1.2.2 课时2 平行四边形的判定定理3课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

1.2.2 平行四边形的判定 课时2 平行四边形的判定定理3 1.除了两组对边分别平行且相等，平行四边形还有哪些性质？ 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 思考：我们得到的这些逆命题是否成立？这节课我们一起来进行探讨. 2.上面的两条性质的逆命题各是什么？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 思考 怎样去证明这个猜想呢？ 如图，将两根细木条 AC，BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？ B D O A C 猜想：四边形 ABCD 一直是一个平行四边形. A C D B O 根据平行四边形的判定定理1 得， 四边形 ABCD 是平行四边形. 如图，在四边形ABCD中，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：在四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD， 又因为∠AOB = ∠COD ， 所以△OAB≌△OCD(边角边) ， 从而 AB = CD，∠OAB =∠OCD. 所以 AB∥CD. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理3 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. B O D A C 例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且 OE = OF. 求证：四边形 AECF 是平行四边形. 证明：因为 四边形 ABCD 为平行四边形， 所以 OA = OC. 又因为 OE = OF， 所以四边形 AECF 是平行四边形. 例2 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C， ∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：因为∠A =∠C，∠B =∠D， ∠A +∠B +∠C +∠D = 360°， 所以 ∠A +∠B = = 180°. 所以 AD∥BC， 同理，AB∥DC. 所以四边形 ABCD 是平行四边形. A B D C 由此你能得到什么结论？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. B D A C 议一议 小明要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，大家动手画一画并相互交流讨论. 7cm 4cm 3cm 3cm 5cm 4cm 可以拼成哪些类型的四边形呢？ 4cm 4cm 4cm 3cm 3cm 3cm 3cm 发现：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. (2)两组邻边相等的四边形也不一定是平行四边形. 3cm 4cm 4cm 7cm 4cm 你有什么 发现？ 平行四边形的判定方法 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1） 角 对角线 两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展) 对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3) 1. 判断对错: (1) 有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) (2) 有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( ) (3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( ) (4) 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( ) (5) 有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) √ × × × √ 2. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是(　　) A．OA = OC，OB = OD B．AB = CD，AO = CO C．AB = CD，AD = BC D．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD B O D A C B 3. 如图，把△ABC 的中线AD延长至 E，使得 DE = AD，连接 EB，EC. 求证：四边形 ABEC 是平行四边形. 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴DC = DB， 又∵DE = AD， ∴四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. A B D C E 4. 如图，AB，CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E，F 分别是 OC，OD 的中点．求证： 四边形 AFBE 是平行四边形． 证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D. 又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ， ∴△AOC≌△BOD(角角边)， ∴CO＝DO. ∵E，F 分别是 OC，OD 的中点， ∴EO＝FO. 又∵AO＝BO， ∴四边形 AFBE 是平行四边形． 5. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 是平行四边形. ∴DE = AF. 又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C. ∵DF∥AB，∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C,∴DF = CF. ∴DE + DF = AF + FC = AC = 10． $