第七章 随机变量及其分布（单元自测·基础卷）数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D D B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD BD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．15 13． 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 解：（1）依题意，的可能值有. 则，，. ................4分 则的分布列为： ................7分 （2）由（1）中的分布列，可得， ................10分 . ................13分 16．（15分）甲､乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲､乙预报台风准确的概率分别为，在该时段内，求： (1)甲､乙同时预报台风准确的概率； (2)至少有一颗卫星预报台风准确的概率； (3)若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率. 解：（1）记“甲预报台风准确”为事件，“乙预报台风准确”为事件， 则“甲、乙同时预报台风准确”可表示为事件，由题意，事件相互独立， 又，故. ................5分 （2）因“至少有一颗卫星预报台风准确”的对立事件为“两颗卫星都没有预报准确”， 故至少有一颗卫星预报台风准确的概率为. ........10分 （3）设甲独立预报准确的次数为，依题意，， 则，即甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率为. ..............15分 17．（15分）中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 解：（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计. 则， ，. ................8分 （2）由（1）知，则有，记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B， 由题意， 所以. ................14分 答：参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为. ................15分 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 解：（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． ................3分 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， ................5分 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ． ................7分 （2）（ⅰ），， 所以，，，． ................9分 所以 ． ................11分 （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ................15分 ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. ................17分 19．（17分）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 解：（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， ................3分 0 1 边缘分布律 0 1 边缘分布律 1 ................4分 不放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， ................6分 0 1 边缘分布律 0 0.3 0.3 0.6 1 0.3 0.1 0.4 边缘分布律 0.6 0.4 1 ................7分 （2）（i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中， ， ， 经检验，满足. ................10分 所以与相互独立. 在不放回摸球联合分布律中， ，不满足满足，，则与不是相互独立. ................12分 （ii）任取分布律中的一行为， 另一行为，其中 因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足， 所以 ................15分 因为 所以，则分布律中任意两行对应成比例. 同理可证分布律中任意两列也对应成比例. ................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 2．某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 11．某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知某公司员工小李每天上班的通勤时间（单位：min）近似服从正态分布．若小李上班通勤时间超过1h的概率是0.3，则其一个月内（按22天计）上班通勤时间超过50min的天数约为 （结果取整）． 13．在一次运动会上，某单位派出了名主力队员和名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为 . 14．某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 16．（15分）甲､乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲､乙预报台风准确的概率分别为，在该时段内，求： (1)甲､乙同时预报台风准确的概率； (2)至少有一颗卫星预报台风准确的概率； (3)若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率. 17．（15分）中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 19．（17分）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【答案】B 【解析】因为事件与独立，且，所以，故． 2．某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从他作答的试卷中随机选择一题的正确率为：. 3．已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【答案】C 【解析】由可得，所以. 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由随机变量的分布列为，可得，根据分布列的性质，可得，解得. 5．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数为，方差为． 6．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次，所以质点位于的位置的概率为. 7．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，易知单调递增，由正态分布的对称性可知，所以，由，得，所以,即的最小值为． 8．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为，市民开私家车出行迟到的概率为，市民骑行或步行出行迟到的概率为，则这名市民迟到的概率为，故所求的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 【答案】ABD 【解析】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确.B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确.C选项，若独立，则，C选项错误.D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，所以，所以D选项正确. 10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 【答案】BD 【解析】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件，则， 依题意得，的分布列为 1 2 3 ， 的分布列为 1.8 2.9 ． 因为，所以应生产甲品牌轿车． 11．某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【解析】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确；B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误；C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件，第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件，则，，，，，，所以，故C错误；D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知某公司员工小李每天上班的通勤时间（单位：min）近似服从正态分布．若小李上班通勤时间超过1h的概率是0.3，则其一个月内（按22天计）上班通勤时间超过50min的天数约为 （结果取整）． 【答案】15 【解析】记小李上班通勤时间为X，由正态分布的性质可得，，所以其上班通勤时间超过50min的概率，所以小李一个月内（按22天计）上班通勤时间超过50min的天数约为． 13．在一次运动会上，某单位派出了名主力队员和名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为 . 【答案】 【解析】将主力队员上场的人数记为，则，，则所求概率为. 14．某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 【答案】； 【解析】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为.设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件,事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况，所以， 根据条件概率计算公式. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 解：（1）依题意，的可能值有. 则，，. ................4分 则的分布列为： ................7分 （2）由（1）中的分布列，可得， ................10分 . ................13分 16．（15分）甲､乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲､乙预报台风准确的概率分别为，在该时段内，求： (1)甲､乙同时预报台风准确的概率； (2)至少有一颗卫星预报台风准确的概率； (3)若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率. 解：（1）记“甲预报台风准确”为事件，“乙预报台风准确”为事件， 则“甲、乙同时预报台风准确”可表示为事件，由题意，事件相互独立， 又，故. ................5分 （2）因“至少有一颗卫星预报台风准确”的对立事件为“两颗卫星都没有预报准确”， 故至少有一颗卫星预报台风准确的概率为. ........10分 （3）设甲独立预报准确的次数为，依题意，， 则，即甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率为. ..............15分 17．（15分）中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 解：（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计. 则， ，. ................8分 （2）由（1）知，则有，记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B， 由题意， 所以. ................14分 答：参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为. ................15分 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 解：（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． ................3分 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， ................5分 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ． ................7分 （2）（ⅰ），， 所以，，，． ................9分 所以 ． ................11分 （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ................15分 ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. ................17分 19．（17分）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 解：（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， ................3分 0 1 边缘分布律 0 1 边缘分布律 1 ................4分 不放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， ................6分 0 1 边缘分布律 0 0.3 0.3 0.6 1 0.3 0.1 0.4 边缘分布律 0.6 0.4 1 ................7分 （2）（i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中， ， ， 经检验，满足. ................10分 所以与相互独立. 在不放回摸球联合分布律中， ，不满足满足，，则与不是相互独立. ................12分 （ii）任取分布律中的一行为， 另一行为，其中 因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足， 所以 ................15分 因为 所以，则分布律中任意两行对应成比例. 同理可证分布律中任意两列也对应成比例. ................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高中数学单元自测 第七章 随机变量及其分布·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 2．某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 11．某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知某公司员工小李每天上班的通勤时间（单位：min）近似服从正态分布．若小李上班通勤时间超过1h的概率是0.3，则其一个月内（按22天计）上班通勤时间超过50min的天数约为 （结果取整）． 13．在一次运动会上，某单位派出了名主力队员和名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为 . 14．某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 16．（15分）甲､乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲､乙预报台风准确的概率分别为，在该时段内，求： (1)甲､乙同时预报台风准确的概率； (2)至少有一颗卫星预报台风准确的概率； (3)若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率. 17．（15分）中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 19．（17分）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $