专题12 概率难题归纳：马尔可夫链、数列、决策性问题应用6大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题12 概率难题归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01马尔科夫链 题型02概率与数列 题型03分布列概率最大项 题型04利用函数导数求最值 题型05概率与证明不等式 题型06概率与决策性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 马尔科夫链 理解“未来只与当前有关”的核心思想；能根据实际问题建立状态转移关系，写出递推公式；会利用递推求步后的概率或稳定分布 难度较高，常在压轴题中出现，重点考查从实际问题中抽象出递推模型的能力，常与数列结合命题 概率与数列 能将概率递推关系转化为数列递推公式；掌握构造等比数列求通项的方法；能利用数列求和求概率 综合型难题，常在解答题后几问出现，考查概率与数列知识的交汇运用，需熟练掌握递推数列的常见解法 分布列概率最大项 掌握通过相邻项比值判断单调性的方法；能求出分布列中概率最大的取值（如二项分布的最可能值） 中等难度，常在选择题或填空题中出现，考查对分布列单调性的理解和最值求解能力 利用函数导数求最值 将概率表达式视为函数，通过求导判断单调性、求极值；能解决概率与参数的最值问题 综合型题目，常与分布列、期望结合出现在解答题中，考查导数工具在概率问题中的应用 概率与函数证明不等式 构造函数，利用函数的单调性或最值证明概率不等式；掌握将概率问题转化为函数问题的思想 难度较高，常在压轴题中出现，考查综合运用概率知识和函数思想证明不等式的逻辑推理能力 决策性问题 能根据实际问题背景，综合运用期望、方差进行方案比较与决策；理解“收益最大、风险最小、损失最小”等不同决策目标 应用类题型，常在解答题最后一问出现，考查利用数字特征解决实际问题的能力和决策思维 知识点01 马尔科夫链 马尔可夫链是概率论中具有‌马尔可夫性质‌的离散随机过程，在高中数学课程中，它通常作为‌概率与数列结合‌的拓展内容出现，是近年来新高考数学的热点题型 。其核心特性为‌无后效性‌，即系统下一时刻的状态概率分布仅由当前时刻的状态决定，与过往历史无关 。高中解题重点在于利用‌全概率公式‌建立数列递推关系并求解通项 。 马尔可夫链的理解需简化为以下三个关键要素，避免过度纠结于复杂的测度论定义： ‌1、状态空间‌：系统所有可能情况的集合，高中题目中通常为有限个状态（如“下雨/不下雨”、“红球/黑球个数”）。‌ 2、‌无后效性（马尔可夫性）‌：这是解题的理论基础，意味着已知当前状态，未来状态的概率与之前如何到达当前状态无关，数学表达为。‌ 3、‌转移概率‌：从一个状态变为另一个状态的概率，高中题目中通常以常数或简单分式给出，所有从同一状态出发的转移概率之和为 解题方法：利用全概率公式与数列递推‌。利用全概率公式，将第 n+1 次事件发生的概率表示为第 n 次各状态概率的加权和。‌‌定义 为第  次处于某特定状态的概率。分析状态转移路径，列出 与 （及其他状态概率）的递推式。‌通过构造法（如构造等比数列）求出的通项公式 。‌‌在求出概率通项后，进一步计算随机变量的期望 或特定步数后的分布列 。‌‌部分题目涉及“吸收态”（即一旦达到某状态过程结束），需注意结束状态的概率不累加到下一次递推中 。 知识点02 均值与方差在决策中的应用 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值的程度，它们从整体上刻画了随机变量的取值情况，是实际中用于方案取舍的重要理论依据。 解决实际决策问题，首项把问题概率模型化，然后利用概率知识去分析各事件发生可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出结果，再分析决策。 题型一 马尔科夫链 解｜题｜技｜巧 把全概率公式与过程的马尔科夫性（无记忆性）结合: 当前状态的概率只与上一步状态有关，因此可以按上一步的所有可能情况对当前概率进行分解。 常见背景：通常为多轮次的概率问题，涉及状态转移（如比赛得分、传球、闯关等）；游走时首次到达某点的概率；每一阶段状态随机变化，求n次后处于某个状态的概率；期望步数问题（此时是求期望数列的递推） 【典例1】（河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）数学试题）甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为． (1)当时， （i）求比赛进行了4轮结束的概率； （ii）求的值； (2)求的表达式（用和表示）． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用四个独立事件同时发生来计算概率即可； （ii）利用全概率公式来求解即可； （2）利用构造数列的递推思想，求解通项公式，即可求得概率. 【详解】（1）（i）由题意得，若比赛进行四轮结束第一轮甲进攻乙胜，第二轮乙进攻甲胜， 第三轮甲进攻乙胜，第四轮乙进攻乙胜， 故比赛进行四轮结束的概率为． （ii）因为两队规则对称且初始分数相同，乙进攻时甲获胜概率为， 所以由全概率公式得：，解得：． （2）记为甲队的分数为分且乙为进攻方时甲队最终获胜的概率． 由规则，对，有① ② 边界条件：，且自然定义（甲得满分时获胜）． 由①解出，代入②得， 整理得．③ 这说明是等差数列 下面确定和的关系． 由②取并结合得． 又由①取得，代入得 ， 设公差为，则，故．于是对任意， 有．利用边界， 得,因此. 【典例2】（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， (1)当时，求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有2，3，4，5，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； 【详解】（1）初始状态，即2个在线、3个宕机． 第1个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有2，3，4，5， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【变式2】（2026·四川眉山·二模）为培养学生的晨读习惯，某高校推行“每日晨读打卡”学分制度，学生每日需完成线上打卡，打卡结果分为有效打卡和无效打卡，打卡结果如下： ①学生首日进行晨读打卡时，有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ②若前一日为有效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ③若前一日为无效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为． 记事件：第天该学生晨读打卡为有效打卡，表示事件发生的概率． (1)求的值，并推导与的关系式． (2)记该学生前天晨读打卡中有效打卡的总次数为，为的数学期望． （i）当时，求的分布列与； （ii）对任意，证明：数列是常数数列，并说明其实际意义． 【答案】(1)； (2)（i） 0 1 2 ； （ii）证明见解析；长期来看，该学生每日晨读有效打卡的概率恒为，前天有效打卡的期望总次数恒为，说明打卡的概率分布达到稳定状态. 【分析】（1）利用全概率公式，将拆分为计算，同样用全概率公式，将表示为，再代入已知概率化简； （2）(i)先确定的所有可能取值，分别计算每种组合的概率得到分布列，再利用期望公式计算； （2）(ii)根据期望的线性性质得到，将的表达式代入该数列的通项，结合（1）中与的关系式，推导相邻两项的差为0. 【详解】（1）根据全概率公式，第2天有效打卡分两种情况：第1天有效次日有效、第1天无效次日有效， 因此：； 由全概率公式，， 代入条件概率得：， 化简得：（）； （2）(i)的分布列与期望 的所有可能取值为，计算概率得： ； ； ； 的分布列为： 0 1 2 期望：， (ii) 由期望的可加性，（为指示变量，第天有效取1，否则取0），因此， 对递推式变形得：， 又，因此对任意恒成立， 代入期望关系式得：， 移项得：， 即数列任意相邻两项相等，故该数列是常数数列（常数为0）； 实际意义：长期来看，该学生每日晨读有效打卡的概率恒为，前天有效打卡的期望总次数恒为，说明打卡的概率分布达到稳定状态. 题型二 概率与数列 答｜题｜模｜板 离散型分布列为等比数列的题型，用错位相减法求期望（或其它求和）。这类题不涉及多轮递推，而是单次试验中某个离散随机变量的概率分布呈现等比规律，求和时往往要计算形如其中是等比数列。 【典例1】（2026·山西晋中·模拟预测）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）分别计算出取1，2，3对应的概率，列出分布列，求出期望； （ii）用条件概率公式进行求解； （2）法一：根据裂项相消发化简得，结合证不等式； 法二：计算，用平方差公式展开约分，得，结合证不等式； 【详解】（1）（i）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望. （ii）设事件B表示该人闯关成功，F表示该人第一轮闯关失败，（，2，3）表示该人第i轮闯关成功， 则，，， ， ， 由条件概率的计算公式可得， 故在该人闯关成功的条件下，该人第1轮闯关失败的概率为. （2）法一：由题意知 ， 令， 则， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 法二：由题意知， 则 ， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 【典例2】（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框， 并制定了两个小游戏， 且每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次 （且）后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记 1 分，未命中记 分，当累计得分达到 3 分， 则游戏立即结束并获奖， 当累计得分达到分， 游戏立即结束， 无法获奖． 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立． 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为 ． (1)当时，记甲同学投掷次数为 ，求的分布列及期望； (2)当 时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为；若乙同学获奖概率不小于 ，求的最小值． 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)； (3). 【分析】（1）写出的取值可能为2,3,4，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值. 【详解】（1）由题可知：的取值可能为2,3,4， ， , , 故的分布列为 2 3 4 所以． （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减：， , 即， 所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又, 由全概率公式知：， 所以, 那么 , 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为． 【变式1】（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 【答案】(1)， (2) 1 2 3 … … (3) 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … （3）由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 【变式2】（2026·江西·二模）甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数． (1)求，； (2)求X的分布列； (3)当时，求． 【答案】(1)， (2) X 2 3 4 … 2n P … (3) 【分析】（1）由概率公式得到和； （2）分析得到的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）在（2）基础上，由错位相减法和条件概率公式进行求解. 【详解】（1），即甲两次投篮均不中，， ，即甲前两次投篮有1次中，1次不中，第三次投篮不中， 故； （2）的可能取值为， 当时，第k次投篮未进， 则前面次投篮中有1次未投中， 所以； 当时，若前面次投篮都投中，其概率为； 若前面次投篮中有1次未投中， 其概率为， 故， 所以X的分布列为 X 2 3 4 … 2n P … （3）由上可知， ，① ，② 由得， ， 所以， 故当时， . 题型三 分布列概率最大项 答｜题｜模｜板 对二项分布列取最大项时有： （类似二项展开式中系数最大项） 可解得取这个范围内整数，当由0增加到 时，的值先由小到大，再由大到小。 【典例1】（2026·云南曲靖·一模）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 【答案】(1)X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 X的数学期望； (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）求出随机变量X的取值以及相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解期望； （2）先求出，再利用即可计算求解； （3）由条件结合条件概率公式求出即可分析求证. 【详解】（1）由题可得， 且，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望； （2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 令，即， 化简为，即， 即，解得， 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或. （3）证明：由题可知，， 所以， 所以，则， 所以，即， 所以，即. 【典例2】（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 【变式1】（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】(1)6.7 (2) 1 2 3 ， (3) 【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可； （2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可； （3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可. 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 题型四 利用函数导数求最值 答｜题｜模｜板 根据题意，将所求概率表示为关于变量的函数。注意定义域（结合实际问题或概率意义），然后用函数、导数求最值的方法来求概率的最值与范围。 【典例1】（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 【典例2】（25-26高二下·浙江·期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 【答案】(1) (2)有超过预算的可能 【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出. 【详解】（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则， ， 故； （2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为， 则，， ，， 令 ， 因为在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，故该活动有超过预算的可能． 【变式1】（25-26高三下·安徽·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． (1)求甲获得分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】(1) (2)的分布列为： ​ 数学期望为. (3) 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. （2）甲的总得分的可能取值为， ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜： ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜： ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. （3）由定义， 代入得 由基本不等式，当且仅当即时取等号. 因此 ，即的最大值为. 【变式2】（2026·陕西渭南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为： ； (3)①；②当时，取得最大值. 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 题型二 概率与证明不等式 答｜题｜模｜板 将概率与函数中证明不等式结合考察，通常的方法可以用作差或者作商，然后通过条件来判断差或者商的值从而证明不等式。 【典例1】（25-26高二下·辽宁大连·月考）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的数学期望； (2)时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】(1) (2)，，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用二项分布概率公式计算相应概率，再代入离散型随机变量公式计算求解； （2）用分类讨论方法求条件概率； （3）利用全概率公式求出递推关系，结合概率单调性证明结论． 【详解】（1）的可能取值为1，3，5，， ，， ． （2）当时，， 故乙最终获胜，则， 当时，，， 故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故， 当时，，， 最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故， 当时，， 故甲最终获胜，故． （3）证明：结合（2），由全概率公式得： ， ， 当时，， 又 ， ， ． 【典例2】（2026·山东滨州·一模）某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据二项分布的概念和性质，判断随机变量可能的取值，并根据二项分布概率公式，求出分布列，进而求出数学期望； （2）根据比赛最终获胜的条件，判断在不同情况下，最后的两局胜负情况，根据条件概率计算公式，求出结果即可； （3）根据比赛最终获胜的条件，分析两者之间的递推关系，根据全概率公式，求出递推公式，根据的范围以及作商法比较两者之间的大小关系，进而证明结果. 【详解】（1）（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， 的分布列为 1 3 5 数学期望. （2）在前局比赛中Alpha星赢的局数时，第局全胜，最终也无法获胜，所以； 当时，仅当第局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第局什么结果，都能最终赢得比赛，即； 综上所述，. （3）由全概率公式可知 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即. 【变式1】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两位候选人参与选举投票，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”． (1)求（用表示）； (2)证明：为定值； (3)证明：对任意正整数，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中的意义求解即可，要注意独立重复试验概率的应用； （2）根据题中的意义分别求出，代入求解即可，或整体求出，作商即可； （3）当时， ，当时，在前次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分三种情况讨论可得的表达式，移项并整理可得结果. 【详解】（1）由题知为“统计完1张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即第1张选票支持甲的概率，所以. 为“统计完3张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前3张选票中有3甲或2甲1乙的概率，因为，所以， 所以. （2）方法一：由题意知为“统计完5张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前5张选票中有5甲、4甲1乙或3甲2乙的概率， 所以， 所以. 同理， ， 所以. 所以，为定值. 方法二：因为， 结合（1）中， 得. 又， ， 所以， 所以，即，为定值. 方法三：由题意知 ， 同理， 所以，为定值. （3）当时，由（1）得， 因为，所以， 所以. 当时，在前次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分为以下三种情况： 若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票，则甲比乙多得1票，其概率为； 若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票或一票，则甲比乙至少多得1票，其概率为； 若前次投票中甲得了至少票，再进行两次投票无论结果如何，则甲比乙至少多得1票，其概率为. 可以求得： ， 移项并整理得 ， 因为，所以， 进而. 综上，对任意正整数，. 【变式2】（25-26高三下·重庆·月考）现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) (1)若，计算的值； (2)若，求； (3)证明：对任意奇数n(n≥3)，． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出的表达式，再把代入即可； （2）法1：写出， ， ，，，，再求出即可判断； 法2：写出，再根据公式求出即可判断； （3）设，原不等式等价于，一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况，另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况证明即可. 【详解】（1），   ． （2）法1：由题意知：可以取，可以取，可以取， ， ， ， ．   可以取，可以取，可以取， ， ， ， ， ．    ， 解得．   法2．由题意， ，  ， ， 解得． （3）设原不等式等价于 ． 一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ； ， ．   下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ． 另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ≥ ； ； ．    下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ，证毕． 题型六 概率与决策性问题 答｜题｜模｜板 根据不同的决策计算概率（有时候是期望值），判断概率大小（可以通过作差或作商）来进行选择。若概率含参的话，可以通过作差后，然后根据参数来讨论差值是否大于0，等于0，小于0 。 【典例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【答案】(1)，. (2)75 (3)答案见解析 【分析】（1）先计算和，再推导和；计算、时，先根据期望公式计算、，再利用方差公式计算方差； （2）根据种植面积，确定总产量的方差之和的表达式，利用方差性质展开得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值对应的值； （3）分别计算三种方案下总产量的期望和方差，因为期望反映总产量水平，方差反映稳产性和种植风险，所以结合期望和方差的意义，从三个角度逐一分析三种方案的特点，再给出建议. 【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 【典例2】（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 【变式1】（2026·四川·二模）2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． (1)当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 【答案】(1)分布列为： 2 3 0.52 0.48 期望为. (2)①，，，赛制对机器人更有利 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析 【分析】（1）根据题意求出概率，列出分布列，求期望即可； （2）①分别列出获胜各种情况的概率求和即可计算，比较大小即可分析得出结论；②求出的大小，再分析与的关系，即可证明. 【详解】（1）当时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为， ， , 所以X的分布列为： 2 3 0.52 0.48 （2）①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为， 由题可知为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或， 所以， 为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或， ， 所以， 所以时，局胜制对机器人更有利. ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大. 证明如下： 由①可知，， 下面讨论局与前局的递推关系： （i)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为，即. （ii)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即. （iii）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为. ， ， ，，即 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）某校举行网络反诈知识大赛，各参赛队均由2名同学组成，比赛分为资格赛与决赛两个阶段．资格赛阶段由各参赛队派出1名同学参加，随机抽取3道试题，若3道均答错，直接取消决赛资格，最终成绩记0分；若至少答对1道试题，则可进入决赛．决赛阶段由参赛队的另一名同学参加，也是随机抽取3道试题，每道试题答对得10分，答错得0分，决赛的成绩记为该队的最终成绩．已知某队的同学答对每一道试题的概率均为，同学答对每一道试题的概率均为，每一道试题答对与否互不影响，且． (1)若，，同学参加资格赛，求该队最终成绩不低于10分的概率． (2)若该队想要最终成绩取得30分的概率最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? (3)要使该队最终成绩的期望最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? 【答案】(1) (2)应先派出同学参加资格赛 (3)应先派出同学参加资格赛 【分析】（1）将所求的概率转化为求同学资格赛至少答对一道试题，同学决赛至少答对一道试题的概率． （2）分别求出，两名同学参加资格赛时要取得分最终成绩的概率，进行比较． （3）分别求出，同学参加资格赛时所取得的最终成绩的期望，进行比较． 【详解】（1）该队最终成绩不低于10分的概率，即为同学资格赛至少答对一道试题，同学决赛至少答对一道试题的概率， 所以． （2）若同学参加资格赛，则该队的最终成绩为分的概率为， 若同学参加资格赛，则该队的最终成绩为分的概率为， 因为， 所以 ， 即，所以应先派出同学参加资格赛． （3）若先派出同学参加资格赛，则该队最终成绩的所有可能取值为，，，， 所以． 若先派出同学参加资格赛，则该队最终成绩的所有可能取值为，，，， 同理，． 所以． 因为，则，， 则，即， 所以应先派出同学参加资格赛． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 2．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分别求出每一道题甲得一分的概率，再结合二项分布期望值公式计算可得结果； （2）求出3道题和5道题时甲获胜的概率表达式，再利用作差法比较两概率的大小可得出结论. 【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为， 每一道题乙抢到并回答错误的概率为， 所以每一题甲得一分的概率均为； 若，，可得, 又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以， 可得. （2）设回答3道题时甲获胜的概率为，回答5道题时甲获胜的概率为， 则可知； 回答5道题时甲获胜的情况有三种：前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加的两道题中甲至少有1题得分；前3题甲有1题得分，增加的两道题甲2题都得分； 则有, 所以； 易知， 于是当时，，即，甲获胜的概率增大， 当时，，即，甲、乙获胜的概率相同， 当时，，即，甲获胜的概率减小， 综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大. 3．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 4．（25-26高三下·上海·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 【答案】(1) (2) (3)应该由甲参加第一阶段比赛 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）先求出该队成绩为0分的概率，再根据条件概率列式计算即可； （3）首先各自计算出，再作差因式分解即可判断. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 因此比赛成绩不少于5分的概率. （2）记事件“该队成绩为0分”，事件“甲第一阶段被淘汰”，则， ，于是所求为. （3）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩、的所有可能取值为0，5，10，15，则 ，， ，    ， 则，同理有， 所以. 因为，，则， 故应该由甲参加第一阶段比赛. 5．（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得； （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·浙江丽水·期中）甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ (2)设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 【答案】(1)，闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关 (2) 1 2 3 ； 【分析】（1）根据对立事件及独立事件乘法公式计算求解； （2）根据独立事件概率计算公式确定分布列，结合实际逻辑利用作差法确定最小值. 【详解】（1）因为无论以怎样的顺序派出人员，闯关不能成功的概率都是， 所以闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关， 并等于； （2）设依次派出的三个人各自完成任务的概率分别是，其中是对于的任意排列，随机变量的分布为 1 2 3 ； 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 即 下面证明：．（*） 当且时，， 当或时，因为， 所以 综上：成立． 2．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 3. （2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 的数学期望 (2)(i) ；(ii) 【分析】（1）先确定每个随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式计算期望即可； （2）(i)先求出初始项，再分两种情形推导时的递推关系，通过构造等比数列即可求出； (ii)先作差得到的表达式，通过解不等式判断的增减性，得出是的最大值并计算具体数值即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）（i）由题意知：， 当时，第次操作后游戏终止分两种情形： ①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则； ②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则， 所以， 即当时，. 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. (ii)当时，， 令，得， 两边同时乘以得：，所以，即， 当时上述不等式成立，故， 当时，， 因为是减函数，所以当时，，故， 所以最大，即的最大值为. 4．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）某网购平台上有101个商家，其编号分别为0，1，2，…，100，已知每个商家均已获得n（n为正整数）位顾客的评价（好评或差评），其中编号为的商家获得任一顾客好评的概率均为. 假设顾客给予评价时互不影响． (1)记编号为50的商家获得的好评率（好评数与评价人数之比）为X，求随机变量X的数学期望． (2)在平台上等可能地随机选择一个商家，求其好评率超过的概率． (3)在平台上等可能地随机选择一个商家，发现其好评数为，现有第位顾客对其给予评价，求该商家仍能获得该顾客好评的概率．据此分析：如果仅考虑已有的评价，在好评率相同但评价人数不同的商家中应如何选择，以尽可能地获得更好的购物体验？ 参考公式：若，为非负整数，为正整数，当较大时，在计算中取． 【答案】(1) (2)为奇数时概率为，为偶数时概率为 (3)，好评率高于时，选评价人数多的商家；好评率低于时，选评价人数少的商家；好评率等于时，选哪个都一样 【分析】（1）先求出二项分布的数学期望，再应用数学期望性质计算求解； （2）先分析每个商家好评率超过50%的概率，再运用全概率公式得到概率表达式，再利用参考公式进行变形得到结果； （3）采用与（2）中相似的分析得到相关事件的概率表达式，再运用条件概率公式求解，最后分类讨论得出更好的购物体验. 【详解】（1）编号为50的商家，每个顾客好评概率为50%，即，n 位顾客的好评数服从二项分布 ， 因为好评率，所以. （2）设“等可能地选择一个商家，其好评率超过”为事件，显然每个商家被选择的概率为 ， “好评率超过”即好评数，每位商家的好评数服从二项分布， 所以第个商家的好评数的概率为， 由全概率公式有， 交换求和次序得， 再利用参考公式可得， 若为奇数，满足的为从到的整数，有项，； 若为偶数，满足的为从到的整数，有项，. （3）设“等可能地选择一个商家，发现其好评数为”为事件，采用与（2）中类似的分析， 每个商家被选择的概率为 ，第个商家好评数为的概率为， 所以， 设“第位顾客给予商家好评”为事件， 则 由条件概率公式可知所求概率为 ， 设好评率，则上式可以转化为， 若好评率高于，即时，随 n 的增大而增大，所以应选评价人数多的商家； 若好评率低于，即时，随 n 的增大而减小，所以应选评价人数少的商家； 若好评率等于，即时，恒为，选哪个都一样. 5．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． (1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； (2)求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； (3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题意，在1号手中放入红卡，取出黑卡满足题意，再求解对于概率即可； （2）先根据全概率公式，建立递推关系，求得对任意号学生抽取卡片后手中有两张红卡和一张黑卡的概率为，，再求号手中红卡个数的取值及对应概率，并求解期望即可. （3）由题可知，一轮游戏后至少还有个学生未被淘汰”，其中，进而结合（2）得一轮后单个学生不淘汰的概率为，根据未被淘汰的人数二项分布求得，二轮结束后人中剩1人未被淘汰的概率为：，最后结合组合恒等式，全概率公式求得即可. 【详解】（1）解：记“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡 所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）解：记“抽取卡片后号学生手中有两张红卡和一张黑卡”， “从号手中取出的卡为红卡”， 所以，， ，， 则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， 假设一轮游戏结束后，号手中红卡个数为，可能取值为， ， ， ， 所以. （3）解：由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记“一轮游戏后剩个学生未被淘汰”，其中， 记“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则， 由（2）知，每个学生，一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率；两黑的概率， 所以，单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为 故一轮结束后，未被淘汰的人数服从二项分布， 所以，， 第二轮结束后，人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： 因为， 因为， 所以 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 2．（2026·浙江·二模）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即． (1)甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算，，，的值； （ⅱ）记，求； (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ） (2)答案见解析 【分析】（1）（ⅰ） 根据古典概型计算求解；（ⅱ）分为两种情况应用得出通项公式结合错位相减法计算求解； （2）先应用数学期望公式计算，再构造函数，结合组合数的性质计算求解. 【详解】（1）（ⅰ），，，． （ⅱ）分为两种情况： ①第一种情况：甲得2分，乙得0分．此时由乙得0分可知：“反面向上”是成对出现的，所以n必须为偶数，设． 此时第次是“正”，前次可以看成组“反+反”与1次“正”的组合，共k种情况，则； ②第二种情况：甲得2分，乙得1分．此时最后一次是“正”，乙得1分必须有“反+正+反”的组合，若干组“反+反”组合，还有1次“正”，所以n必须是奇数，设． 此时前次可看成1次“正”，1次“反+正+反”，组“反+反”的组合，共种， 则且； 综上：． ， ， 故， 故． （2） 记150种不同质地的铜币1，2，…，150数量为，，…，， 记，则， 故 ， 只需求的最小值即可，记． 假设 铜币 1 2 3 … 150 备注 数量 … 调整 … 由得， 令，可知单调递减，而，即， 故． 综上：只要，，…，中有两个数之差大于等于2，一定能找到，，…，， 使得，故，，…任意两数之差不超过1． 考虑， 故2026个不同种类铜币中分布：其中76种铜币各有14枚，74种铜币各有13枚时，最大， 此时． 3．（25-26高三下·江西·月考）医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为. (1)若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列. (2)医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射.第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为（为常数，且）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗.在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比. （i）若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求； （ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （2）（i）对为奇数和偶数进行分类讨论，分析细菌移动到原点时向左、右、上、下移动的次数，结合独立重复试验的概率公式可得出的表达式； （ii）求出的表达式，设函数，分析函数的单调性，可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合，可得出的取值范围. 【详解】（1）随机变量的可能取值为、、， ，，， 所以的分布列为 （2）（i）细菌在奇数次移动后不可能回到原点，所以. 若，且细菌在次移动后要到达原点， 则分别向左、右移动次，分别向上、下移动次. 因为 ， （对于的证明如下：现有一个装有个白球和个黑球的盒子里， 从这个盒子里抽取个球，所有的情况有：个黑球、个白球个黑球、 个白球个黑球、、个白球，所以.） 所以. 综上，. （ii）由题意得. 因为，所以， 所以. 设函数. 由 ， ， 即， 得， 则， 所以是减函数，. 当，即时，，得，不符合题意. 当，即时，，， 得，即，故的取值范围为. 4．（25-26高二下·湖南长沙·月考）甲、乙、丙三个人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)设n次传球后球在甲手中的不同的传球方法数为,. （ⅰ）写出的值； （ⅱ）求. (2)前次传球（即从第1次到第n次传球）过程中，你想要让自己更多次接到球，是否应该选择成为首次传球者？请说明理由. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2)想要更多次接到球，选择不做首次传球者，理由见解析. 【分析】（1）（ⅰ）利用列举法来求传球方法数； （ⅱ）利用递推思想，通过构造等比数列，来求解通项公式； （2）利用两点分布的随机变量的期望公式，结合等比数列求和公式，通过期望的大小来作出判断. 【详解】（1）（ⅰ）第1次由甲将球传出，经次传球后球在甲手中的不同的传球路径有： 甲乙或丙甲乙或丙甲，这样共有种传法， 甲乙丙乙甲，或甲丙乙丙甲，这样共有种传法 所以； （ⅱ）因为和分别表示经次传球后球回到甲和非甲（非甲是指乙、丙两个同学）手里的传球方法种数，每次传球每人只能向其他两人之一任意传出，即表示每次传球均有种方法， 所以由分步乘法计数原理知:次传球共有种方法数，故. 因为每次非甲传给甲只有种方法，即得，所以， 且由题意易知，由①， 解法1：设，即，对比①式得 所以， 因为，所以， 即数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 解法2：由，同时除以得到 所以， 因为，所以， 即数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， （2）解法1：由（1）知，设n次传球后球在甲手中的概率是， 记前n次传球（即从第1次到第n次传球）中球在甲手中的次数为随机变量X， 根据随机变量服从两点分布，且， 则. 即 ， 所以甲作为首次传球者，其接到球的次数小于， 所以想要更多次接到球，选择不做首次传球者. 解法2：设n次传球后球在甲手中的概率是， 则第次传球后在甲手中的概率就等于第次传球后不在甲手中的概率再乘以传给甲的概率， 即，从而构造可得：. 因为第次传球后球不可能在甲手中，所以，则， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即可得：，后面解法同上. 5．（25-26高三下·河南周口·开学考试）一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 【答案】(1)， (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据二项分布的期望和方差公式即可求解； （2）（i）法一:利用全概率公式，建立起与的递推公式，构造等比数列即可求解；法二：通过构造互补事件加递推数列求解，设事件：在某一次发出信号后，信号序列共有个数；事件：任意一次发出信号后，信号序列都不可能有个数，设为事件的概率，为信号序列的所有数字，构造等比数列可求出，将第个数为1的概率按照初始信号分为两类，代入计算即可求解； （ii）由信号转移规则推出来，当时由（i）知，验证当上式成立，再根据条件概率公式即可求解. 【详解】（1）易知符合二项分布， 所以． （2）（i）若一开始发出的信号为“11”，即最左边两个数为“11”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 若一开始发出的信号为“2”或“3”或“4”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 所以， 故 且 而，， 故，， 故为等比数列且首项为，公比为， 为常数列，且该常数为， 故且， 故. （ii）， ， 当时，同（i）可知 ， 同（i）， 故， 故． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 概率难题归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01马尔科夫链 题型02概率与数列 题型03分布列概率最大项 题型04利用函数导数求最值 题型05概率与证明不等式 题型06概率与决策性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 马尔科夫链 理解“未来只与当前有关”的核心思想；能根据实际问题建立状态转移关系，写出递推公式；会利用递推求步后的概率或稳定分布 难度较高，常在压轴题中出现，重点考查从实际问题中抽象出递推模型的能力，常与数列结合命题 概率与数列 能将概率递推关系转化为数列递推公式；掌握构造等比数列求通项的方法；能利用数列求和求概率 综合型难题，常在解答题后几问出现，考查概率与数列知识的交汇运用，需熟练掌握递推数列的常见解法 分布列概率最大项 掌握通过相邻项比值判断单调性的方法；能求出分布列中概率最大的取值（如二项分布的最可能值） 中等难度，常在选择题或填空题中出现，考查对分布列单调性的理解和最值求解能力 利用函数导数求最值 将概率表达式视为函数，通过求导判断单调性、求极值；能解决概率与参数的最值问题 综合型题目，常与分布列、期望结合出现在解答题中，考查导数工具在概率问题中的应用 概率与函数证明不等式 构造函数，利用函数的单调性或最值证明概率不等式；掌握将概率问题转化为函数问题的思想 难度较高，常在压轴题中出现，考查综合运用概率知识和函数思想证明不等式的逻辑推理能力 决策性问题 能根据实际问题背景，综合运用期望、方差进行方案比较与决策；理解“收益最大、风险最小、损失最小”等不同决策目标 应用类题型，常在解答题最后一问出现，考查利用数字特征解决实际问题的能力和决策思维 知识点01 马尔科夫链 马尔可夫链是概率论中具有‌马尔可夫性质‌的离散随机过程，在高中数学课程中，它通常作为‌概率与数列结合‌的拓展内容出现，是近年来新高考数学的热点题型 。其核心特性为‌无后效性‌，即系统下一时刻的状态概率分布仅由当前时刻的状态决定，与过往历史无关 。高中解题重点在于利用‌全概率公式‌建立数列递推关系并求解通项 。 马尔可夫链的理解需简化为以下三个关键要素，避免过度纠结于复杂的测度论定义： ‌1、状态空间‌：系统所有可能情况的集合，高中题目中通常为有限个状态（如“下雨/不下雨”、“红球/黑球个数”）。‌ 2、‌无后效性（马尔可夫性）‌：这是解题的理论基础，意味着已知当前状态，未来状态的概率与之前如何到达当前状态无关，数学表达为。‌ 3、‌转移概率‌：从一个状态变为另一个状态的概率，高中题目中通常以常数或简单分式给出，所有从同一状态出发的转移概率之和为 解题方法：利用全概率公式与数列递推‌。利用全概率公式，将第 n+1 次事件发生的概率表示为第 n 次各状态概率的加权和。‌‌定义 为第  次处于某特定状态的概率。分析状态转移路径，列出 与 （及其他状态概率）的递推式。‌通过构造法（如构造等比数列）求出的通项公式 。‌‌在求出概率通项后，进一步计算随机变量的期望 或特定步数后的分布列 。‌‌部分题目涉及“吸收态”（即一旦达到某状态过程结束），需注意结束状态的概率不累加到下一次递推中 。 知识点02 均值与方差在决策中的应用 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值的程度，它们从整体上刻画了随机变量的取值情况，是实际中用于方案取舍的重要理论依据。 解决实际决策问题，首项把问题概率模型化，然后利用概率知识去分析各事件发生可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出结果，再分析决策。 题型一 马尔科夫链 解｜题｜技｜巧 把全概率公式与过程的马尔科夫性（无记忆性）结合: 当前状态的概率只与上一步状态有关，因此可以按上一步的所有可能情况对当前概率进行分解。 常见背景：通常为多轮次的概率问题，涉及状态转移（如比赛得分、传球、闯关等）；游走时首次到达某点的概率；每一阶段状态随机变化，求n次后处于某个状态的概率；期望步数问题（此时是求期望数列的递推） 【典例1】（河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）数学试题）甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为． (1)当时， （i）求比赛进行了4轮结束的概率； （ii）求的值； (2)求的表达式（用和表示）． 【典例2】（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， (1)当时，求； (2)证明：． 【变式2】（2026·四川眉山·二模）为培养学生的晨读习惯，某高校推行“每日晨读打卡”学分制度，学生每日需完成线上打卡，打卡结果分为有效打卡和无效打卡，打卡结果如下： ①学生首日进行晨读打卡时，有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ②若前一日为有效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ③若前一日为无效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为． 记事件：第天该学生晨读打卡为有效打卡，表示事件发生的概率． (1)求的值，并推导与的关系式． (2)记该学生前天晨读打卡中有效打卡的总次数为，为的数学期望． （i）当时，求的分布列与； （ii）对任意，证明：数列是常数数列，并说明其实际意义． 题型二 概率与数列 答｜题｜模｜板 离散型分布列为等比数列的题型，用错位相减法求期望（或其它求和）。这类题不涉及多轮递推，而是单次试验中某个离散随机变量的概率分布呈现等比规律，求和时往往要计算形如其中是等比数列。 【典例1】（2026·山西晋中·模拟预测）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 【典例2】（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框， 并制定了两个小游戏， 且每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次 （且）后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记 1 分，未命中记 分，当累计得分达到 3 分， 则游戏立即结束并获奖， 当累计得分达到分， 游戏立即结束， 无法获奖． 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立． 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为 ． (1)当时，记甲同学投掷次数为 ，求的分布列及期望； (2)当 时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为；若乙同学获奖概率不小于 ，求的最小值． 【变式1】（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 【变式2】（2026·江西·二模）甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数． (1)求，； (2)求X的分布列； (3)当时，求． 题型三 分布列概率最大项 答｜题｜模｜板 对二项分布列取最大项时有： （类似二项展开式中系数最大项） 可解得取这个范围内整数，当由0增加到 时，的值先由小到大，再由大到小。 【典例1】（2026·云南曲靖·一模）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 【典例2】（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【变式1】（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 题型四 利用函数导数求最值 答｜题｜模｜板 根据题意，将所求概率表示为关于变量的函数。注意定义域（结合实际问题或概率意义），然后用函数、导数求最值的方法来求概率的最值与范围。 【典例1】（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【典例2】（25-26高二下·浙江·期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 【变式1】（25-26高三下·安徽·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． (1)求甲获得分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【变式2】（2026·陕西渭南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 题型二 概率与证明不等式 答｜题｜模｜板 将概率与函数中证明不等式结合考察，通常的方法可以用作差或者作商，然后通过条件来判断差或者商的值从而证明不等式。 【典例1】（25-26高二下·辽宁大连·月考）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的数学期望； (2)时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【典例2】（2026·山东滨州·一模）某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 【变式1】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两位候选人参与选举投票，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”． (1)求（用表示）； (2)证明：为定值； (3)证明：对任意正整数，． 【变式2】（25-26高三下·重庆·月考）现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) (1)若，计算的值； (2)若，求； (3)证明：对任意奇数n(n≥3)，． 题型六 概率与决策性问题 答｜题｜模｜板 根据不同的决策计算概率（有时候是期望值），判断概率大小（可以通过作差或作商）来进行选择。若概率含参的话，可以通过作差后，然后根据参数来讨论差值是否大于0，等于0，小于0 。 【典例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【典例2】（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【变式1】（2026·四川·二模）2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． (1)当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）某校举行网络反诈知识大赛，各参赛队均由2名同学组成，比赛分为资格赛与决赛两个阶段．资格赛阶段由各参赛队派出1名同学参加，随机抽取3道试题，若3道均答错，直接取消决赛资格，最终成绩记0分；若至少答对1道试题，则可进入决赛．决赛阶段由参赛队的另一名同学参加，也是随机抽取3道试题，每道试题答对得10分，答错得0分，决赛的成绩记为该队的最终成绩．已知某队的同学答对每一道试题的概率均为，同学答对每一道试题的概率均为，每一道试题答对与否互不影响，且． (1)若，，同学参加资格赛，求该队最终成绩不低于10分的概率． (2)若该队想要最终成绩取得30分的概率最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? (3)要使该队最终成绩的期望最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 2．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 3．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 4．（25-26高三下·上海·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 5．（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·浙江丽水·期中）甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ (2)设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 2．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 3. （2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 4．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）某网购平台上有101个商家，其编号分别为0，1，2，…，100，已知每个商家均已获得n（n为正整数）位顾客的评价（好评或差评），其中编号为的商家获得任一顾客好评的概率均为. 假设顾客给予评价时互不影响． (1)记编号为50的商家获得的好评率（好评数与评价人数之比）为X，求随机变量X的数学期望． (2)在平台上等可能地随机选择一个商家，求其好评率超过的概率． (3)在平台上等可能地随机选择一个商家，发现其好评数为，现有第位顾客对其给予评价，求该商家仍能获得该顾客好评的概率．据此分析：如果仅考虑已有的评价，在好评率相同但评价人数不同的商家中应如何选择，以尽可能地获得更好的购物体验？ 参考公式：若，为非负整数，为正整数，当较大时，在计算中取． 5．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． (1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； (2)求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； (3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 2．（2026·浙江·二模）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即． (1)甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算，，，的值； （ⅱ）记，求； (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由． 3．（25-26高三下·江西·月考）医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为. (1)若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列. (2)医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射.第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为（为常数，且）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗.在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比. （i）若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求； （ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围. 4．（25-26高二下·湖南长沙·月考）甲、乙、丙三个人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人． (1)设n次传球后球在甲手中的不同的传球方法数为,. （ⅰ）写出的值； （ⅱ）求. (2)前次传球（即从第1次到第n次传球）过程中，你想要让自己更多次接到球，是否应该选择成为首次传球者？请说明理由. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 5．（25-26高三下·河南周口·开学考试）一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $