9.3.2.1 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第1课时　 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 第9章　9.3.2　向量坐标表示与运算 学习目标 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算. 我们知道，在平面直角坐标系内，任意一点P都可以用有序实数对(x，y)来表示，而点P唯一对应着以原点O为起点，P为终点的向量 ，那么，平面内的任意一个向量a也能用一对有序实数来表示吗？ 导语 内容索引 一、向量的坐标表示 二、向量线性运算的坐标表示 课时对点练 三、向量坐标运算的应用 随堂演练 向量的坐标表示 一 问题1　如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用i，j表示成什么？a的坐标如何表示？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.a＝(x，y). 1.向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个 i，j作为基底.对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝ .特殊向量的坐标i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 单位向量 (x，y) 知识梳理 7 2.点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 知识梳理 8 注意点： (1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，与向量的具体位置无关. (2)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y). 知识梳理 9 设点A(x，y)， 10 求点和向量坐标的方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)求一个向量的坐标，可以把向量起点放在坐标原点，则向量终点的坐标即为该向量的坐标. 反思感悟 11 跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出a，b，c的坐标. 12 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 13 14 二 向量线性运算的坐标表示 问题2　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题3　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求 的坐标？ 1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ   数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa＝___________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 (λx1，λy1) 知识梳理 18 注意点： (1)相应坐标相加减. (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. 知识梳理 19 例2　(1)已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： ①2a＋3b； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). ②a－3b； a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). 20 21 (2,0) 22 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 反思感悟 23 跟踪训练2　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于 A.(－23，－12) B.(23,12) C.(7,0) D.(－7,0) √ ∵3a－2b＋c＝0， ∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12). 24 25 三 向量坐标运算的应用 设P(x，y). 得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)， 延伸探究　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ，求点G的坐标. 30 ∵D是AB的中点， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 31 (1)坐标形式下向量相等的条件及其应用 ①条件：相等向量的对应坐标相等. ②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 反思感悟 32 反思感悟 33 方法一　设点P的坐标为(x，y)， ∵点P在线段P1P2上， 35 36 1.知识清单： (1)向量的坐标表示. (2)向量加、减、数乘运算的坐标表示. (3)向量坐标运算的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：混淆点的坐标与向量的坐标致错. 课堂小结 随堂演练 四 A.点A的坐标是(－2,4) B.点B的坐标是(－2,4) C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(－2,4) D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(－2,4) 由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标是(－2,4). 1 2 3 4 √ A.(－1，2) B.(1，－2) C.(－1，－2) D.(1，2) 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 (5，－1) 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.(2,0) B.(3,3) C.(1,3) D.(3,4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点A(1,1)，B(2,4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. (1，－2) B. (7，6) C. (5，0) D. (11，8) √ 3.(多选)下面说法中正确的有 A.相等向量的对应坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A，B，D都正确. √ √ √ A.(0,2) B.(0，－2) C.(2,0) D.(－2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于 A.3a－b B.3a＋b C.－a＋3b D.a＋3b 设c＝xa＋yb， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－8，－8) (1，2) 8.已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______. ∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －3 ∴m－n＝2－5＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若点P在第一、三象限的角平分线上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)点P在第三象限内. ∴λ<－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则第四点的坐标可能为 A.(2，2) B.(4，6) C.(－6，0) D.(4，－6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 设第四点的坐标为D(x，y)，当平行四边形为ABCD时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当平行四边形为ACDB时， 当平行四边形为ACBD时， 故第四点的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2,2) 设点P的坐标为(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N等于 A.{(1,1)} B.{(1,2)，(－2，－2)} C.{(－2，－2)} D.∅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 易知a∈M∩N，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)， 即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a＝(－2，－2). ∴M∩N＝{(－2，－2)}. (1)当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若点P在x轴上，则2＋3t＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若点P在y轴上，则1＋3t＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 若四边形OABP为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故四边形OABP不能为平行四边形. y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3， 即A(－3，3)，所以＝(－3，3). 则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3， 例1　已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为____________. (－3，3) b2＝|b|sin 120°＝3×＝； 则a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝； b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2. 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2). 提示　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. ③a－b. a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝. 所以解得所以N(2,0). (2)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为________. ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6). 设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6). 又＝(－8,1)，故由＝， 得∴ ∴P. (2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点的坐标为____________. 设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋2)， 例3　直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ(λ≠－1)，λ叫作点P分有向线段所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P分有向线段所成的比为λ(λ≠－1)， 求点P的坐标. 则＝(x－x1，y－y1)，＝(x2－x，y2－y)， 由＝λ， 于是 所以点P的坐标为. 因为λ≠－1，所以 ＝2 x＝＝，y＝＝， 即点G的坐标为. ∴点D的坐标为， ∵＝2，∴＝2， (2)用有向线段定比分点的坐标公式(λ≠－1)，可以求解有向线段定比分点的坐标及定点分有向线段所成的比. 跟踪训练3　已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则点P的坐标为__________. ∴点P的坐标为. ∴由||＝||，可得＝. 又∵＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x，3－y)， ∴解得 ∴点P的坐标为. 方法二　∵点P在线段P1P2上，且||＝||， ∴＝， 由线段定比分点的坐标公式可得 1.已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是 a－b＝(1，1)－(1，－1)＝＝(－1，2). 2.已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b等于 3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为 A. B. C.(3,2) D.(1,3) 解得∴D. 设D点坐标为(x，y)，则＝(4,3)，＝(x，y－2)， 由＝2，得 则点P的坐标为＝(5，－1). 由已知得＝2.由有向线段定比分点坐标公式知λ＝2. 4.已知点O(0,0)，向量＝(3,3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点且靠近点B，则点P的坐标为________. 1.已知点A(1,1)，B(2,4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是 ∴＝(1，3)， 将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化， ∴＝＝(1，3). 因为＝(4，2)，＝(3，4)， 2.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是 所以2＋＝(11，8). 设C(x，y)，则＝(x－2，y－1)， 4.已知两点A(2,1)，B(－2,3)，且＝，则点C的坐标为 又＝(－4,2)，＝， ∴∴∴C(0,2). 则解得∴c＝3a－b. 6.如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是 A. B. C.(－1，) D. 如图所示，设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)， 则x＝||·cos(120°＋30°)＝－， y＝||sin(120°＋30°)＝， 由此可知B点坐标为， 故的坐标是. ＝(－3，－2)－(5，6)＝(－8，－8)， 7.已知点A(－3，－2)，B(5，6)，则＝___________，线段AB的中点坐标为________. 线段AB的中点坐标为，即(1，2). ∴∴ 9.已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标. ∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)， (－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)， 由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)， ＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6). ∵＝，＝－， 则有和 解得和 ∴＝(－2，－4). 10.已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上； 则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵＝＋，且与不共线， ∴解得 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. 若点P在第三象限内，则 11.已知两点A(4,1)，B(7，－3)，||＝5，则与向量同向的单位向量是 A. B. C. D. 因为与同向的单位向量为， 又＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，||＝5， 所以＝. 由＝(1,2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2,2). 由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6). 由＝(5,3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6,0). 13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2).若＋＋＝0，则的坐标为________. 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y). 所以解得 所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2). 14.已知A，B(1,4)，＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝___________. 或－ 由题意得＝＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－，cos β＝. 又∵α，β∈，∴α＝－，β＝或－， ∴α＋β＝或－. ∴解得 16.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t. ＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， ∴t＝－. ∴t＝－. 若点P在第二象限，则 ∴－<t<－. ＝(1,2)，＝－＝(3－3t，3－3t). 则＝， ∴该方程组无解. $$