9.3.3 向量平行的坐标表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3.3　向量平行的坐标表示 A层 基础达标练 1.已知向量a=(3,5),b=(cos α,sin α),且a∥b,则tan α=(　　) A. B. C.- D.- 2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2).若a∥b,则a-2b等于(　　) A.(3,-1) B.(2,1) C.(-2,-1) D.(10,5) 3.在直角坐标系xOy中,向量=(1,-1),=(3,m),=(2,3),其中m∈R,若A,B,C三点共线,则实数m的值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 4.(多选题)已知向量a=(1,-2),b=(t,1),若a+b与3a-2b共线,则下列结论正确的是(　　) A.t= B.|b|= C.a·b=- D.a∥b 5.已知向量a=(m,4),b=(1,m),若a与b反向共线,则|a-2b|的值为　　　　.  6.已知向量a=(1,0),b=(1,),则与2a-b共线的单位向量的坐标为　　　　　　　　　. 7.如图,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),求直线AC与BD的交点P的坐标. B层 能力提升练 8.已知向量a=(3,2),b=(x,1-y),且a∥b,若实数x,y均为正数,则的最小值是(　　) A.24 B. C. D.8 9.已知点A(2,1),B(1,m+1),C(m+2,-3),且||·||=,则实数m的值为 (　　) A.± B.±2 C. D.2 10.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述不正确的是(　　) A.存在实数x,使a∥b B.存在实数x,使(a+b)∥a C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b 11.(多选题)下列说法中正确的有(　　) A.若是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上 B.若向量a=(1,3),a-b=(-1,-3),则a∥b C.若平面上不共线的四点O,A,B,C满足-3+2=0,则=2 D.若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是 12.已知向量a=(4,2),b=(λ,1),若a∥b,则λ=　　　　,若a与a-b的夹角是锐角,则实数λ的取值范围为　　　　　　.  13.已知向量=(0,-6),=(8,0),=(1,y),∠ACB为钝角,则||的取值范围为　　　　　　　　. 14.如图,在平面直角坐标系xOy中,||=2||=2,=(-1,),∠OAB=. (1)求点B的坐标; (2)求证:OC∥AB. C层 拓展探究练 15.在平面直角坐标系xOy中,平面向量=(2,0),将绕原点逆时针旋转得到向量-,若A,B,C三点共线,则方向上的投影向量的模是　　　　.  16.如图,四边形ABCD是正方形,E在边AB上运动,F在边BC上运动,AF与DE交于点G.若AE=BF,=m+n,求的最大值. 参考答案 1.B　由a∥b,得5cos α-3sin α=0,则,即tan α=故选B. 2.D　因为向量a=(2,1),b=(x,-2),a∥b,所以x+4=0,解得x=-4,所以b=(-4,-2),所以a-2b=(2,1)-(-8,-4)=(10,5). 3.C　因为=(1,-1),=(3,m),=(2,3), 所以=(2,m+1),=(1,4), 因为A,B,C三点共线,则共线,所以2×4=1×(m+1),则m=7.故选C. 4.BCD　由题意知a+b=(t+1,-1),3a-2b=(3-2t,-8),因为a+b与3a-2b共线,所以-8(t+1)=-(3-2t),所以t=-,故A错误;因为b=,所以|b|=,故B正确;因为a=(1,-2),b=,所以a·b=-+(-2)=-,故C正确;因为a=(1,-2),b=,所以1×1-(-2)=0,所以a∥b,故D正确.故选BCD. 5.4　若a与b反向共线,则有m2=4,解得m=±2.当m=2时,a=(2,4),b=(1,2),a=2b,a与b同向共线,不满足题意,舍去;当m=-2时,a=(-2,4),b=(1,-2),a=-2b,a与b反向共线,此时a-2b=(-4,8),则|a-2b|==4 6　因为a=(1,0),b=(1,), 所以2a-b=(1,-). 设与2a-b共线的单位向量的坐标为(x,y), 则解得 所以与2a-b共线的单位向量的坐标为故答案为 7.解 设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0). 由B,P,D三点共线可得==(5λ,4λ). 又因为=(5λ-4,4λ), 由共线得(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ= 所以,所以P的坐标为 8.D　∵a∥b,∴2x=3(1-y),∴2x+3y=3. =8,当且仅当2x=3y时取等号.故选D. 9.D　由||·||=,得的夹角为180°.由=(-1,m),=(m,-4),,得m2=4,即m=±2.当m=2时,=-2的夹角为180°,满足题意;当m=-2时,=2的夹角为0°,不满足题意,故舍去.综上,实数m的值为2. 10.ABC　A不正确,若a∥b,则x2+9=0,方程无实根;B不正确,若(a+b)∥a,则3(x-3)-x(x+3)=0,方程无实根;C不正确,若(ma+b)∥a,则3(mx-3)-x(3m+x)=0,方程无实根;D正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有(ma+b)∥b.故选ABC. 11.BC　是共线向量,也可能是AB∥CD,故A错误;设b=(x,y),∵a=(1,3),a-b=(-1,-3), 解得b=(2,6),又∵1×6-3×2=0,∴a∥b,故B正确;由已知得()+2()=+2=0,=2,=2,故C正确;由|a|2=(a-b)2整理可得|b|2=2a·b,设a与a+b的夹角是θ,则cos θ=,∴a与a+b的夹角是,故D错误.故选BC. 12.2　(-∞,2)　向量a=(4,2),b=(λ,1),a∥b, 得4×1-2λ=0,得λ=2, 又a-b=(4-λ,1),a与a-b的夹角是锐角, 所以a·(a-b)>0且去掉a与a-b方向相同的情况, 所以a·(a-b)=16-4λ+2=-4λ+18>0, 解出λ<,当a与a-b方向相同时λ=2, 所以λ<且λ≠2.故λ∈(-∞,2) 13　由题意知=(-1,-6-y),=(7,-y), 因为∠ACB为钝角,所以<0且不共线, 由=-7+6y+y2<0,解得-7<y<1. 当时,y=- 因为不共线,所以y≠-, 所以-7<y<1且y≠- 又||=,所以1≤1+y2<50且1+y2, 所以|| 故答案为 14.(1)解 因为∠OAB=,||=1,所以=(cos,sin)=(),则=(2,0)+()=(),所以点B的坐标为(). (2)证明 由题意,得=()+(-1,)=().因为=(),所以=3 又OC,AB不共线,故OC∥AB. 15.2　由题意可得||=2,将OA绕原点逆时针旋转,得-=(-1,),所以=(2,-2). 由A,B,C三点共线,可得=(1-λ)+=(2,-2),λ≠0,λ≠1,故方向上的投影向量的模为=2.故答案为2. 16.解 因为A,G,F三点共线,且=m+n, 所以m>0,n>0,m+n=1. 设正方形的边长为1,AE=BF=x(0≤x≤1),以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(1,1),C(1,0),D(0,0),E(x,1),F(1,1-x), 所以=(0,1),=(1,1-x),=(x,1), 则=m+n=(n,m+n-nx)=(n,1-nx), 又因为,则n=x-nx2, 所以n=,m=1-n=, 则 若x=0,则=0; 若x∈(0,1],则=1,当且仅当x=,即x=1时,等号成立. 综上所述,的最大值为1. 6 学科网（北京）股份有限公司 $