4.1.2 空间几何体的直观图-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的直观图，核心讲解斜二测画法，涵盖水平放置平面图形及柱、锥、台等空间几何体的直观图画法，衔接三视图知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生逐步掌握作图步骤。 其亮点在于通过典例解析（如正五边形、正六棱柱直观图）、分层练习及规律总结（如面积关系公式），培养直观想象与数学思维，学生能规范作图并理解空间关系，教师可借助自主检测和课时分层高效落实教学目标。

4.1.2　空间几何体的直观图 　 第4章　 4.1　空间的几何体 学习目标 1.了解斜二测画法的概念并掌握用斜二测画法画直观图的步骤. 2.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图，培养直观想象核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　相关概念 1.三视图：观察者从三个不同位置来观察同一个空间几何体而画出的图形. 2.直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体而获得的图形. 点拨　在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 知识梳理 知识点二　斜二测画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 45° 水平面 x'轴或y' 轴的线段 长度不变 一半 点拨　(1)在斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半. (2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出. (3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变. (4)原平面图形的面积与直观图的面积的关系：S原＝2S直或S直＝S原. 知识点三　空间几何体直观图的画法 1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z'轴. 2.画底面：平面x'O'y'表示水平平面，平面y'O'z'和x'O'z'表示竖直平面. 3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. 4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 点拨　(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取.为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示. (2)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长 度比. (3)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上. (4)要先画出底面的直观图，再画出其余各面. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直. (　　) (2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行. (　　) (3)正方形的直观图为平行四边形. (　　) (4)梯形的直观图不是梯形. (　　) 自主检测 × √ √ × 2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A'＝ A.45° B.135° C.45°或135° D.90° √ 在画直观图时，∠A'的两边依然分别平行于x'轴，y'轴，且∠x'O'y'＝45°或135°.故选C. 3.利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的 √ 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C. 4.如图所示的直观图△A'O'B'，其原平面图形的面积为_____. 6 由直观图可知在与其对应的原平面图形△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，所以S△AOB＝OA·OB＝×4×3＝6. 返回 合作探究 返回 探究点一　水平放置的平面图形的直观图的画法 画水平放置的正五边形的直观图. 解：以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. 典例 1 (2)在图(1)中作BG⊥x轴于点G，EH⊥x轴于点H，在坐标系x'O'y'中作O'H'＝OH，O'G'＝OG，O'A'＝OA，O'F'＝OF，过点F'作C'D'∥x'轴，使C'D'＝CD且F'为C'D'的中点. (3)在坐标系x'O'y'中，过点G'作G'B'∥y'轴，且G'B'＝GB，过点H'作H'E'∥y'轴，且H'E'＝HE.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'E'，E'A'，得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE的直观图. 画水平放置的平面图形直观图的关键 1.在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系. 2.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是要确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定. 规律方法 对点练1.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝ 4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画 出它的直观图. 解：第一步：如图①所示，在梯形ABCD中， 以边AB所在直线为x轴，点A为原点， 建立平面直角坐标系xOy； 如图②所示，画出对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°. 第二步：在图①中，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E； 在图②中，在x'轴上取A'B'＝AB＝4 cm，A'E'＝AE＝≈2.598 cm， 过点E'作E'D'∥y'轴，使E'D'＝ED＝×＝0.75 cm， 再过点D'作D'C'∥x'轴，且使D'C'＝DC＝2 cm. 第三步：连接A'D'，B'C'并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他辅助线，如图③所示，则四边形A'B'C'D'就是所要求作的直观图. 探究点二　空间几何体的直观图 画正六棱柱的直观图.(底面边长为2 cm，侧棱长为5 cm) 解：画法：(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°. (2)画底面.根据x'轴、y'轴，画正六边形的直观图ABCDEF，使CF长为 4 cm. 典例 2 (3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z'轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'，FF'都等于侧棱长5 cm. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，F'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图. 画空间几何体的直观图的策略 1.画空间几何体的直观图时，首先按照斜二测画法的规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图. 2.画空间几何体的步骤可简单总结为： 画轴 画底面 画侧棱 成图 规律方法 对点练2.画出一个上、下底面边长分别为2，3，高为3的正三棱台的直观图. 解：(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画下底面.以O为线段中点，在x轴上取线段AB， 使AB＝3， 在y轴上取线段OC，使OC＝.连接BC，CA， 则△ABC为正三棱台的下底面的直观图. (3)画上底面，在z轴上取OO'，使OO'＝3，过点O'作O'x'∥Ox，O'y'∥Oy，建立坐标系x'O'y'， 在x'O'y'中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A'B'C'. (4)连线成图.连接AA'，BB'，CC'，去掉辅助线，将被遮 住的部分画成虚线， 则三棱台ABC-A'B'C'即为要求画的正三棱台的直观图. 探究点三　直观图的还原与计算 已知△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形，那么原△ABC的面积为 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 典例 3 √ 画△ABC的直观图如图(1)所示： 则A'D'＝a.又∠x'O'y'＝45°，所以A'O'＝a.画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A'O'＝a，BC＝B'C'＝a，所以S△ABC＝BC·AO＝a2. 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时扩大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 规律方法 对点练3.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形OABC的面积为3，则O'A'的长为 A.2 B. C. D. √ 因为原平面图形与直观图的面积之比为1∶，设O'A'＝x，则直观图的面积为x＝x2，所以原平面图形OABC的面积为2×x2＝3，得x＝，故选D. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是 A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 √ √ √ 根据斜二测画法知，原来垂直的直线在直观图中未必垂直，因此B错误，A，C，D正确.故选ACD. 2.已知水平放置的平面四边形ABCD，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD的周长为 A.2 B.6 C.4＋2 D.8 √ 由直观图可得原图形，如图， 根据斜二测画法可知，AB＝CD＝1，AC＝2， 在Rt△ABC中， BC＝ ＝ ＝3， 又AD＝BC，所以四边形ABCD的周长为2×3＋2×1＝8，故选D. 3.如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形 的直观图，其中O'A'＝6 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是 ________(填四边形的形状). 菱形 如图所示，在原图形OABC中， 应有OA＝O'A'＝6(cm)， OD＝2O'D'＝2×2＝4(cm)， CD＝C'D'＝2(cm)， 所以OC＝＝ ＝6(cm)， 所以OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC， 故四边形OABC是菱形. 4.用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台. 解：(1)画轴.如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图，即平行四边形ABCD. (3)画上底面.在Oz上截取OO'＝2 cm，过O'分别作平行于轴Ox、轴Oy的轴O'x'、轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图，即平行四边形A'B'C'D'. (4)依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图(2)所示. 返回 课时分层 返回 1.用斜二测画法画平面图形的直观图，下列说法正确的是 A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B.两条相交直线的直观图可能是平行直线 C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 √ 斜二测画法中，平行性不变，相交直线仍相交，故A和B错误，D正确，而直观图中x'轴和y'轴所成的角为45°(或135°)，故C错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图是水平放置的三角形的直观图，D'是A'B'边上的一点且D'A'＝A'B'，A'B'∥y'轴，C'D'∥x'轴，那么C'A'，C'B'，C'D'三条线段对应原图形中的线段CA，CB，CD，以下正确的是 A.最长的是CA，最短的是CB B.最长的是CB，最短的是CA C.最长的是CA，最短的是CD D.最长的是CB，最短的是CD √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为A'B'∥y'轴，C'D'∥x'轴，所以在原图中，AB ⊥CD，AB＝2A'B'，CD＝C'D'，所以CB2＝CD2＋ BD2＝CD2＋(2B'D')2，CA2＝CD2＋AD2＝CD2＋ (2A'D')2，因为D'A'＝A'B'，所以CB＞CA＞CD， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图，边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则图形OABC的面积是 A. B. C. D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由直观图O'A'B'C'画出原图OABC，如图，因为O'B'＝ ，所以OB＝2，OA＝1，则图形OABC的面积是 2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a的等腰直角三角形，则原图形的面积为 A.a2 B.2a2 C.a2 D.a2 √ 因为平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a的等腰直角三角形，所以S'＝a2，则原图形的面积S＝2×a2＝a2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 √ 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，已知△A'B'C'是水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A'B'在x'轴上，B'C'与x'轴垂直，且B'C'＝3，则△ABC的边AB上的高为 A.3 B.6 C.3 D.6 √ 如图，过C'作C'M∥y'轴，交x'轴于M'，则C'M'就是 △ABC的边AB上的高CM的直观图，在△C'M'B'中， C'M'＝＝3，所以CM＝2C'M'＝6，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.△ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置(斜二测画法)的直观图的面积为_______.其直观图的周长为_______. 2＋ 如图所示： △ABC为边长为2 cm的正三角形， 则其水平放置的直观图△A'B'C'的面积为 S△A'B'C'＝S△ABC＝××22＝； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 其直观图△A'B'C'的周长为 L＝A'B'＋B'C'＋C'A' ＝＋ 2＋ ＝＋2＋＝2＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是________.(填序号) ①② 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，有的边的长度会发生变化，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 解：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°， ∠xOz＝90°. (2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底 面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO'， 使OO'＝3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，利用O'x'与O'y'画出底面圆O'，使其直径为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm. (4)成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)如图，正方形A'B'C'D'是水平放置的四边形ABCD的直观图，该正方形A'B'C'D'的边长为4，中心位于坐标原点O'，且A'，C'都在y'轴上，试判断四边形ABCD的形状，并求AC2＋BD2的值. 解：由题意知A'B'＝C'D'＝4，A'C'＝4. 根据斜二测画法，知AB∥CD∥x轴，且AB＝ CD＝4，所以四边形ABCD为平行四边形. 又AC＝2A'C'＝8， 所以AD2＝AC2＋CD2＝(8)2＋42＝144. 又因为在平行四边形中，AC2＋BD2＝2(AD2＋AB2)， 所以AC2＋BD2＝2×(144＋16)＝320. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图形ABC中 A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立 平面直角坐标系xOy，作BC∥x轴，且BC＝B'C'，点D 是BC的中点，作AD∥y轴，即AD⊥BC，且AD＝2A'D'， 连接AB，AC，所以△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AB 的长度大于AD的长度，由图可知BC＝B'C'，AD＝2A'D'，由图观察，A'D'＞B'C'，所以B'C'＜2A'D'，即BC＜AD.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，∠A'B'C'＝45°，D'C'⊥A'D'，A'B'＝A'D'＝1 m，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(≈1.414，结果精确到1元) 解：在直观图中，过A'点作A'E⊥B'C'，垂足为E(图略)， 则在Rt△A'B'E中，A'B'＝1 m，∠A'B'E＝45°， 所以A'E＝B'E＝ m， 又四边形A'EC'D'为矩形，A'D'＝1 m， 所以EC'＝1 m， 所以B'C'＝B'E＋EC'＝(＋1)m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一：由此可得原图形，如图所示，AD＝1 m， AB＝2 m，BC＝(＋1)m，且AD∥BC，AB⊥BC， 所以这块菜地的面积为S＝(AD＋BC)·AB＝×(1＋ 1＋)×2＝(2＋)(m2)， 所以这块菜地所产生的总经济效益是300S＝300×(2＋)≈812(元). 方法二：可得S直观图＝(A'D'＋B'C')·A'E＝×(1＋1＋)×＝(＋)(m2). 又S原图形∶S直观图＝2∶1， 所以S原图形＝(2＋)m2， 所以这块菜地所产生的总经济效益是300×(2＋)≈812(元). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 4.1.2　空间几何体的直观图 返回 $