4.1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦棱柱、棱锥、棱台的结构特征，从空间几何体定义入手，通过实物模型观察，区分多面体与旋转体，逐步深入三类几何体的概念及分类，构建从一般到特殊的知识支架。 其亮点是“微点助解”辨析易错点，如强调棱锥“各侧面有公共顶点”，培养数学思维；“思维建模”将空间展开图转化为平面问题，发展空间观念。蚂蚁爬行最短路线实例，用展开图求距离，落实逻辑推理。助力学生提升空间想象与推理能力，为教师提供结构化教学资源，便于核心素养落地。

第4章 立体几何初步 4.1 空间的几何体 4.1.1 几类简单几何体 棱柱、棱锥、棱台 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.了解构成空间几何体的基本元素，理解多面体的特点. 2.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述生活中简单物体的结构，并进行有关计算.   CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间几何体 逐点清(二)　棱柱的结构特征 逐点清(三)　棱锥、棱台的结构特征 4 逐点清(四)　空间几何体的平面展开图 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　空间几何体 01 多维理解 1.空间几何体的定义 如果我们只考虑某些物体的______和_____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. 形状 大小 2.多面体和旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 把由若干个______________ (包括三角形)所围成的封闭体，叫作多面体 把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的____________旋转而成的几何体称为旋转体 图形 平面多边形 一条定直线 相关 概念 (1)面：围成多面体的各个_______; (2)棱：两个面的________; (3)顶点：棱和棱的交点 轴：形成旋转面所绕的________ 多边形 公共边 定直线 续表 |微|点|助|解|　 (1)多面体的对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线.例如图中的对角线BD'.并不是所有的多面体都有对角线. (2)多面体的面对角线：围成多面体的面的对角线.例如图中的面对角线AD'. (3)多面体的截面：用一个平面去截一个多面体，平面与多面体的交线是一个封闭的平面多边形，这个多边形就是多面体的截面.例如图中的截面ACE. 微点练明 1.下列实物不能近似看成多面体的是 (　　) A.钻石 B.骰子 C.足球 D.金字塔 √ 解析：钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体.足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体. 2.如图所示，下列判断正确的是 (　　) A.①是多面体，②是旋转体 B.①是旋转体，②是多面体 C.①②都是多面体 D.①②都是旋转体 √ 3.(多选)满足如图所示的几何体，以下说法正确的是 (　　) A.该几何体是一个多面体 B.该几何体有9条棱，5个顶点 C.该几何体有7个面 D.该几何体是旋转体 √ √ 逐点清(二)　棱柱的结构特征 02 多维理解 1.棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面__________，其余各面都是____________，且每相邻两个四边形的公共边都_________，由这些面围成的多面体叫作棱柱 互相平行 平行四边形 互相平行 图示及 相关概念 如图可记作：棱柱ABCDEF⁃A'B'C'D'E'F' 底面(底)：两个互相_______的面 (它们是全等的多边形); 侧面：其余各面(都是平行四边形); 侧棱：相邻两个侧面的________; 顶点：侧棱与底面的_________ 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱等 续表 平行 公共边 公共顶点 2.几种特殊的棱柱 (1)直棱柱：侧面都是矩形的棱柱(如图①③); (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱(如图②④); (3)正棱柱：底面是__________的直棱柱(如图③); (4)底面和侧面都是______的棱柱为长方体，而所有棱长都相等的长方体就是正方体; 正多边形 矩形 (5)平行六面体：两个底面是______________的棱柱(如图④). 平行四边形 微点练明 1.下列说法正确的是 (　　) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.四棱柱的底面一定是平行四边形 C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的各条棱都相等 √ 解析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确;四棱柱的底面是四边形，不一定是平行四边形，所以B不正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确;易知C正确. 2.下列说法正确的是 (　　) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.棱柱的侧棱总与底面垂直 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 √ 解析：选项A、B都不正确，反例如图所示;C不正确，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直.根据棱柱的定义知D正确. 3.已知如图所示的长方体ABCD⁃A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱?为什么? 解：长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗?若是，请指出它们的底面. 解：用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M⁃CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1⁃DCND1. 逐点清(三)　棱锥、棱台的 结构特征 03 多维理解 1.棱锥的结构特征 定义 有一个面是_______，其余各面都是有一个公共顶点的_______，这样的多面体叫作棱锥 图示及 相关概念 如图可记作： 棱锥S⁃ABCDE 侧面：具有_________________的三角形面; 顶点：公共顶点; 侧棱：相邻两个侧面的________; 底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面 多边形 三角形 同一个公共顶点 公共边 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体.如果棱锥的底面是_________，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的_______上，则这样的棱锥称为正棱锥 续表 正多边形 铅垂线 |微|点|助|解|　　 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”.如图所示的几何体便不是棱锥. 2.棱台的结构特征 定义 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与____________平面去截棱锥，___________________之间的这部分多面体叫作棱台 底面平行的 截面和原棱锥底面 图示及 相关概念 如图可记作：棱台 ABCD⁃A'B'C'D' 上底面：______; 下底面：原棱锥的_______; 侧面：其余各面(都是梯形); 侧棱：相邻侧面的公共边; 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台、五棱台等. 由正棱锥截得的棱台称为正棱台 截面 底面 续表 |微|点|助|解|　 (1)正确认识棱台的结构特征 ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形; ②侧面都是梯形; ③侧棱延长线必交于一点. (2)正棱台的结构特征 ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形; ②两底面及平行于底面的截面是相似多边形; ③正棱台的对角面是等腰梯形. 微点练明 1.下列说法正确的有 (　　) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥; ②仅有两个面互相平行的五面体是棱台; ③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 √ 解析：由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错误.三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错误.如图，可知③错误. 2.一个多边形沿垂直于多边形所在平面的方向平移一段距离，且各边长度缩短为原来的，则形成的几何体为(　　) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体 √ 解析：由题意得，平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行，平移后的多边形与原多边形相似，且相对应的顶点的连线能相交于一点，符合棱台的结构特征，故形成的几何体为棱台，故选C. 3.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 √ 解析：一般情况下，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥只有5个面，所以截面形状不可能是六边形，故选D. 4.如图所示，在三棱台A'B'C'⁃ABC中，截去三棱锥A'⁃ABC，则剩余部分是 (　　) A.三棱锥　　　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 √ 解析：由题图知剩余的部分是四棱锥A'⁃BCC'B'. 逐点清(四)　空间几何体的 平面展开图 04 [典例]　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可). 解：平面展开图如图所示， (2)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，BB1=5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长. 解：沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图(1)，以A1B1为轴展开，AC1= ==4. ②如图(2)，以BC为轴展开，AC1= ==3. ③如图(3)，以BB1为轴展开，AC1= =. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为. |思|维|建|模| 1.多面体的展开与折叠 (1)在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图. (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 2.距离最短问题的解题策略 求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题. 针对训练 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体? 解：①为五棱柱;②为五棱锥;③为三棱台. 课时跟踪检测 05 1.下面的几何体中是棱柱的有 (　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 √ 解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行;(2)其余各面是四边形;(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C. 2.某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是 (　　) A.五棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.四棱台 √ 解析：四棱台有8个顶点，不符合题意.其他都是6个顶点. 3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小 角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 (　　) A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 √ 解析：长方体水槽固定底面一边后倾斜，水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义. 4.(多选)下列结论正确的是 (　　) A.正四面体一定是正三棱锥 B.正四棱柱一定是长方体 C.棱柱的侧面一定是平行四边形 D.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 √ √ √ 解析：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A正确;正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B正确;棱柱上、下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C正确;正四棱柱的侧面两两平行，所以D错误. 5.如图，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是 (　　) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② √ 解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C. 6.三棱锥又称四面体，则在四面体ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 解析：在四面体ABCD中，任何一个面(三角形)都可以当作三棱锥的底面，所以在四面体ABCD中，可以当作三棱锥底面的三角形有4个. 7.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少 的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏 拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成 的正多面体.已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为 (　　) A.30 B.20 C.12 D.10 √ 解析：因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用，即1个面对应条棱，所以共有×20=30条棱.所以由顶点数-棱数+面数=2，得顶点数=棱数+2-面数=30+2-20=12. 8.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.三角形或四边形 D.不可能为四边形 √ 解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形. 9.下列说法正确的是 (　　) A.三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 √ 解析：对于A，如图1，三棱锥P⁃ABC的四个面都是直角三角形，故A错误; 对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：三棱柱ABC⁃A1 B1C1被平面A1BC分为两个棱锥，如图2所示，故B正确;对于C，用一个 平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误;对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：四棱锥S⁃ABCD被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误.故选B. 10.(多选)某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四 棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形 面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快 乐”的字样，则在①②③处应依次写上 (　　) A.乐、新、快 B.快、新、乐 C.新、快、乐 D.乐、快、新 √ √ 解析：由题意知，图中四个三角形为四棱锥的侧面.由四棱锥的结构特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③，②年①③，即①②③处可依次写上新、快、乐或快、新、乐. 11.（5分）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为____cm.  12 解析：n棱柱有2n个顶点，于是知此棱柱为五棱柱，共有5条侧棱.又每条侧棱长都相等，且和为60 cm，所以每条侧棱长为12 cm. 12.（5分）顶点最少的一个棱台有___条侧棱.  3 解析：顶点最少的棱台是三棱台，有3条侧棱. 13.（5分）如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm.  解析：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 14.(15分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分 别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使 点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体?（3分） 解：如图，折起后的几何体是三棱锥. (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点?（4分） 解：这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. (3)每个面的三角形面积为多少?（8分） 解：S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $