示例 4.合并同类项： ① 定义：将方程中同类项合并，化为“ax=b（a≠0）”的最简形式； ② 方法：同类项的系数相加，字母和字母的次数不变； ③ 注意：合并同类项时，符号要准确，尤其是负数的加法 5.系数化为1： ① 依据：等式性质2，两边同时除以未知数的系数a（a≠0）； ② 注意：若系数是分数，可两边同乘其倒数 ③ 易错点：将系数与常数项颠倒 方程： x=3， 两边同乘2，得：x=6 方程：2x=4， 计算为：x= =2 是正确的， 若误算为：x= = 则错误 考点串讲 考点四 一元一次方程的应用 1、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 审 设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量 设 根据题中相等关系，列出方程； 列 解所列出的方程； 解 检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 验 写出答案，包括单位 答 考点串讲 考点四、一元一次方程的应用 一元一次方程的应用核心是“找等量关系、列方程”，本质是将实际问题转化为数学问题（数学建模），解题的关键的是找准题目中的等量关系，常见题型及等量关系如下，同时需掌握设元的技巧 2. 设元技巧 ① 直接设元：求什么设什么（如求路程，设路程为x千米），适用于简单题型； ② 间接设元：当直接设元难以找到等量关系时，设与所求量相关的量为未知数（如求速度，设时间为x小时），适用于复杂题型； ③ 设辅助元：当题目中无具体数值（如全路程、总工作量），可设辅助元为1（如设总工作量为1，总路程为1），简化计算。 考点串讲 考点四 一元一次方程的应用 ⑴和差倍比问题： 核心等量关系： ① 和：甲数+乙数=总和； ② 差：甲数-乙数=差； ③ 倍：甲数=乙数×倍数±调整数 注意：找准“标准量”（即被比的量）， 通常设标准量为未知数。 3. 常见题型及等量关系 （2）计费问题（分段计费）： 核心等量关系： 总费用=第一段费用+第二段费用+...+第n段费用； 注意：找准分段节点（如水电费、话费的分段标准），判断所求量属于哪一段，再列方程。 考点串讲 考点四 一元一次方程的应用 （3） 行程问题： 核心公式：路程=速度×时间（s=vt）； 常见类型： ① 相遇问题：相向而行，总路程=甲走的路程+乙走的路程； ② 追及问题：同向而行，追及路程=快者走的路程-慢者走的路程 （或追及路程=两者初始距离）； ③ 相遇问题：相向而行，总路程=甲走的路程+乙走的路程； ④ 环形跑道问题： 相遇时，两人路程和=跑道周长； 追及时，两人路程差=跑道周长； 注意：统一单位（如速度为千米/小时，时间需化为小时，路程化为千米）。 考点串讲 考点四 一元一次方程的应用 （4）工程问题： 核心公式：工作量=工作效率×工作时间； 核心等量关系： ① 总工作量=各部分工作量之和； ② 甲的工作量+乙的工作量=合作的总工作量； ③ 通常设总工作量为1， 工作效率=1÷单独完成工作的时间； 注意：工作效率与工作时间成反比， 工作效率=各单独效率之和。 考点串讲 考点四 一元一次方程的应用 （5）利润与折扣问题： 核心公式： ① 利润=售价-进价； ② 利润率=（利润÷进价）×100%； ③ 售价=进价×（1+利润率）； ④ 售价=标价×折扣 （折扣为小数，如8折=0.8）； 注意： ①区分“进价”（成本价）、“标价”（定价）、“售价”（实际卖出价） ②利润率的计算基数是进价，不是标价。 考点串讲 考点四、一元一次方程的应用（难点） （6）浓度问题（拓展）： 核心公式： 溶质质量=溶液质量×浓度； 溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 注意：稀释或浓缩时，溶质质量不变（如加水稀释，溶质质量不变，溶液质量增加）。 补充：列方程解决实际问题，必须检验，检验的两个层面： ① 检验解方程的过程是否正确； ② 检验解是否符合实际意义（如时间、路程不能为负数，人数不能为小数），不符合实际意义的解要舍去。 考点串讲 题型一、一元一次方程的概念辨析 【典例】（2023-2024学年七年级·河南漯河·期中真题） 已知关于x的方程(m-3)x|m-2|+3=m是一元一次方程，求m的值。 解：由一元一次方程的定义，得： ∵未知数的最高次数为1： ∴|m-2|=1 ∴m-2=1或m-2=-1， 即m=3或m=1； ∵未知数的系数不为0： ∴m-3≠0，解得：m≠3； ∴m=1。 题型剖析 题型一、一元一次方程的概念辨析 【变式1】（2023-2024学年七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习真题） 若关于x的方程(a-1)x 2b-1+3=0是一元一次方程，则a、b应满足的条件是（ ） A. a≠1，b=0.5 B. a≠1，b=1 C. a≠1，b=0 D. a=1，b=1 解：由一元一次方程的定义，得： ∵2b-1=1，解得b=1； ∵a-1≠0，解得a≠1； ∴a≠1，b=1 B 题型剖析 题型二、一元一次方程的解法 【典例】（2024学年七年级·河南平顶山·期末真题） 解方程： 解：去分母（两边同时乘10），得： 2(7x-6) - 5(4x+7) = 10 去括号，得： 14x - 12 - 20x - 35 = 10 移项，得： 14x - 20x = 10 + 12 + 35 合并同类项，得： -6x = 57； 系数化为1，得： x = ； 不漏乘不含分母的项“1”，分子加括号 移项变号 题型剖析 【变式1】（2024学年七年级·河南南阳·宛城区月考） 解方程：3(20-y)=6y - 4(y-10) 解：去括号，得： 60 - 3y = 6y - 4y + 40 合并同类项（右边），得： 60 - 3y = 2y + 40； 移项，得： -3y - 2y = 40 - 60 合并同类项，得：-5y = -20； 系数化为1，得：y = 4； 检验：将y=4代入原方程， 左边=3(20-4)=3×16=48， 右边=6×4 -4(4-10) =24 -4×(-6)=24+24=48， ∵左边=右边， ∴y=4是原方程的解。 题型二、一元一次方程的解法 括号前是“-4”，各项变号， -4×(-10)=+40； 题型剖析 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式2】（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方 程 的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． B 去括号，得 ，……第二步 题型二、一元一次方程的解法 题型剖析 题型三 一元一次方程的实际应用 【典例1】 （2023-2024学年七年级·广东广州·期末真题） 某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个。要使每天生产的螺栓和螺母配套，应分配多少名工人生产螺栓？ 解：设应分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人有(30-x)名。 由题意可得： 2×22x = 16(30-x)； 去括号，得： 44x = 480 - 16x； 移项，得： 44x + 16x = 480； 合并同类项，得：60x = 480； 系数化为1，得：x = 8； 检验：x=8是正整数，符合实际意义 生产螺母的工人数量为：30-8=22名， 每天生产螺栓：22×8=176个， 螺母：16×22=352个， 352=2×176，符合配套要求； 答：应分配8名工人生产螺栓。 等量关系为：螺母数量=2×螺栓数量； 分析 每天生产的螺栓数量：22x个 每天生产的螺母数量：16(30-x)个 题型剖析 题型三 一元一次方程的实际应用 【变式1】 （2024学年七年级·河南开封·期末真题） 某工厂要生产一批课桌，一张课桌由1个桌面和4条桌腿组成，每名工人每天可生产桌面5个或桌腿20条，现有20名工人，如何分配工人才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？ 解：设分配x名工人生产桌面，则生产桌腿的工人有(20-x)名，由题意可得： 20(20-x)=4×5x 400-20x=20x 40x=400 x=10 等量关系：桌腿数量=4×桌面数量； 答：应分配10名工人生产桌面，10名工人生产桌腿。 检验：x=10是正整数，生产桌腿的工人10名， 每天生产桌面：5×10=50个， 桌腿：20×10=200条， ∵ 200=4×50，∴符合配套要求； 题型剖析 题型三 一元一次方程的实际应用 【典例2 】 ：甲、乙两车从相距360千米的A、B两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，甲车先出发1小时，乙车再出发，两车相向而行，问乙车出发后几小时两车相遇？ 解：设乙车出发后x小时两车相遇，则甲车行驶的时间为(x+1)小时。由题意得： 60(x+1) + 40x = 360 去括号：60x + 60 + 40x = 360 合并同类项：100x + 60 = 360 移项：100x = 360 - 60 = 300 系数化为1：x = 3 答：乙车出发后3小时两车相遇。 题型剖析 题型三、一元一次方程的实际应用 【变式2 】甲、乙两车从A地出发前往B地，甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米，乙车先出发2小时，甲车再出发，问甲车出发后几小时能追上乙车？ 解：设甲车出发后x小时追上乙车，则乙车行驶的时间为(x+2)小时。 由题意得：70x = 50(x+2) 去括号：70x = 50x + 100 移项：70x - 50x = 100 合并同类项：20x = 100 系数化为1：x = 5 答：甲车出发后5小时能追上乙车。 题型剖析 题型三、一元一次方程的实际应用 【典例3 】一件商品的进价为200元，按标价的8折出售后，仍可获利20%，求这件商品的标价是多少元？ 解：设这件商品的标价是x元，由题意得： 0.8x = 200×(1+20%) 方程化为：0.8x = 240， 系数化为1：x = 240÷0.8 = 300 答：这件商品的标价是300元。 售价=标价×折扣=0.8x元 售价=进价×（1+利润率） 分析 题型剖析 题型三、一元一次方程的实际应用 【变式3】一件商品按标价出售，可获利40元，若按标价的7折出售，则亏损20元，求这件商品的进价和标价各是多少元？ 解：设这件商品的标价是x元， 则进价为(x-40)元。由题意得： 0.7x = (x-40) - 20 方程化为：0.7x = x - 60， 移项：x - 0.7x = 60， 合并同类项：0.3x = 60， 系数化为1：x = 200， 则进价 = x - 40 = 200 - 40 = 160（元）。 答：这件商品的进价是160元，标价是200元。 按7折出售，售价=0.7x元， 亏损20元，售价=进价-20， 分析 题型剖析 题型三、一元一次方程的实际应用 【变式3-1】 （2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 解：根据题意，列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， D 每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文， ∴鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文， ∴鸡的价钱为文． 分析 题型剖析 题型四、含参数的一元一次方程 【典例4】已知关于x的方程2(x-1) + 3 = kx + 1的解是x=2，求k的值。 解： ∵ x=2是方程2(x-1) + 3 = kx + 1的解， ∴2(2-1) + 3 = 2k + 1， 方程化为：5 = 2k + 1， 移项：2k = 5 - 1 = 4， 系数化为1：k = 2。 答：k的值是2。 题型剖析 题型四 含参数的一元一次方程 解：∵ 关于x的方程(3a + 8b)x + 7 = 0无解， ∴ 3a + 8b = 0，且7≠0 由3a + 8b = 0，得3a = -8b， ∴ a = - 分两种情况： ① 当b≠0时，a=-8b/3，∴ ab = (-)·b = - ② 当b=0时，a=0，此时ab=0×0=0； 综上，ab的值为 0或 - 【变式4-1】已知关于x的方程(3a + 8b)x + 7 = 0无解，求ab的值（a、b为常数）。 题型剖析 【变式4-2】 （24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知x=-2 是关于x 的方程a(x+3) =a+x的解，求 的值． 解：把 x=-2 代入方程a(x+3) =a+x 得： (-2+3) a =a － 2， 解得：a =， ∴ 题型四 含参数的一元一次方程 题型剖析 【变式4-3】 （24-25七年级上•陕西西安•期末）若关于的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数的和为（ ）． A．10 B．-4 C．4 D．6 D 解：整理方程得： ， ∵方程的解为整数， ∴为整数， ∴是4的因数 ∵4的因数有 ， ∴当时， ； 当时，； 当时， ， 当 时， ； 当时， ； 满足条件的整数， ． 题型四 含参数的一元一次方程 题型剖析 题型五、一元一次方程中新定义题型 【典例5】 （2025·河北·模拟预测）对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． （1）解： ； （2）解：因为， 所以， 整理得， 解得． 题型剖析 题型五、一元一次方程中新定义题型 【变式5-1】 （2025·河北保定·一模）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： (1)计算 ； (2)若的值是0，求的值． （1）解：由题意可得： 原式； （2）解：由题意可得：， 解得：， 即的值为：． 题型剖析 1. （2024学年七年级·河南南阳·宛城区月考真题）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A. 2x-3y=4 B. 4x-8=0 C. 2x+3 D. 3x²-7x=11 解：A选项：含有x、y两个未知数，不是一元一次方程； B选项：只含有一个未知数x，次数1，等号两边是整式，是一元一次方程； C选项：不是等式，是代数式，不是方程，更不是一元一次方程； D选项：未知数x的最高次数是2，不是一元一次方程； B 2.（2025·福建宁德·二模）解方程：． 解：． ． ． ． 针对训练 3. （2023-2024学年七年级·山东济南·期末真题） 已知x=2是关于x的一元一次方程2(x-m) + 3 = m + 4的解，求m的值。 解：∵ x=2是原方程的解， ∴ 将x=2代入原方程2(x-m) + 3 = m + 4， 得：2(2 - m) + 3 = m + 4； 去括号，得：4 - 2m + 3 = m + 4； 合并同类项，得：7 - 2m = m + 4； 移项，得：-2m - m = 4 - 7； 合并同类项，得：-3m = -3； 系数化为1，得：m = 1； 针对训练 4．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 解：最早出现错误的步骤是， 正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化，得 ． 针对训练 5．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ． 解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴ 针对训练 41 6. （2024年七年级·河南洛阳·期末真题） 已知关于x的方程(3a + 2)x + 2 = 4x + 3b，（1）当a、b满足什么条件时，方程是一元一次方程？（2）当a、b满足什么条件时，方程的解为任意有理数？ 解：先将原方程整理为标准形式： (3a + 2)x + 2 - 4x - 3b = 0； 合并同类项，得： (3a + 2 - 4)x + (2 - 3b) = 0； 化简，得：(3a - 2)x + (2 - 3b) = 0； （1）方程是一元一次方程的条件： 即3a - 2 ≠ 0， 解得a ≠ ； 综上，当a ≠ ，b为任意有理数时， 方程是一元一次方程。 （2）方程的解为任意有理数的条件： 若方程的解为任意有理数，则方程变为“0×x + 0 = 0”，即未知数系数为0且常数项也为0； ∴① 3a - 2 = 0，解得a = ； ② 2 - 3b = 0，解得b = ； 综上，当a = 且b = 时， 方程的解为任意有理数。 针对训练 7. （2023年七年级·江苏南京·期末真题，分段计费问题） 某市居民生活用电收费标准如下：每月用电量不超过100千瓦时（含100千瓦时），按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时的部分，按每千瓦时0.6元收费。小明家12月份缴纳电费64元，求小明家12月份的用电量是多少千瓦时？ 解：100千瓦时的电费为：100×0.52 = 52（元）； ∵ 64元 ＞ 52元， ∴ 小明家12月份用电量超过100千瓦时。 设小明家12月份的用电量是x千瓦时（x＞100）；超过100千瓦时的部分为(x - 100)千瓦时；由题意得： 100×0.52 + 0.6(x - 100) = 64； 化简，得：52 + 0.6x - 60 = 64； 合并同类项，得：0.6x - 8 = 64； 移项，得：0.6x = 64 + 8； 解得：x = 120； 答：小明家12月份的用电量是120千瓦时。 针对训练 8.（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． （1）解：甲同学在去分母时，右侧没有乘以6； 乙同学去括号，括号内的符号没有变号； 戊同学最后将未知数系数化为1时，方程右边没有除以，而是除以； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：甲，乙，戊； （2）解：正确的解答过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 针对训练 9.某商场推出两种购物优惠方案：方案一：累计购物不超过300元无优惠，超过300元的部分按8折收费；方案二：所有商品一律按9折收费。已知顾客甲累计购物x元（x>300），分别用含x的式子表示两种方案的收费金额，若顾客甲累计购物500元，选择哪种方案更优惠？（计费问题拓展） 解：方案一：累计不超过300元无优惠，超过部分8折， 收费金额=300 + (x - 300)×0.8 = 300 + 0.8x - 240 = 0.8x + 60（元）； 方案二：所有商品9折，收费金额=0.9x（元）。 当x=500时，方案一收费： 0.8×500 + 60 = 400 + 60 = 460（元）； 方案二收费： 0.9×500 = 450（元）； ∵ 450 < 460， ∴ 选择方案二更优惠。 答：方案一收费金额为(0.8x + 60)元， 方案二收费金额为0.9x元； 当x=500时，选择方案二更优惠。 针对训练 10.（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA 上运动，用含t的式子表示 AP、CQ ，并求当QA=AP 时t的值； (2)如图②，若点Q在线段CA 上运动，当t为何值时， 的面积等于 面积的 ； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 针对训练 10.（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA 上运动，用含t的式子表示 AP、CQ ，并求当QA=AP 时t的值； （1）解：点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动． ∴， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 即秒时，； 针对训练 10.（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (2)如图②，若点Q在线段CA 上运动，当t为何值时， 的面积等于 面积的 ； （2）解：当在线段上时， ， 则 ， ∵△的面积等于面积的 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 即秒时， △的面积等于△面积的 ； 针对训练 10.（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当 时， 在线段上运动，在线段上运动， ， 则， ， ， ∴ ， 解得； 针对训练 10.（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． ②当 时， 在线段上运动， 在线段上运动，， 则 ， ， ∴ ， 解得； 针对训练 10.（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． ③当 时，在线段上运动， 在线段上运动时， 则 ， ， ， 解得 ， 不合题意舍去 综上所述，为4或 时， ． 针对训练 1 牢记一元一次方程的定义、等式的基本性质， 掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）， 关键注意每一步的易错点（如去分母漏乘、移项不变号） 核心知识 2 掌握概念辨析、方程解法、实际应用（和差倍比、行程、工程、利润等）、含参数方程四大类题型， 明确每类题型的解题思路，学会找等量关系、规范列方程、严谨解方程； 题型方法 课堂总结 3 列一元一次方程解决实际问题，核心是找准等量关系，灵活运用直接设元、间接设元的技巧，牢记检验步骤，确保解符合实际意义； 应用技巧 4 本章的重点是解方程的准确性和实际应用的熟练度，课后要针对性练习基础题、中档题，突破提高拓展题，整理错题本，重点标注易错步骤，养成归纳总结、严谨解题的习惯。 学习建议 课堂总结 感谢聆听! $