精品解析：河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期一模检测数学试题（二）

2025-2026学年高三下学期一模检测（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 3. 已知定义在上的函数满足：①；②当 时，；③的图象关于点对称．当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求出，结合函数单调性的定义判断的单调性，根据对称性将所求不等式变形，求得答案. 【详解】由， 令 ，得，即； 设，且，令，， ，即， ，，又当 时，，故， 所以，即， 所以函数是 上的增函数； 又的图象关于点对称，所以，得； 当时，，即， ，即， 所以，，即，， ，得 ， 所以的取值范围为. 4. 如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得， 故选：A. 5. 如图，双曲线 的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，若成等差数列，且，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用双曲线定义表示出，再由等差数列条件建立边长关系，最后在中用余弦定理列方程，求出与的比例，得到离心率. 【详解】设，则，即. 因为成等差数列，所以 代入得：，解得，则. 所以， 在中， 即 化简可得：. 所以，，，，. 因为，所以， 所以. 所以 求得：， 所以. 故选：C. 6. 定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②．设为下凹数列的前 项和，已知，，若，则 的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】根据下凹数列的定义，，，，且相邻项的差  严格递增， 可得 ，且 ， 为使前   项和  尽可能小，应取最小的正整数差， 即 ，，，…，以此类推，即. ，， ，， 上面所有式子累加法得：， 前   项和  为： ， ， 由，， ，满足  的最大   为 8. 7. 已知椭圆C：．， ，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设 ，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点 是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 8. 已知是公比不为1的等比数列的前 项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是公比不为1的等比数列的前 项和，所以若成等差数列，则， 从而，结合 化简得， 若成等差数列，则，即，所以， 故当时，有， 即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”； 反之，满足不一定是，如，， ， 满足，但不满足， 即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”； 所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线E与坐标轴没有交点 B. y随着x增大而减小 C. 直线与曲线E有且仅有2个交点 D. 是曲线E上任意一点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出曲线的图象可判断AB；根据双曲线的性质以及直线过点，可判断C；将问题转化为求的取值范围，设直线与曲线在第一象限相切，求出，再计算平行直线间距离即可判断D. 【详解】若，则 ；若，则； 若，则， 则曲线的图象如图： 可知点，在曲线上，故A错误； y随着x增大而减小，故B正确； 因为 是曲线在第二、四象限的图象的渐近线，且直线与渐近线平行，直线过点，， 所以直线与曲线E有且仅有2个交点，即，，故C正确； ，则表示点到直线的距离的倍， 由图可知，当点位于第一象限时，能够取到最大值， 设直线与曲线在第一象限相切， 联立，得， 则，得， 又与之间的距离为， 所以的最大值为， 因为是曲线在第二、四象限的图象的渐近线， 则的取值范围为，故D正确. 10. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 当 时，取得最小值 D. 若，则n的最小值为11 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据等差数列基本量的运算求解即可；对B，求出通项公式判断即可；对C，求解判断即可；对D，令求解即可. 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 所以当时，取到最小值 ，故C错误； 对于D，令，即，解得或 ， 因为，所以使的n的最小值为11，故D正确. 故选：BD. 11. 已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（ ， ），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有4个不等的实根，则 D. 当时，若的两实根为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出，即可判断A选项；利用导数求出函数的单调性即可判断B选项；利用为偶函数，结合函数的单调性即可判断C选项；利用对数均值不等式即可判断D选项. 【详解】由题意知，，故即， 且，故， 对于A，，故A正确； 对于B，故在上，单调递增； 在和上，单调递减； 故且故，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 则有4个不等的实根，即，有2个不等的实根， 且在和上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C错误； 对于D，由的单调性可知，当时，若的两实根为，， 则， 且，故， 引入不等式， 证明过程如下：不妨设， 因为 ， 设，，则问题转化为：，． 令， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增；所以， 故，成立，所以． 故， 故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为， 则． 故答案为： 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以 ，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 14. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，根据条件得到，，，故，其中，，则或2，当时，，，，分，和，，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案. 【详解】事件，事件，故， 又，故，即， 因为，， 所以，故，即， 又，， 故，所以， 即，所以，故， 其中，，则或2， 若，则， 又，故， ，故， 若，，可令或或或； 若，，可令或或或， 事件，事件 若，则，此时， 此时，故，不合要求，舍去， 综上，满足条件的事件的个数为8. 故答案为：8 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为： . 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 16. 已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为． （1）求函数的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可； （2）分离参数得， ，利用基本不等式求出右边最值即可. 【小问1详解】 令 ，则为方程的两根，则， 则由题有，解得， . 【小问2详解】 由（1）得对，， 即，，， ， 令， ，则， 当且仅当，即 时等号成立， 故，则. 17. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】（1） 取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又因为 平面 ，所以； （2） ． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到 平面 ，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面 法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知且平面平面，平面平面 ，平面 ，所以 平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面 法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者 ，所以 ． 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 【答案】（1）分布列如下， 0 1 2 P （2） 【解析】 【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案； （2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解． 【小问1详解】 X的可能取值为0,1,2， 当 时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， 当 时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， 当 时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． 【小问2详解】 两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值. 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 19. 已知双曲线的渐近线方程为 ，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． （1）求； （2）求数列的通项公式，并说明理由； （3）记的面积为，证明：． 【答案】（1） ， ， （2） （3）由（2）知，， 又 ，所以 ， ， ， ， 所以 ， 即为定值， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意求出双曲线的方程为 ，由题意可知 ，根据 及点 在双曲线上，求出，同理求出，代入即可求出答案； （2）由 和 得 ，再根据 ， ，代入联立化简得 ，可得是等比数列，进而得到通项公式； （3）根据及 ，求出，进而得到和坐标，利用三角形面积公式的向量表示求出为定值，即可证明. 【小问1详解】 由题意知双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为 ， 则， 又点 在上，则 ， 联立，解得，则双曲线方程为 ， 由题意得 ，的斜率 ， 则，解得， 同理，由题意得 ，的斜率 ， 则，解得， 因为， 所以 ， ， . 【小问2详解】 因为 ，所以 ，因为 ， 所以 ， 于是，① 由于 ， ， 所以 ．且 ， 两式作差可得 ，② 把①代入②可得，③ 由③+① 得， 即 ， 因为，所以 ， 由（1）知 ，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期一模检测（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知定义在上的函数满足：①；②当 时，；③的图象关于点对称．当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（ ） A. B. C. D. 3 5. 如图，双曲线 的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，若成等差数列，且，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②．设为下凹数列的前项和，已知，，若，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知椭圆C：．， ，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线E与坐标轴没有交点 B. y随着x增大而减小 C. 直线与曲线E有且仅有2个交点 D. 是曲线E上任意一点，则的取值范围为 10. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 当 时，取得最小值 D. 若，则n的最小值为11 11. 已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（ ， ），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有4个不等的实根，则 D. 当时，若的两实根为，，则 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若，则_____． 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 14. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求 ． 16. 已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为． （1）求函数的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 17. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 19. 已知双曲线的渐近线方程为 ，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． （1）求； （2）求数列的通项公式，并说明理由； （3）记的面积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $