9.4 向量应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.4　向量应用 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题. 2.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法. 3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二　向量在物理中的应用 1.物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. 2.向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. 3.动量mv是向量的数乘运算. 4.功是力F与位移s的数量积. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在△ABC中,若>0,则△ABC为锐角三角形.(　　) (2)△ABC内一点G满足=0,则G是△ABC的重心.(　　) (3)若||=||,则△ABC的形状为等腰三角形.(　　) (4)在△ABC中,若,则P必为△ABC的垂心. (　　) × √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】向量在平面几何中的应用 角度1证明平行或共线问题 例1 如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=AB,DF=DB,求证:A,E,F三点共线. 证明 因为DE=AB,DF=DB, 所以 于是=-,所以共线.又有公共点F, 所以A,E,F三点共线. 规律方法　证明三点共线的步骤 (1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线. (2)说明两个向量有公共点. (3)下结论,即三点共线. 跟踪训练1 对于给定的△ABC,重心为G,过点G的直线l交AB,AC于E,F,若=λ=μ,则=　　　　.  3 解析 如图,设BC的中点为D,则) =)=, 因为E,F,G三点共线,所以=1,则=3. 角度2证明垂直问题 例 2 [链接教材例2]如图,在等边三角形ABC中,点D在AB上,=2,点E在BC上,=2,AE与CD交于点P.求证:BP⊥DC. 证明 由△ABC是等边三角形,设正三角形ABC的边长为6,取点B为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE=2,则B(0,0),A(3,3),D(2,2),E(2,0),C(6,0),=(-4,2),=(-1,-3). 设P(x,y),则=(x-3,y-3),=(x-6,y),由,得 解得交点P的坐标为,故, (-4)+2=0,∴BP⊥DC. 题后反思　用向量法解决平面几何中的垂直问题的两种方法 (1)普通向量法:利用向量的运算法则、运算律或性质计算,有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的垂直问题转化为代数运算问题. 跟踪训练2 如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,M,N分别为边BC,AC上的点,,AM,BN相交于点P. (1)求||的值; (2)求证:AM⊥PN. (1)解 由,得 )=, 所以||2=()2=|2+|2 =4+2×416=, 故||= (2)证明 因为,所以=-, 则=()·(-)=-|2+|2=-4+16=0, 所以,所以AM⊥BN,即AM⊥PN. 角度3计算长度问题 例 3 已知E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,且AB=3,CD=2, ∠ABC=45°,∠BCD=75°,则线段EF的长为　　　　.  解析 如图,作AH∥CD,交BC于点H,则∠BHA=∠BCD=75°,所以∠BAH=180°-45°-75°=60°.设的夹角为θ, 则cos θ=cos∠BAH= 因为,且=-=-, 所以2, 所以||2=)2=|2+|2+|·||cos θ=+1+, 所以||= 规律方法　向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的问题,一是利用图形特点选择一组基底,用基底表示所求向量,再用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式,若a=(x,y),则|a|=. 跟踪训练3 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若点D为斜边AB的中点,求证:CD=AB. (2)若点E为CD的中点,连接AE并延长,交BC于点F,求AF的长度(用含m,n的式子表示). (1)证明 以点C为坐标原点,边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵点D为AB的中点,∴D, ∴||=,||=, ∴||=|,即CD=AB. (2)解 ∵点E为CD的中点,∴E 设F(x,0),则=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,=,λ∈R. 即(x,-m)=, 故λ=,∴x=,∴F,, ∴||=,即AF= 【题型二】向量在物理中的应用 角度1力学问题 例 4 [链接教材例1](多选题)如图,一物体受到3个力的作用,其中重力G的大小为4 N,水平拉力F1的大小为3 N,另一个力F2未知,则下列结论中正确的是(　 　) A.当该物体处于平衡状态时,|F2|=5 N B.当F2与F1方向相反,且|F2|=5 N时,物体所受合力的大小为0 C.当物体所受合力为F1时,|F2|=4 N D.当|F2|=2 N时,3 N≤|F1+F2+G|≤7 N ACD 解析 对于A,由题知,F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小,由题图知|F2|=5 N,故A正确;对于B,如图,物体所受合力应等于向量与F2的和向量的大小,显然B错误;对于C,当物体所受合力为F1时,说明G与F2的合力为0,所以|F2|=4 N,故C正确;对于D,由上知,重力G与水平拉力F1的合力为,||=5 N,易知当F2与同向时合力最大,最大值为7 N;反向时合力最小,最小值为3 N,即3 N≤|F1+F2+G|≤7 N,故D正确.故选ACD. 规律方法　力的合成与分解的向量解法 运用向量解决力的合成与分解,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则解题. 跟踪训练4 已知一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,F1,F2成60°角,且|F1|=3 N,|F2|=4 N,则F1与F3夹角的余弦值是　　　　　.  - 解析 因为物体处于平衡状态, 所以F1+F2+F3=0. 因此F3=-(F1+F2),于是|F3|== =, 设F1与F3的夹角为θ. 又F2=-(F1+F3), 所以|F2|==4, 解得cos θ=-故答案为- 角度2速度问题 例5 [链接教材习题9.4,T2]如图,已知河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2. (1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小; (2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小. 解 如图①,设=v0,=v1,=v2,则由题意知v2=v0+v1,||=1,根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形. 图① 图② (1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形,且||=||=,如图②所示, 则在Rt△OAC中,|v2|=OC==2, tan∠AOC=,又α=∠AOC,所以α= 故他实际前进方向与水流方向的夹角α=,v2的大小为2. (2)由题意知∠AOC=,且|v2|=|OC|=,BC=1,如图③所示, 则在Rt△OBC中,|v1|=OB==2,tan∠BOC=, 又∠BOC,所以∠BOC=,则β=, 故他游泳的方向与水流方向的夹角β=,v1的大小为2. 图③ 规律方法　速度问题的向量解法 运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,同时正确作出图形有助于问题的分析与解决. 跟踪训练5 一条河两岸平行,河的宽度为200 m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=6 km/h.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为θ,行驶完全程需要的时间为t(单位:min),若船的航程最短,则下列结论中正确的是(　　) A.<θ<,t=1.5 B.<θ<,t=1.5 C.<θ<,t=2 D.<θ<,t=2 B 解析 若船的航程最短,则合速度的方向垂直于河岸,即v⊥v2,如图,sin α =,所以<sin α<,故<α<,又θ=α+,所以<θ<又因为sin α=,所以cos α=,所以|v|=|v1|cos α=10=8(km/h),故t==1.5(min). $