精品解析：广西南宁市第十五中学2025-2026学年九年级上学期2月综评数学试题

2025-2026学年九年级（上）2月综评数学试题 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 2024年一汽红旗长春马拉松于9月1日举行，本届赛事吸引了全球31个国家和地区的约名选手报名参赛，报名人数创历届新高，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在小孔成像问题中，若小孔O到物体的距离是，到像的距离是，则物体的长是像的长的（　　） A. 4倍 B. 2倍 C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 它的两支图象关于原点对称 C. 当时，则 D. 随的增大而减小 9. 已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 有49支队550名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？设参赛的篮球队有x支，排球队有y支，下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A. 3 B. 5 C. 15 D. 17 12. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）m． A. 12 B. 10 C. 8 D. 2 二．填空题（每题3分，共12分） 13. 当m为____________时，分式无意义． 14. 因式分解：___________． 15. 如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 ___________ ． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为______． 三．解答题（第17题8分，第18～21题每题10分，第22～23题每题12分，共72分） 17. 计算与解方程： （1）计算：． （2）解分式方程：． 18. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 19. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 20. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径． 21. 【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 22. 如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，作于F，交于点E，当时，求点M的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值． 23. 如图1，中，为内一点，连接，将绕点按顺时针旋转角得到，连接，且C、D、E三点在同一直线上． （1）求证：； （2）如图2，若，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，直接写出四边形面积的最大值：__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）2月综评数学试题 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 2024年一汽红旗长春马拉松于9月1日举行，本届赛事吸引了全球31个国家和地区的约名选手报名参赛，报名人数创历届新高，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选B． 3. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，2，2，一共有5个正方形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键． 4. 如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 5. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 点在第四象限． 故选D． 6. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除，积的乘方，合并同类项，据此相关性质进行逐项分享，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C． 7. 如图，在小孔成像问题中，若小孔O到物体的距离是，到像的距离是，则物体的长是像的长的（　　） A. 4倍 B. 2倍 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作，垂足为E，延长交于点F，根据题意可得，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点O作，垂足为E，延长交于点F， 由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体的长是像的长的2倍． 8. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 它的两支图象关于原点对称 C. 当时，则 D. 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】A、∵反比例函数中，，∴此函数图象在一、三象限，故本选项正确； B、∵反比例函数的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确； C、∵反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小，∴当时，则 ，故本选项正确； D、∵反比例函数的图象在一、三象限，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 9. 已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代入计算即可． 【详解】，是方程的两个根， 由方程根的定义得，， 由一元二次方程根与系数的关系得， ， 又， ， 由，得， ， 原式， 将代入得：原式． 10. 有49支队550名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？设参赛的篮球队有x支，排球队有y支，下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有49支队，550名运动员建立方程组即可． 【详解】解：由题意，得， 故选B ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答时根据条件，找到等量关系，建立二元一次方程组是关键． 11. 如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A. 3 B. 5 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：是直角三角形， ， 为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ，，， ． 12. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）m． A. 12 B. 10 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 解之得：． 又，解得． 故选：B． 二．填空题（每题3分，共12分） 13. 当m为____________时，分式无意义． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式：计算即可，计算时注意求的是两个面的面积． 【详解】解：， ， ． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键；根据菱形的性质得到，由，设，则，得到，过D作于H，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 由， 设，则， ∴， ∴， 过D作于H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三．解答题（第17题8分，第18～21题每题10分，第22～23题每题12分，共72分） 17. 计算与解方程： （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先计算零指数幂、有理数的乘方和负整数指数幂，再计算乘法，最后进行加减运算即可； （2）原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母，得，所以是原方程的解， ∴分式方程的解为． 18. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 【答案】（1） 补全图形，如图所示； （2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；；对角线互相垂直的矩形是正方形． 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图和证明四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解决此题的关键． （1）根据作图步骤画出图形即可； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行判定即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【答案】（1）4，35，； （2）名； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数； （2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解； 【小问1详解】 解：， ， 即， 将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93， ∴20名学生成绩的中位数为：， 故答案为：4，35，； 【小问2详解】 解：(名)， ∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， ∴恰好抽到一男一女的概率． 20. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径． 【答案】（1） 选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题． 证明：如图，连接OD， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． ∵OA=OD， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠C＝∠ODA， ∴． ∵∠DEC=90°， ∴∠ODE=∠DEC=90°，即， ∴DE是⊙O的切线． 故答案为：①和②，③；（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接OD，由等边对等角可得出∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，即可推出∠C＝∠ODA，从而可证明，再根据平行线的性质和∠DEC=90°，可证明∠ODE=∠DEC=90°，即，说明DE是⊙O的切线； （2）连接BD，由直径所对圆周角为直角得出．再结合等腰三角形三线合一的性质可得出AD=CD=5．又易证，即得出，代入数据即可求出AB的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接BD， ∵AB为直径， ∴，即． ∵AB=BC， ∴AD=CD=5． 在和中， ∴， ∴，即， ∴． 故圆O的直径为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形相似的判定和性质．解题的关键是连接常用的辅助线． 21. 【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 22. 如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，作于F，交于点E，当时，求点M的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）设，根据相似三角形的性质建立方程求解即可； （3）根据将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移，可知t秒时向右，向上平移t的单位，得到，分别求出，，，再根据等腰三角形边的关系分类讨论求解即可； 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 抛物线的解析式， 【小问2详解】 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， ，， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：（舍），， ， ； 【小问3详解】 ， 顶点， ， 将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移， t秒时向右，向上平移t个单位， ， ，，， 是等腰三角形， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 综上，或或； 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，图形的平移，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是要注意分类讨论思想解题，避免遗漏． 23. 如图1，中，为内一点，连接，将绕点按顺时针旋转角得到，连接，且C、D、E三点在同一直线上． （1）求证：； （2）如图2，若，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，直接写出四边形面积的最大值：__________． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，从而得出，根据“”证明，即可求解； （2）由（1）可得，如图2，由旋转可得，证明为等边三角形，根据，得出平分，在中，求出，从而得，根据勾股定理得出，求出，结合，即可得． （3）如图3中，过点A作交的延长线于，设交于．同（1）可得，则，根据三角形内角和定理得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，确定当，四边形的面积最大，此时，根据，得出，从而得，，设，则，根据，，列方程求出，求出，再根据四边形最大面积求解即可． 【小问1详解】 证明：∵将绕点按顺时针旋转角得到， ∴， ∴， ， 在和中 ， ∴， ． 【小问2详解】 解：， 证明如下： 由（1）可得， ∵如图2，由旋转可得， ∴为等边三角形， ∵， ∴平分， 在中，， ， ∵， ∴，即， ， 即， ， ． 【小问3详解】 解：如图3中，过点A作交的延长线于，设交于． 同（1）可得， ， ， ， ∴点在以为直径的圆上运动，即图中上运动， ∵， ∴， ∵为定值， ∴当点距离越远，则面积最大， ∴当，四边形的面积最大，此时， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ∵，， ， ， ． ∴四边形最大面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，二次根式的性质，弦、弧、圆心角之间的关系，勾股定理等知识点，证明三角形全等是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $