第七章 随机变量及其分布（单元自测·提升卷）数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A A C A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．0.69 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 解：（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， ...........4分 所以. ...........7分 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. ...........8分 （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. ...........13分 16．（15分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 解：（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， ...........4分 由条件概率公式，； ...........7分 （2）由题意：， ， ...........12分 所以的分布列为： 0 1 2 ...........15分 17．（15分）将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为. (1)设事件“”为，求； (2)设为的中位数，求的分布列和数学期望. 解：（1）根据插板法，将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球， 那么基本事件总数， ...........3分 满足，且，的有共3种， 根据古典概型概率公式. ...........6分 （2）设为的中位数，的可能取值为， 当时，有共3种，所以， ...........8分 当时，有 共9种，所以， ...........10分 当时，有 共13种，所以， ...........12分 当时，有共3种，, ...........13分 的分布列: 1 2 3 4 的数学期望为. ...........15分 18．（17分）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 解：（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. ..........2分 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. ...........5分 （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ...........7分 ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ...........8分 ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ...........9分 ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ...........10分 ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . ...........11分 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. ...........12分 （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . ...........14分 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. ...........17分 19．（17分）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 解：（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ；； ；. X的数学期望． ...........3分 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． ...........6分 （2）（i）由（1）知： 甲考核“达标”的概率：； 乙考核“达标”的概率：； 甲考核“优秀”的概率：. 乙考核“优秀”的概率：. ...........8分 因为甲和乙的测试是相互独立的 所以，甲和乙考核都“达标”的概率：. 甲、乙至少1人考核且都“达标”的概率为 =. ...........10分 由条件概率得， 当运动员甲和乙考核都“达标”且至少1人考核“优秀”的概率为. ...........11分 （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则 ...........13分 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以． ...........15分 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则，在上单调递增， 又，所以． 综上，． ...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 2．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 5．设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ① ②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则 ④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．,,,,的极差为12 B．,,,,的方差为16 C．,,,,的第80百分位数为 D．,,,,,,,,,的平均数为5 10．将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 11．信息论中，如果知道事件A已发生，那么该事件所给出的信息量称为“自信息”，定义A的“自信息”.设随机变量X的所有可能取值为，，…，，且，，定义X的“信息熵”.现抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记Ⅰ号和Ⅱ号骰子出现的点数分别X，Y，则（    ） A．当事件“为偶数”时， B．当事件“中至少一个为2”，“中仅一个为2”时， C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为 ． 13．某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为 人.（参考数据：，结果保留整数） 14．甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 16．（15分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 17．（15分）将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为. (1)设事件“”为，求； (2)设为的中位数，求的分布列和数学期望. 18．（17分）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 19．（17分）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 2．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 5．设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ① ②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则 ④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．,,,,的极差为12 B．,,,,的方差为16 C．,,,,的第80百分位数为 D．,,,,,,,,,的平均数为5 10．将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 11．信息论中，如果知道事件A已发生，那么该事件所给出的信息量称为“自信息”，定义A的“自信息”.设随机变量X的所有可能取值为，，…，，且，，定义X的“信息熵”.现抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记Ⅰ号和Ⅱ号骰子出现的点数分别X，Y，则（    ） A．当事件“为偶数”时， B．当事件“中至少一个为2”，“中仅一个为2”时， C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为 ． 13．某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为 人.（参考数据：，结果保留整数） 14．甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 16．（15分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 17．（15分）将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为. (1)设事件“”为，求； (2)设为的中位数，求的分布列和数学期望. 18．（17分）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 19．（17分）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种.事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种,因此.事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种；乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件，因此.所以. 2．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件，则，，，，根据全概率公式，． 3．已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】依题意，，则，又，同理，而，则，所以. 4．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】因为随机变量服从两点分布，所以..整理得，解得，.当时，，；当时，，故不合题意.综上，可得. 5．设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ① ②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则 ④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，易知，由分布列性质可得，所以，即①正确；对于②，易知当时，随机变量的数学期望可以等于3.5，即②正确；对于③，若，结合可知， ，即③正确，对于④，若数列的通项公式为，可知，此时，不满足分布列性质，即④错误.综上可知，①②③正确. 6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由题意，共有幅作品，选取2幅作品有种方法，其中全是文化领域的有种方法，因此全是文化领域的概率为，从而解得．的可能取值为0，1，2，3，则， ，，，则随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 则． 7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【解析】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，；所以，故A错误；对于C，，，因为， 所以，故C正确；对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误．对于D，若某天只有40min可用，由图可知，所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为某市去年1名市民的年收入，某市去年的人均年收入为50万元，则，设1名市民去年的年收入超过100万元的概率为， 所以， 因为，由题可得，设，，则，所以，即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．,,,,的极差为12 B．,,,,的方差为16 C．,,,,的第80百分位数为 D．,,,,,,,,,的平均数为5 【答案】ABD 【解析】对于选项A:因为数据的极差为6，所以.根据可知：，.所以，所以A正确.对于选项B：因为数据的方差为4，，所以根据方差的性质可知：数据的方差为. 所以B正确.对于选项C：因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，所以C错误.对于选项D：因为数据的平均数为3，，所以数据的平均数为.所以数据,的平均数为.所以D正确. 10．将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题设可得样本空间中样本点的总数为，而中样本点的个数为，中样本点的个数为，对于A，由古典概型的概率公式得，，故，故，故A正确；对于B，中样本点的个数为，故，而，故B错误；对于C，中样本点的个数为，故，故C正确；对于D，，故D正确. 11．信息论中，如果知道事件A已发生，那么该事件所给出的信息量称为“自信息”，定义A的“自信息”.设随机变量X的所有可能取值为，，…，，且，，定义X的“信息熵”.现抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记Ⅰ号和Ⅱ号骰子出现的点数分别X，Y，则（    ） A．当事件“为偶数”时， B．当事件“中至少一个为2”，“中仅一个为2”时， C． D． 【答案】ACD 【解析】当事件“为偶数”时，，A选项正确； 当事件“中至少一个为2”，“中仅一个为2”时，“自信息”单调递减. ，B选项错误； ，C选项正确；因为，所以，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为 ． 【答案】0.69 【解析】设事件：语音识别成功，则. 13．某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为 人.（参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【解析】由身高近似服从正态分布，则，所以，可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）. 14．甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为 . 【答案】 【解析】用分别表示甲､乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲､乙两人每次投掷均有种结果，则在一轮游戏中，共包含（个）等可能的基本事件.其中，甲得分，即包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，则甲每轮得分的概率为.同理可得，甲每轮得分的概率也是，得分的概率为.设事件表示三轮比赛结束后甲得分，则事件可分两类情形：①甲有两轮得分，一轮得分，概率为；②甲有一轮得分，两轮得分，概率为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 解：（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， ...........4分 所以. ...........7分 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. ...........8分 （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. ...........13分 16．（15分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 解：（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， ...........4分 由条件概率公式，； ...........7分 （2）由题意：， ， ...........12分 所以的分布列为： 0 1 2 ...........15分 17．（15分）将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为. (1)设事件“”为，求； (2)设为的中位数，求的分布列和数学期望. 解：（1）根据插板法，将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球， 那么基本事件总数， ...........3分 满足，且，的有共3种， 根据古典概型概率公式. ...........6分 （2）设为的中位数，的可能取值为， 当时，有共3种，所以， ...........8分 当时，有 共9种，所以， ...........10分 当时，有 共13种，所以， ...........12分 当时，有共3种，, ...........13分 的分布列: 1 2 3 4 的数学期望为. ...........15分 18．（17分）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 解：（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. ..........2分 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. ...........5分 （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ...........7分 ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ...........8分 ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ...........9分 ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ...........10分 ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . ...........11分 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. ...........12分 （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . ...........14分 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. ...........17分 19．（17分）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 解：（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ；； ；. X的数学期望． ...........3分 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． ...........6分 （2）（i）由（1）知： 甲考核“达标”的概率：； 乙考核“达标”的概率：； 甲考核“优秀”的概率：. 乙考核“优秀”的概率：. ...........8分 因为甲和乙的测试是相互独立的 所以，甲和乙考核都“达标”的概率：. 甲、乙至少1人考核且都“达标”的概率为 =. ...........10分 由条件概率得， 当运动员甲和乙考核都“达标”且至少1人考核“优秀”的概率为. ...........11分 （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则 ...........13分 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以． ...........15分 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则，在上单调递增， 又，所以． 综上，． ...........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $