3.2 复数的四则运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦复数的四则运算及复数范围内方程根问题，通过“逐点清”模块（加减法、乘法与乘方、除法、方程根），结合实数运算法则导入，构建从概念理解到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用“逐点理清式”教学，每个知识点含“多维理解”概念解析与“微点练习”分层训练，例题融入高考真题（如2025全国卷），通过i的周期性、分母有理化等推理过程，培养数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言表达，助力学生系统掌握，方便教师高效教学。

3.2 复数的四则运算 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.结合实数的四则运算法则，熟练掌握复数代数形式的四则运算法则. 2.会应用复数的四则运算法则进行复数的运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　复数的加减法 逐点清(二)　复数的乘法与乘方 逐点清(三)　复数的除法 4 逐点清(四)　复数范围内方程根问题 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　复数的加减法 01 多维理解 1.复数的加法运算及运算律 (1)设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则它们的和是： (a+bi)+(c+di)=_____________. (2)复数加法满足的运算律 ①交换律：z1+z2=______; ②结合律：(z1+z2)+z3=__________. 2.复数的减法公式 (a+bi)-(c+di)=____________. (a+c)+(b+d)i z2+z1 z1+(z2+z3) (a-c)+(b-d)i 微点练明 1.已知复数z1=-i和复数z2=cos 60°+isin 60°，则z1+z2等于(　　) A.1 B.-1 C.-i D.+i √ 解析：因为z2=cos 60°+isin 60°=+i，所以z1+z2=1. 2.复数z1=a+4i，z2=-3+bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为 (　　) A.a=-3，b=-4 B.a=-3，b=4 C.a=3，b=-4 D.a=3，b=4 √ 解析：由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数，z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数， 故解得a=-3，b=-4. 3.已知x∈R，y∈R，(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)，则x=_____，y=____.  6 11 解析：由已知得，x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i，∴ 解得 4.计算：(1)(i2+i)+(1+i); 解：原式=(-1+i)+(1+i)=-1+i+1+i=2i. (2)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); 解：原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i) =(-3+2i)+(1-2i)=-2. (3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i). 解：原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3. 逐点清(二)　复数的乘法与乘方 02 多维理解 1.复数的乘法 (a+bi)(c+di)=________________. 2.复数乘法的运算律 对任何复数z1，z2，z3， (ac-bd)+(bc+ad)i 交换律 z1z2=_____ 结合律 (z1z2)z3=________ 分配律 z1(z2+z3)=_________ z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 3.复数的乘方运算 对任何复数z，z1，z2及正整数m，n，有：zmzn=_______，(zm)n=____，(z1z2)n=_______.规定i0=____. 4.in(n∈Z)的周期性 一般地，如果n∈Z，那么我们有：i4n+1=___，i4n+2=___，i4n+3=___，i4n=___. zmn 1 i -1 -i 1 微点练明 √ 2.已知i为虚数单位，若实数a使得ai+a2(i2 024+1)-1为纯虚数，则a= (　　) A.- B. C.± D.1 √ 解析：因为i2 024=i506×4=i4=1，所以原式=ai+a2(1+1)-1=ai+2a2-1为纯虚数.所以解得a=±. 3.(2023·全国甲卷)a∈R，(a+i)(1-ai)=2，则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 解析：∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2， ∴2a=2且1-a2=0，解得a=1，故选C. 4.计算： (1)[(5-4i)+(1+3i)](5+2i); 解：原式=(6-i)(5+2i)=30+12i-5i-2i2=32+7i. (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i); 解：原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i. (3)i+2i2+3i3+…+2 024i2 024+2 025i2 025; 解：原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(2 021i-2 022-2 023i +2 024)+2 025i=506(2-2i)+2 025i=1 012+1 013i. (4). 解：因为=+i+i2=+i， 所以==·= ==i2-=-1. 因为== =-i2=1， 所以==1. 所以=-1×1=-1. 逐点清(三)　复数的除法 03 多维理解 对任意两个复数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)，有= _____________. +i |微|点|助|解|　 (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简. (2)复数除法的一般做法：通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简. (3)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i. 微点练明 √ 2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位)，则z= (　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i √ 解析：∵z(2-i)=11+7i， ∴z====3+5i. 3.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　) A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 √ 解析：z=+bi=+bi=+i.由题意知，=--b，则3a+5b=0. 4.计算：(1)(1-i)2--4i2 023; 解：原式=-2i-+4i =-2i-+4i=-2i-2i+4i=0. (2); 解：法一：===-2+i. 法二：=====-2+i. (3)+-. 解：原式=[(1+i)2]3·+[(1-i)2]3·-=(2i)3·i+(-2i)3·(-i) -=8+8-16-16i=-16i. 逐点清(四)　复数范围内 方程根问题 04 [典例]　在复数范围内解方程x2+4x+6=0. 解：法一：因为x2+4x+6=0， 所以(x+2)2=-2， 因为(i)2=(-i)2=-2， 所以x+2=i或x+2=-i， 即x=-2+i或x=-2-i， 所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. 法二：由x2+4x+6=0知Δ=42-4×6=-8<0， 所以方程x2+4x+6=0无实数根. 在复数范围内，设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0， 所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0， 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0， 所以又因为b≠0， 所以 解得a=-2，b=±.所以x=-2±i， 即方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. |思|维|建|模| 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法： (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x=. ②当Δ<0时，x=. (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 针对训练 1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为_________.  解析：因为Δ=32-4×2×4=-23<0， 所以方程2x2+3x+4=0的根为 x==. 2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值; 解：∵1+i是方程x2+bx+c=0的根， ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0.∴解得 (2)试判断1-i是不是方程的根. 解：由(1)知方程为x2-2x+2=0，把1-i代入方程左边，得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0，显然方程成立，∴1-i也是方程的一个根. 课时跟踪检测 05 1.若复数z1=1+i，z2=3-2i，则z1+z2= (　　) A.4-i B.2+2i C.2+i D.4 √ 解析：z1+z2=(1+i)+(3-2i)=4-i. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i，则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i √ 解析：因为==1+=1+i，所以z=1+=1-i.故选C. 3.(1-i)(1+i)=(　　) A.1+i B.-1+i C.+i D.-+i √ 解析： (1-i)(1+i) =(1-i)(1+i) =(1-i2)=2 =-1+i. 4.复数z=，则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i √ 解析：因为z2==-1，所以ω=-1+1-1+1-1=-1. 5.设i为虚数单位，a∈R，若(1+i)(1+ai)为纯虚数，则a的值为 (　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 √ 解析：因为(1+i)(1+ai)=(1-a)+(1+a)i为纯虚数，所以1-a=0，且1+a≠0，解得a=1. 6.已知z1=1+2i，z2=m+(m-1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为 (　　) A.- B.1 C.- D. √ 解析：z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=m+(m-1)i+2mi-2(m-1)=2-m+(3m-1)i， 由已知可得2-m=3m-1>0，解得m=. 7.若集合A={i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B={1，-1}，则A∩B等于 (　　) A.{-1} B.{1} C.{1，-1} D.∅ √ 解析：∵A={i，i2，i3，i4}={i，-1，-i，1}，B={1，-1}，∴A∩B={i，-1，-i，1}∩{1，-1}={1，-1}. 8.定义：若z2=a+bi(a，b∈R)，则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义，复数9-40i的平方根为 (　　) A.3-4i，-3+4i B.4+3i，4-3i C.5-4i，-5+4i D.4-5i，-4+5i √ 解析：设复数9-40i的平方根为x+yi(x，y∈R)，则(x+yi)2=9-40i，化简得x2-y2+2xyi=9-40i，所以x2-y2=9，2xy=-40，解得x=5，y=-4或x=-5，y=4，即复数9-40i的平方根为5-4i或-5+4i. 9.若关于x的实系数方程x2-x+a=0有一个复数根是-i，则另一个复数根是(　　) A.+i B.-+i C.--i D.无法确定 √ 解析：若关于x的实系数方程有两个复数根z1，z2，则z1+z2=-=1，故该方程的另一个复数根是+i. 10.复数z满足i2 026z=，则复数z=(　　) A.+i B.-i C.-+i D.--i √ 解析：由i2=-1，i4=1可得i2 026=i4×506+2=·i2=-1，则-z= =+i，所以z=--i. 11.若虚数a-i(a∈R)是方程x2+2x+b=0的一个根，则实数a，b的值分别为 (　　) A.1，2 B.-1，2 C.1，-2 D.-1，-2 √ 解析：关于x的方程x2+2x+b=0有一个根为a-i(a∈R，i为虚数单位)，则a+i也是此方程的一个根.所以a+i+a-i=-2，(a+i)(a-i)=b，解得a=-1，b=2. 12.(多选)已知集合M={m|m=in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是 (　　) A.(1-i)(1+i) B. C. D.(1-i)2 √ √ 解析：M={m|m=in，n∈ N}中，n=4k(k∈N)时，in=1;n=4k+1(k∈N)时， in=i;n=4k+2(k∈N)时，in=-1;n=4k+3(k∈N)时，in=-i，∴M={-1，1，i，-i}. 选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M;选项B中，==-i∈M;选项C中，==i∈M;选项D中，(1-i)2=-2i∉M. 13.（5分）若复数z=1-2i(i为虚数单位)，则z2+z的实部是_____.  -2 解析：∵z=1-2i，∴z2=-3-4i.∴z2+z=-3-4i+1-2i=-2-6i.∴z2+z的实部是-2. 14. （5分）已知z1=a+(a+1)i，z2=-3b+(b+2)i(a，b∈R)，若z1-z2=4，则a+b=____.   3 解析：∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2) i]=+(a-b-1)i=4， 由复数相等的条件知 解得∴a+b=3. 15.（5分）若复数z=-3+(a-2)i(a∈R)为实数，则的值为_______.  解析：因为复数z=-3+(a-2)i(a∈R)为实数，所以a-2=0，解得a=2. 又i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，且2 027=4×506+3，所以i2 027=i4×506+3=-i. 所以====. 16.(5分)若关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0有实数根，则锐角θ=_____.  解析：由x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0，得x2-xtan θ-2-(x+1)i=0.若关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0有实数根， 则解得则锐角θ=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 1．(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 解析：(1＋5i)i＝i＋5i2＝i－5，故虚部为1. 1．(2025·全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：＝＝＝－i. $