9.3.1平面向量基本定理 学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版必修第二册

§9.3.1平面向量基本定理

学习目标

1、理解平面向量基本定理及其意义；

2、在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量。

任务一 问题情境

情境：我们知道，设是非零向量，对于任意实数，是与共线的向量.反过来，对于任一与共线的向量，存在唯一的实数，使.

     如图，设是平面内两个不共线的向量，对于任意实数，根据向量的运算法则，我们很容易作出平面内的一个新的向量.反过来，

问题1 对于平面内的任一向量，是否存在实数，使成立呢？

 

 

     

 

 

任务二 知识梳理

1、平面向量基本定理(向量共面定理)

如果，是同一平面内两个       的向量，那么对于这一平面内的任一向量，           有且只有一对实数λ1，λ2，使。

其中不共线的向量，叫作这个平面内的一组        。

2、向量的分解

   由平面向量基本定理可知，平面内任一向量可以用一组基底，表示成的形式，我们称为向量的分解。

当，所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的      分解。

任务三 数学运用

例1、如果，是平面内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1)若λ，μ满足，则λ＝μ＝0；

(2)对于平面内任意一个向量，使得成立的实数λ，μ有无数对；

(3)线性组合可以表示平面内的所有向量；

(4)当λ，μ取不同的值时，向量可能表示同一向量。

变式：设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)

(A)和               (B)和

(C)和           (D)和

例2、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和。