9.3.3 向量平行的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

9.3.3 向量平行的坐标表示 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解向量平行的坐标表示，会进行共线问题的处理. 2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行及三点共线问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 (1)向量平行的坐标表示 一般地，设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(a≠0)，则a∥b ⇔__________. 特别地，当a∥b且x2y2≠0时，有=，即两个向量的相应坐标成比例. (2)谨防两个易错点 两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)平行的条件x1y2-x2y1=0容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”. 当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向;当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向. x1y2-x2y1=0 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线. (　　) (2)向量(2，3)与向量(-4，-6)反向. (　　) (3)如果x1y2-x2y1=0，那么向量a=(x1，y1)与向量b=(x2，y2)共线.(　　) √ √ √ 2.已知向量a=(-2，4)，b=(1，-2)，则a与b的关系是 (　　) A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反 √ 解析：∵a=-2b，∴a与b方向相反.故选D. 3.已知a=(-3，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=　　　.  解析：∵a∥b，∴=，解得y=-4. -4 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量平行的判定 [例1]　已知A，B，C三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，且==，求证：∥. 证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知=(2，2)，=(-2，3)，=(4，-1)， ∴====. ∴(x1，y1)-(-1，0)=，(x2，y2)-(3，-1)=. ∴(x1，y1)=，(x2，y2)=. ∴=(x2，y2)-(x1，y1)=. ∵4×-(-1)×=0，∴∥. |思|维|建|模| 向量平行的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解. 针对训练 1.(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量基底的是 (　　) A.a=(-1，2)，b=(3，5)　 B.a=(1，2)，b=(2，1) C.a=(2，-1)，b=(3，4) D.a=(-2，1)，b=(4，-2) √ √ √ 解析：要满足题意，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a与b不平行，即x1y2-x2y1≠0.对于A，2×3+1×5≠0，所以A不平行;对于B，2×2-1 ×1≠0，所以B不平行;对于C，-1×3-2×4≠0，所以C不平行;对于D，1×4-(-2)×(-2)=0，所以D平行.故选ABC. 2.已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗? 解：因为点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，所以=(2，4)，=(1，2)，显然有2×2-1×4=0，于是得∥.因为=(2，6)，而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，所以与不平行，即点A，B，C不共线.因此AB与CD不重合，所以直线AB与CD平行. 题型(二)　利用向量平行的坐标表示求参数 [例2]　已知a=(1，0)，b=(2，1). (1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线? 解：因为a=(1，0)，b=(2，1)， 所以ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2). 因为ka-b与a+2b共线， 所以=，解得k=-. (2)若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值. 解：因为a=(1，0)，b=(2，1)， 所以=2a+3b=2(1，0)+3(2，1)=(8，3)， =a+mb=(1，0)+m(2，1)=(1+2m，m). 因为A，B，C三点共线，所以与共线， 即=，解得m=. |思|维|建|模| 　　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)，列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. 针对训练 3.已知向量=(1，-3)，=(2，-1)，=(k+1，k-2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　) A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 解析：因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥.又=-=(1，2)，=-=(k，k+1)，所以2k-(k+1)=0，解得k=1. √ 4.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)，若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= (　　) A. B. C. D. √ 解析：设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)，a+b=(3，-1). 由(c+a)∥b，c⊥(a+b)， 得解得 所以c=. 题型(三)　利用向量平行的坐标表示求点的坐标 [例3]　如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)， 求AC和OB交点P的坐标. 解：设=t=t(4，4)=(4t，4t)， 则=-=(4t，4t)-(4，0)=(4t-4，4t)， =-=(2，6)-(4，0)=(-2，6). 由平行的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，解得t=. 所以=(4t，4t)=(3，3).所以P点坐标为(3，3). |思|维|建|模| 利用向量平行的坐标表示求点M坐标的步骤 (1)寻找共线向量; (2)利用已知点的坐标求出共线向量的坐标; (3)设点M的坐标为(x，y)，用x，y表示以M为起点或终点的向量的坐标; (4)利用共线向量的坐标表示列方程(组); (5)解方程(组)求出点M的坐标. 针对训练 5.在△AOB中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，= =，AD与BC交于点M，求点M的坐标. 解：∵点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴=(0，5)，=(4，3). ∵==，∴点C的坐标为. 同理可得点D的坐标为，从而=. 设点M的坐标为(x，y)，则=(x，y-5). ∵A，M，D三点共线，∴与共线， ∴-x=2(y-5)，即7x+4y=20①. 易知==. ∵C，M，B三点共线，∴与共线， ∴x=4，即7x-16y=-20②. 由①②解得x=，y=2.∴点M的坐标为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列各组向量中，能作为基底的是 (　　) A.e1=(0，0)，e2=(1，1) B.e1=(1，2)，e2=(-2，1) C.e1=(-3，4)，e2= D.e1=(2，6)，e2=(-1，-3) √ 15 解析：A中，零向量与任意向量共线，故不能作为基底;C中，e1=-5e2;D中，e1=-2e2，向量e1与e2共线，不能作为基底;B中，e1与e2不共线，所以可作为一组基底. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若向量a=(，1)，b=(0，-2)，则与a+2b共线的向量可以是(　　) A.(，-1) B.(-1，-) C.(-，-1) D.(-1，) √ 15 解析：若向量a=(，1)，b=(0，-2)，则a+2b=(，1)+2(0，-2)= (，-3)=-(-1，)，D选项满足要求，而其他选项不合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若向量a=(x，2)，b=，c=a+2b，d=2a-b，且c∥d，则c -2d=(　　) A. B. C.(1，2) D.(-1，-2) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得c=a+2b=(x，2)+(1，2)=(x+1，4)， d=2a-b=(2x，4)-=， ∵c∥d，∴3(x+1)=4，解得x=1， ∴c=(2，4)，d=， ∴c-2d=(2，4)-(3，6)=(-1，-2). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 √ 15 解析：因为a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3，所以x=-3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x+2= x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±，故B、D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设向量=(1，-2)，=(a，-1)，=(-b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 √ 15 解析：=-=(a-1，1)，=-=(-b-1，2)， ∵A，B，C三点共线，∴∥. ∴2(a-1)=-b-1，∴2a+b=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 又a>0，b>0，∴+=(2a+b) =2+2++≥4+2=8， 当且仅当即a=，b=时取等号. 故+的最小值为8，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知A(-1，2)，B(2，8)，C(0，5)，若⊥∥，则点D的坐标是(　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设D(x，y)，则=(x+1，y-2)，=(x-2，y-8)，=(-2，-3). ∵⊥，∴-2(x+1)-3(y-2)=0，即2x+3y=4.∵∥， ∴-3(x-2)=-2(y-8)，即3x-2y=-10. 联立解得 ∴D.故选A. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)已知向量a=(2，1)，b=(1，-1)，c=(m-2，-n)，其中m，n均为正数，且(a-b)∥c，下列说法正确的是 (　　) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b方向上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：∵a=(2，1)，b=(1，-1)， ∴a·b=2-1=1>0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误; ∵a=(2，1)，b=(1，-1)，∴a·b=1，|a|=，|b|=， ∴向量a在b方向上的投影向量为|a|··=b，故B错误; ∵a=(2，1)，b=(1，-1)，∴a-b=(1，2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 又(a-b)∥c，c=(m-2，-n)， ∴-n=2(m-2)，∴2m+n=4，故C正确; ∵2m+n=4，而m，n均为正数， ∴mn=(2m·n)≤=2， 当且仅当2m=n，即m=1，n=2时等号成立， ∴mn的最大值为2，故D正确.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知向量a=(3x-1，4)与b=(1，2)平行，则实数x的值为____.  15 解析：∵向量a=(3x-1，4)与b=(1，2)平行， ∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知向量a=(-2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________________.  15 解析：由b∥a，可设b=λa=(-2λ，3λ).设B(x，y)， 则=(x-1，y-2)=b. 由⇒又B点在坐标轴上， 则1-2λ=0或3λ+2=0，所以B或. 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，则实数x的值为_____.  15 解析：因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以u=a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，v=2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3).又因为u∥v，所以3(2x+1)-4(2-x)=0，解得x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(-2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为__________.  15 解析：由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形. 设D(x，y)，则有=， 即(6，8)-(-2，0)=(8，6)-(x，y)， 解得(x，y)=(0，-2)，即D点的坐标为(0，-2). (0，-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)， B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的 中点，求的坐标，并判断是否平行. 15 解：由已知可得M(2.5，2.5)，N(1.5，0.5)， 所以=(2.5，2.5)，=(-2.5，-2.5). 又2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0，所以平行. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-x，-3-y). (1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件;(5分) 15 解：因为点A，B，C不能构成三角形， 所以A，B，C三点共线，所以∥. 由题意得=(3，1)，=(2-x，1-y)， 所以3(1-y)=2-x，即x-3y+1=0. 所以x，y满足的条件为x-3y+1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若=2，求x，y的值.(5分) 15 解：由题意得=(-x-1，-y)， 由=2得(2-x，1-y)=2(-x-1，-y)， 所以解得 即x，y的值分别为-4，-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知A(1，1)，B(-1，4)，C(a，b)，A，B，C三点共线. (1)求a与b满足的关系式；(5分) 15 解：因为A(1，1)，B(-1，4)，C(a，b)， 所以=(-2，3)，=(a-1，b-1). 因为A，B，C三点共线，则∥， 所以-2(b-1)=3(a-1)，即3a+2b-5=0. 故a与b满足的关系式为3a+2b-5=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若||=2||，求点C的坐标.(5分) 15 解：因为A，B，C三点共线，||=2||，所以=2或=-2. 当=2时，有(a-1，b-1)=2(-2，3)，解得a=-3，b=7； 当=-2时，有(a-1，b-1)=(4，-6)，解得a=5，b=-5. 所以点C的坐标为(-3，7)或(5，-5). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知a=(1，1)，b=(0，-2)，当k为何值时： (1)ka-b与a+b共线；(6分) 解：因为a=(1，1)，b=(0，-2)， 所以ka-b=(k，k)-(0，-2)=(k，k+2)， a+b=(1，1)+(0，-2)=(1，-1). 因为ka-b与a+b共线， 所以k+2-(-k)=0，解得k=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)ka-b与a+b的夹角为120°.(9分) 解：因为ka-b=(k，k+2)，a+b=(1，-1)， 所以|ka-b|=，|a+b|=，(ka-b)·(a+b)=k-(k+2)=-2. 因为ka-b与a+b的夹角为120°， 所以cos 120°===-. 化简得k2+2k-2=0，解得k=-1±. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $