9.3.1 平面向量基本定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.1 平面向量基本定理 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，理解基底、正交分解的概念. 2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内两个_______________ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=___________ 基底 把_____________的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底 不共线的向量 λ1e1+λ2e2 两个不共线 2.正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式.我们称__________为向量a的分解.当e1，e2所在直线__________时，这种分解也称为向量a的正交分解. λ1e1+λ2e2 互相垂直 |微|点|助|解| 1.平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 2.基底的性质 (1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底. (2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底. (　　) (2)平面向量的基底不是唯一的. (　　) (3)零向量不可作为基底中的向量. (　　) × √ √ 2.设O为平行四边形ABCD的对称中心，=4e1，=6e2，则2e1-3e2等于(　　) A. B. C. D. 解析：如图，==(-)=2e1-3e2. √ 3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________.  4e1+3e2 4.向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值为______.  3 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　对基底的理解 [例1]　(多选)设e1，e2是两个不共线的向量，则下列四组向量中，能作为平面向量的一组基底的是 (　　) A.e1+e2和e1-e2 B.e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D.e2和e2+e1 √ √ √ 解析：e1+e2和e1-e2没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2)，二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基底;e2和e2+e1不共线，可作为平面向量的一组基底. |思|维|建|模| 判断所给的两个向量能否作为一组基底的方法 　　由基底的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基底只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a=λb成立.另外，作为一组基底的向量必为非零向量. 针对训练 1.设e1，e2是平面内一组基底，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则向量e1+e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1+e2=____a+____b.  解析：由题意，设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理，得所以 　 - 2.已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，若a，b能作为一组基底，则实数λ的取值范围为__________________.  解析：若a，b能作为一组基底，则向量a，b不共线. 由题可知，若向量a，b共线，则有λ=4， 故当向量a，b不共线时，λ≠4， 即实数λ的取值范围是(-∞，4)∪(4，+∞). (-∞，4)∪(4，+∞) 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使== =，若=a，=b，试用a，b将表示出来. 解：如图，=- =--=--(-) =-=b-a. =-=- =a-b. =-=-(+)=a+b. |思|维|建|模| 　　平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解. 针对训练 3.在△ABC中，=a，=b，=，则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析：∵=a，=b，∴=-=b-a.又=，∴=+=a+=a+(b-a)=a+b.故选B. √ 4.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若= λ+μ，则λ+μ等于(　　) A.- B. C.1 D.-1 解析：由平面向量基本定理，得=+=+=-+(+) =-，所以λ=，μ=-，即λ+μ=-，故选A. √ 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且=，设=a，=b. (1)试用基底a，b表示; 解：=+=+=+=a+b; =+=+=+=a+b; =+=-+=-+a+b=a-b. (2)若G为长方形ABCD内部一点，且=a+b，求证：E，G，F三点共线. 解：证明：由(1)知=a+b，=a+b，设=λ+μ， 则a+b=λ+μ=a+b， 即解得故=++=1， 故E，G，F三点共线. |思|维|建|模| 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底; (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解; (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 针对训练 5.平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB， OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别 为L，M，N，设=a，=b，=c. (1)试用a，b，c表示向量; 解：如题图，∵=a，=(b+c)， ∴=-=(b+c-a). 同理，=(a+c-b)，=(a+b-c). (2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分. 解：证明：设线段EL的中点为P1，则=(+)=(a+b+c). 设FM，GN的中点分别为P2，P3， 同理可求得=(a+b+c)，=(a+b+c). ∴==，∴P1，P2，P3三点重合. 即线段EL，FM，GN交于一点且互相平分. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.如图，向量a-b等于 (　　) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 √ 15 解析：不妨令a=，b=，则a-b=-=.由平行四边形法则可知=e1-3e2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是 (　　) A.a=0，b=e1-e2 B.a=3e1-3e2，b=e1-e2 C.a=e1-2e2，b=e1+2e2 D.a=e1-2e2，b=2e1-4e2 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基底.对于B，因为a=3e1-3e2，b=e1-e2，所以a=3b.所以这两个向量不可以作为基底.对于C，设a=λb，即e1-2e2=λ(e1+2e2)，则 无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基底.对于D，因为a= e1-2e2，b=2e1-4e2，所以a=b.所以这两个向量不可以作为基底.故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图，点D，E分别为AC，BC的中点，设=a，=b，F是DE的中点，则=(　　) A.a+b B.-a+b C.a+b D.-a+b √ 15 解析：=+=+=+=a+b.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1+(10-y)e2 =(4y-7)e1+2xe2，则实数y的值为 (　　) A.3 B.4 C.- D.- √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2， 所以(3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0. 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底， 所以解得 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BAD=60°，点E是BC的中点，=2，则·=(　　) A.-6 B.-2 C.2 D.6 √ 15 解析：∵=+=+=+=+=+ =-=-，∴·=·= -+·+=-×32+×3×4×cos 60°+×42=6.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD =2DC，E为BC边上一点，且=3，F为AE的中点，则(　　) A.=-+ B.=+ C.=-+ D.=+ √ 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：∵AB∥CD，AB=2DC，∴=++=-++= -+，A正确.∵=3，∴==-+. ∴=+=+=+.又F为AE的中点，∴==+，B正确.∴=+=-++=- +，C正确.∴=+=-=-+-= --，D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图，在△ABC中，∠BAC==2，P为CD上一点，且满足=m+(m∈R)，若AC=3，AB=4，则·的值为(　　) A.-3 B.- C. D.- 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：∵=m+=2，即=， 且=+，∴=m+. 又C，P，D共线，则m+=1，即m=，即=+.而=+， ∴=(+)+=+=-. ∴·=·=-·-=-2-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在△ABC中，点M，N满足 =2=.若=x+ y，则x=______;y=_________.  15 解析：由题中条件得=+=+= +(-)=-=x+y，所以x=，y=-. 　 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图，在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分 点，E为AD的中点，若=x+y，则x=______.  15 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以=+.又E为AD的中点，所以=-=-=-+.所以x=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点.若DC=3DF，设=a，=b，则=________.  15 解析：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD 交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF， ∴==(-)=(-)，=-=+.则=+=+(-)=+=a+b. a+b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足=+，则△ABM与△ABC的面积之比为______.  15 1∶4 解析：如图，由=+可知M，B，C三点共线， 令=λ，则=+=+λ=+λ(-)= (1-λ)·+λ⇒λ=，所以=，即面积之比为1∶4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底;(2分) 15 解：证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb，则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1，e2不共线，得⇒ ∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)以a，b为基底，求向量c=3e1-e2的分解式;(4分) 15 解：设c=ma+nb(m，n∈R)，则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1 +(-2m+3n)e2. ∵e1与e2不共线，∴解得∴c=2a+b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)若4e1-3e2=λa+μb，求λ，μ的值.(4分) 15 解：由4e1-3e2=λa+μb，得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+ (-2λ+3μ)e2. ∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在△ABC中，D，F分别是边BC， AC的中点，且==a，=b.求证： B，E，F三点共线. 15 证明：因为在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点， 所以==(a+b)，==(a+b). 所以=-=(a+b)-a=(b-2a). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 因为==b， 所以=-=b-a=(b-2a). 所以=.所以∥. 又与有公共点B， 所以B，E，F三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是 BD的中点，设=a，=c. (1)用a，c表示向量;(5分) 15 解：因为=-=c-a，所以==(c-a). 所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若点F在AC上，且=a+c，求AF∶CF.(5分) 15 解：设=λ，所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc. 又=a+c，所以λ=.所以=.所以AF∶CF=4∶1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图，在菱形ABCD中，==2. (1)若=x+y，求3x+2y的值;(5分) 解：因为在菱形ABCD中，==2. 所以=+=-， 故x=-，y=.所以3x+2y=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若||=6，∠BAD=60°，求·.(10分) 解：显然=+， 所以·=(+)· =-+-·　①. 因为四边形ABCD为菱形，且||=6，∠BAD=60°， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以||=6，<>=60°. 所以·=6×6×cos 60°=18. 故①式=-×62+×62-×18=-9. 故·=-9. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $