10.1.3 两角和与差的正切-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

10.1.3 两角和与差的正切 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式 T(α+β) tan(α+β)=__________ α，β，α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切公式 T(α-β) tan(α-β)=__________ α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1 |微|点|助|解| (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β 的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (2)符号规律：分子同，分母反. (3)T(α±β)可变形为如下形式： ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. (　　) (2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan αtan β). (　　) (3)1+tan αtan β=. (　　) × × × 2.若tan α=3，tan β=，则tan(α-β)等于(　　) A. B.- C.3 D.-3 解析：原式===. √ 3.已知tan α=2，则tan=_____.  解析：tan===-3. -3 4.=_____.  解析：原式=tan(75°-15°)=tan 60°=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　两角和与差正切公式的简单应用 [例1]　(1)若tan=，则tan α=　　　.  解析：法一　∵tan===， ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1)， ∴tan α=. 法二　tan α=tan ===. (2)已知α，β均为锐角，tan α=，tan β=，则α+β=_____.  解析：∵tan α=，tan β=， ∴tan(α+β)===1. ∵α，β均为锐角，∴α+β∈(0，π).∴α+β=. |思|维|建|模| 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 针对训练 1.(2024·全国甲卷)已知=，则tan=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- √ 解析：根据题意有=， 即1-tan α=，所以tan α=1-， 所以tan===2-1，故选B. 2.已知tan α=2，tan β=-，其中0<α<<β<π.求α+β的值. 解：把tan α=2，tan β=-代入， 得tan(α+β)===1. 因为0<α<<β<π. 所以<α+β<.所以α+β=. 题型(二)　两角和与差正切公式的逆用 [例2]　计算：=(　　) A.- B. C.- D. 解析：原式====-=-=-.故选A. √ |思|维|建|模| 　 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan=1，tan=，tan=等.要特别注意tan=，tan=. 针对训练 3.化简求值：. 解：原式==tan(45°-15°) =tan 30°=. 题型(三)　两角和与差正切公式的变形用 [例3]　(1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是____.  解析：∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°. ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. (2)=______.  解析：∵tan 18°+tan 42°+tan 120° =tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 120°=-tan 60°·tan 18° tan 42°，∴原式=-1. -1 |思|维|建|模| 　　当化简的式子中出现“tan α±tan β ”与“tan αtan β ”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 针对训练 4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=(　　) A. B.- C. D.- 解析：tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan (87°+33°)(1-tan 87°tan 33°)=tan 87°tan 33°+(1-tan 87° tan 33°)=.故选A. √ 5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0，且α，β∈，则α+β=_______.  解析：因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0，所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β)，所以tan(α+β)==-1.又α，β∈，所以π<α+β<2π，故α+β=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.tan 255°等于 (　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ √ 解析：tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)= ==2+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.的值等于(　　) A.tan 42° B.tan 3° C.1 D.tan 24° √ 解析：∵tan 60°=，∴原式==tan(60°-18°)=tan 42°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知2tan θ-tan=7，则tan θ=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 解析：由已知得2tan θ-=7，解得tan θ=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)已知tan α=4，tan β=-，则(　　) A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角 C.tan= D.tan 2α=tan 2β √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵tan α=4，tan β=-，∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1，故A正确；∵tan α=4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B错误； ∵tan β=-，∴tan==，故C正确；∵tan α=4，tan β=-，∴tan 2α===-，tan 2β==-，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，相应的时针转过角度为α，则tan α的值为 (　　) A.-2+ B.-+1 C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，用时小时，而时钟的时针顺时针旋转1小时，转过的角度为-，因此α=-，tan α=tan ===-2+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知tan 110°=a，求tan 50°的值(用a表示)，王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是(　　) A.王老师对、叶老师错 　　B.两人都对 C.叶老师对、王老师错 　　D.两人都错 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵tan 50°=tan(110°-60°)=，所以王老师正确. ∵tan 110°=tan(90°+20°)==-=a， ∴tan 50°===，所以叶老师正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)=________.  解析：== =tan(15°-45°) =tan(-30°)=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若tan 28°·tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°=__________.  解析：∵28°+32°=60°，∴tan 60°=tan(28°+32°)==. ∴tan 28°+tan 32°=(1-m). (1-m) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知tan(α+β)=7，tan α=，且β∈(0，π)，则β的值为_______.  解析：由已知得tan β=tan[(α+β)-α]===1， ∵β∈(0，π)，∴β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对 勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问 题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何?”其意 思为今有直角三角形ABC，勾AC(短直角边)长3步，股BC(长直角边)长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形CDEF(D，E，F分别在边CB，BA，AC上)边长为多少?在求得正方形CDEF的边长后，可进一步求得∠BAD的正切值为　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设正方形的边长为x，则DE=EF=CD=x，BD=4-x. 由△BDE∽△BCA，可得=，即=，解得x=. 因为tan∠BAC==，tan∠DAC==，所以tan∠BAD =tan(∠BAC-∠DAC)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=______.  解析：由题意得tan(α+β)===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0，则=-2， 联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知tan α=-2，tan(-β)=(tan αtan β-3)，且α，β都是钝角，则α+β的值_____.  解析：因为tan(-β)=(tan αtan β-3)， 所以-tan β=tan αtan β-3. 因为tan α=-2，所以-tan β=tan αtan β-+tan α， 即(1-tan αtan β)=tan α+tan β， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 即=. 因为tan(α+β)=， 所以tan(α+β)=.因为α，β都是钝角， 即α∈，β∈，所以α+β∈(π，2π)， 则α+β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)(1)已知α，β为锐角，cos α=，tan(α-β)=-，求cos β的值；(5分) 解：∵0<α<，cos α=，∴sin α==.∴tan α==. ∵tan(α-β)===-，解得tan β=.∴tan β==， sin β=cos β.又sin2β+cos2β=1，代入得cos2β=.∵β为锐角， ∴cos β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知tan α=1，3sin β=sin(2α+β)，求tan(α+β)的值.(5分) 解：∵sin(2α+β)=3sin β，∴sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]， 即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α， 整理得2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α，即=. ∵tan α=1，∴tan(α+β)=2tan α=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)是否存在锐角α，β，使得下列两个式子①tan(α+2β)=-，②tantan β=2-同时成立?若存在，求出α，β的一个值；若不存在，请说明理由. 解：存在，α=，β=.理由如下： 由①tan(α+2β)=-， ∵α，β为锐角，则0<α+2β<，∴α+2β=.∴+β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴tan==. 将②代入上式得tan+tan β=3-. 因此tan，tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两根. 由x2-(3-)x+2-=0， 即[x-(2-)](x-1)=0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解得x1=1，x2=2-.当tan=1时， ∵0<α<，∴0<<， 此时α不存在.故tan=2-，tan β=1. ∴tan α==. ∵α，β均为锐角，∴α=，β=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $