精品解析：山东省淄博市高青县（五四制）2018-2019学年九年级上学期期中考试数学试题

2018-2019学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A. y= B. y= C. y=2x D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项即可． 【详解】根据反比例函数的定义，可判断出只有y=表示y是x的反比例函数． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，属于基础题，重点是熟练掌握反比例函数的形式． 2. 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 3. 函数是二次函数时，则a的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据二次函数的定义可得：，解得：a=-1，故选择B． 4. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】从左侧看几何体，看到一个正方形，但是由于右侧面上有一条靠近上面的被挡住的棱，所以答案D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从左边看得到的图形是左视图，是解题的关键． 5. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数图象的特点求解即可，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 【详解】解：∵， ∴的图象经过一、二、三象限，函数的图象在第一，三象限，故 故选：A． 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k， 所以． 故选D． 7. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可. 【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5， ∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等． 8. 在反比例函数y=的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. k＞3 B. k＞0 C. k≥3 D. k＜3 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵在反比例函数 的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小， ∴3−k>0，即k<3， 故选D 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数 当时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大. 9. 在中，，，，则AC等于（ ） A. 18 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA＝，即可求得AC的长． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴cosA＝， ∵cosA＝，AB＝6， ∴AC＝， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系． 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可. 【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以A选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴，∴，所以C选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴，所以D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 11. 若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论． 详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1， ∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0）， ∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1． 将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4． 当x=-3时，y=（x+1）2-4=0， ∴得到的新抛物线过点（-3，0）． 故选B． 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键． 12. 如图，两个反比例函数（其中）和在第一象限内的图象依次是和，点P在上．矩形交于A、B两点，的延长线交于点E，轴于F点，且图中四边形的面积为6，则为（　　） A. ：1 B. 2： C. 2：1 D. 29：14 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的比例系数的几何意义可得、，即可求出．可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图： ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 13. 已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若反比例函数图像经过点P，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】； 【解析】 【分析】直接利用已知得出P点坐标，再利用反比例函数解析式求法得出答案． 【详解】∵点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4， ∴P点坐标为：（-2，-4）或（-4，-2）， 则该反比例函数的解析式为：y=． 故答案为y=． 14. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为_____． 【答案】##10米 【解析】 【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可． 【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键． 15. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC长，然后再解直角三角形CBD即可求得． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=2km， 在Rt△CBD中，(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形． 16. 若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________． 【答案】y2＜y1＜y3 【解析】 【详解】分析：设t=k2﹣2k+3，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 详解：设t=k2﹣2k+3， ∵k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0， ∴t＞0． ∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上， ∴y1=﹣，y2=﹣t，y3=t， 又∵﹣t＜﹣＜t， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为y2＜y1＜y3． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键． 17. 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】分两种情况：当点C在点B左侧时，如图，先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，进一步即可求出m的值；当点C在点B右侧时，根据m=2AB求解即可． 【详解】解：①如图，当点C点B左侧时， ∵B，C是线段AD的三等分点， ∴AC=BC=BD， 由题意得：AC=BD=m， 当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB=3+1=4， ∴AC=BC=2， ∴m=2； 当点C在点B右侧时，AB=BC=CD=4， ∴m=AB+BC=4+4=8； 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的平移及解一元二次方程等知识，属于常考题型，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键． 三、解答题（共7小题，共52分） 18. 计算：sin30°﹣cos45°+tan260°． 【答案】1 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可． 【详解】原式= = =1． 19. 如图所示的几何体是由5个相同的正方体搭成的，请分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． 【答案】 【解析】 【分析】主视图有3列,每列小正方形数目分别为2,1,1;左视图2列,每列小正方形数目分别为1,2;俯视图有3列,每行小正方形数目分别为2,1,1. 【详解】解：如图所示： 【点睛】此题考查了作图三视图, 从不同方向观察问题和几何体, 锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力. 20. 已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+2；（2）抛物线开口向下，对称轴是：x＝1，顶点坐标为（1，3），二次函数最大值为3． 【解析】 【分析】（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，可写出二次函数解析式；（2）根据a的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标和二次函数的最值. 【详解】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）代入y＝ax2+bx+2中， 得， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+2； （2）∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∵a＝﹣1， ∴抛物线开口向下， 对称轴是：x＝1，顶点坐标为（1，3），二次函数的最大值为3． 【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，属于基础题. 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点. （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较，当时，和的大小. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）把y=3代入y=2x+1即可求得A的横坐标，则A的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）根据函数图象及图象的位置即可确定x的范围． 【详解】解：（1）把代入，得， . .. 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为 （2）当时，： 当时，；当时，. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想． 22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，. 【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为. 【解析】 【详解】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 详解：如图，过点作，垂足为. 则. 由题意可知，，，，，. 可得四边形为矩形. ∴，. 在中，， ∴. 在中，， ∴. ∴ . ∴. 答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为. 点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般． 23. 如图，矩形的两边、的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． （1）若点B坐标为，求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； （2）若，求反比例函数表达式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出点A，点E的坐标，再设的解析式为，建立方程组求解即可； （2）连接，先求出，的长度，继而求出，，设E点坐标为，则F点坐标为，根据反比例函数的几何意义列方程求出，再将E点坐标代入，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，点B坐标为，，，E为的中点， ，， ∵函数的图象经过E点， ， 设的解析式为， 则， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：连接， ∵，，E为的中点， ∴， ∴， ， ，， 设E点坐标为，则F点坐标为， ∵E，F两点在函数图象上， ，解得， ， ， 24. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】（1）水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）；（2）为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；（3）扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0）， 将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0， 解得：a=﹣， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）． （2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8， 解得：x1=﹣1，x2=7， ∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+． ∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣×162+16b+， 解得：b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+， ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2018-2019学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A. y= B. y= C. y=2x D. y= 2. 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数是二次函数时，则a的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 4. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B. C. D. 5. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（　　） A. B. C. D. 7. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 8. 在反比例函数y=的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. k＞3 B. k＞0 C. k≥3 D. k＜3 9. 在中，，，，则AC等于（ ） A. 18 B. 2 C. D. 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 11. 若抛物线与轴两个交点间距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 12. 如图，两个反比例函数（其中）和在第一象限内的图象依次是和，点P在上．矩形交于A、B两点，的延长线交于点E，轴于F点，且图中四边形的面积为6，则为（　　） A. ：1 B. 2： C. 2：1 D. 29：14 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 13. 已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若反比例函数图像经过点P，则该反比例函数的解析式为______． 14. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为_____． 15. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km． 16. 若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________． 17. 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________． 三、解答题（共7小题，共52分） 18. 计算：sin30°﹣cos45°+tan260°． 19. 如图所示的几何体是由5个相同的正方体搭成的，请分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． 20. 已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值． 21. 如图，一次函数图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点. （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较，当时，和大小. 22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，. 23. 如图，矩形的两边、的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． （1）若点B坐标为，求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； （2）若，求反比例函数的表达式． 24. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $