9.4 向量应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

9.4 向量应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法. 2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　平面向量在物理中的应用 题型(二)　向量在平面几何证明中 的应用 题型(三)　利用平面向量求几何 中的长度问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　平面向量在物理中的应用 01 [例1]　如图，一条河两岸平行，河的宽度AC= km，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程AB=2 km，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|，水流的速度v2的大小为|v2|=2 km/h.求： (1)|v1|； 解：因为船只在河内行驶的路程AB=2 km，行驶时间为0.2 h，所以船只沿AB方向的速度为|v|==10 km/h. 由AC= km，AB=2 km，根据勾股定理可得BC==1 km， 所以∠BAC=30°，即<v2，v>=60°. 由v=v1+v2，得v1=v-v2，所以|v1|== ==2. (2)船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值. 解：因为v=v1+v2，所以v2=(v1+v2)2， 即100=(2)2+2×2×2cos<v1，v2>+22，解得cos<v1，v2>=. 即船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为. |思|维|建|模| 向量方法解决物理问题的步骤 针对训练 1.设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态， 若|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为，如图所示. (1)求F3的大小； 解：由题意|F3|=|F1+F2|， 因为|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为， 所以|F3|=|F1+F2|==. (2)求F2与F3的夹角. 解：设F2与F3的夹角为θ，因为F1=-(F2+F3)， 两边平方得1=4+3+2×2×cos θ，所以cos θ=-.所以θ=. 题型(二)　 向量在平面几何证明中的应用 02 多维理解 [例2]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点. 求证：AF⊥DE. 证明：法一　设=a，=b，则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+b，=+=b+a， 所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，=(2，1)，=(1，-2). 因为·=(2，1)·(1，-2)=2-2=0， 所以⊥，即AF⊥DE. |思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法： 选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明. ②坐标法： 先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 针对训练 2.如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交 于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 证明：∵⊥⊥，∴∥. 设=λ(λ≠0)，则=λ.同理=λ. 于是=-=λ(-)=λ， ∴∥，即HG∥EF. 题型(三)　利用平面向量求几何 中的长度问题 03 [例3]　已知Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n. (1)若D为AB的中点，求证：CD=AB； 解：证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的 直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A(0，m)，B(n，0). ∵D为AB的中点，∴D. ∴||= . ∵||=， ∴||=||，即CD=AB. (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示). 解：∵E为CD的中点，∴E. 设F(x，0)，则==(x，-m). ∵A，E，F三点共线，∴设=λ. 即(x，-m)=λ，则 解得λ=，x=.∴F. ∴||= ，即AF= . |思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2=a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解.若a=(x，y)，则|a|=. 针对训练 3.如图，在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，对角 线BD=2，求对角线AC的长. 解：设=a，=b，则=a-b，=a+b. ∵||=|a-b|= ===2， ∴5-2a·b=4，∴a·b=. 又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6，∴||=，即AC=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.某人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 (　　) A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. √ 解析：由向量加法法则可知，人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是 (　　) √ 解析：因为f1+f2=-f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s=(2lg 5，1)，则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 √ 解析：因为F1+F2=(1，2lg 2)，所以W=(F1+F2)·s=(1，2lg 2)·(2lg 5，1) =2lg 5+2lg 2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在四边形ABCD中，若+=0，·=0，则四边形为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 √ 解析：由题可知∥，||=||，所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥，故四边形为菱形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，=2，则·的值是(　　) A.- B.- C.- D.- √ 解析：因为=+=+，且=-，所以·= (+)·(+)=-=-1=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在梯形ABCD中，∥⊥，||=2，||=2||.若点P在线段BC上，则|+3|的最小值是(　　) A. B.4 C. D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B(0，0)，A(0，2)，C(2d，0)，D(d，2)，P(p，0) (0≤p≤2d)，所以=(2d-p，0)，=(d-p，2).所以+3=(5d-4p，6).所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若非零向量与满足·=0，且·=，则△ABC为(　　) A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵·=0，∴A的角平分线与BC垂直. ∴AB=AC.∵cos A=·=， ∴∠A=30°，则△ABC是顶角为30°的等腰三角形，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为______. 解析：由题意得，速度的大小为|v|==， 又||==3，故所用时间t==3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=2，DC=1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD=____.  1 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0). 设AD=a，则C(1，a)，=(1，a)，=(-1，a). 因为AC⊥BC，所以⊥.所以·=-1+a2=0，解得a=1(舍负). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2， 点E为BC的中点，点F在边CD上，若·=2， 则·的值是____.  2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：建立如图所示的坐标系，设DF=x，由图可得A(0，0)，B(2，0)，E(2，)，F(x，2)，·=(2，0)·(x，2)=2x=2，即有x=1.即F(1，2)，=(-1，2)，则·=(2，)·(-1，2)=2× (-1)+×2=-2+4=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知=a+b，=a-2b，|a|=2|b|=2，a，b的夹角为，则△ABC的BC边上中线的长为____.  解析：设D为BC的中点，则2=+，所以(2)2=(+)2. 所以4=(2a-b)2. 所以||===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知两个力F1=5i+3j，F2=-2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点A(8，0)移动到点B(20，15)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m).试求： (1)F1，F2分别对质点所做的功；(6分) 解：根据题意，F1=5i+3j=(5，3)，F2=-2i+j=(-2，1)，=(12，15)，故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J)； F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)F1，F2的合力F对质点所做的功.(4分) 解：根据题意，F1，F2的合力F=F1+F2=(3，4)， 故F1，F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h，河水的流速为4 km/h，现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?(5分) 解：如图1，设此人在静水中游泳的速度为，水流的 速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则此人的实际速度为+=.由题意，⊥且 ||=4，||=4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以||==8. 在Rt△OAC中，tan∠AOC==，所以∠AOC=60°. 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在▱ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.(5分) 解：如图2，设=a，=b，则|a|=2，|b|=1， 从而=a-b，所以=(a-b)2=a2-2a·b+b2， 即4=5-2a·b. 所以a·b=.又=a+b，所以=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+1=6. 所以||=，即对角线AC的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的 一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF. 证明：设正方形边长为a，由于P是对角线BD上的一点， 可设=λ(0≤λ≤1). 则=-=-λ=-λ(+)=(1-λ)-λ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又因为=-=(1-λ)-λ，所以·=[(1-λ)-λ]· [(1-λ)-λ]=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)·+ λ2·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.因此⊥，故PA⊥EF. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $