3.3 复数的几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第3章 复数 3.3 复数的几何意义 若以数轴原点为起点，将方向为数轴的正方向、长度等于单位长度的向量记为e，则每个实数a都可用平行于数轴的向量=ae来表示. 问题2：复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？ 问题1：实数与数轴上的点有何关系？ 每个实数a均与数轴上的点一一对应，实数可以用数轴上的点来表示. 实数的几何意义 复数的几何意义 根据复数相等的定义，任何一个复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），都可以由一个有序实数对（ a ， b ）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数 z ＝ a ＋ b i与有序实数对（ a ， b ）是一一对应的. 有序实数对（ a ， b ）与平面直角坐标系中的点是一一对应的 如图，点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）可用点 Z （ a ， b ）表示. 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 按上述方式与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系. 复数 z ＝ a ＋ b i 复平面内的点 Z （ a ， b ） 如图，数1用沿x轴正方向的单位向量表示，数i用沿y轴正方向的单位向量表示. 想一想：类比实数，你认为复数是否可以借助平面向量来表示呢？ 每个实数a都可用平行于数轴的向量=ae来表示. 设复平面上的向量的坐标为(a，b)，则，将这个表达式中的分别换成1，i，就得到所对应的复数为. 要点归纳 复数的几何意义 Z(a,b) 例1 在复平面内，若复数 z ＝（ m 2－ m －2）＋（ m 2－3 m ＋2）i对应的点，请 分别求出满足以下条件的实数 m 的取值范围. （1）在第二象限； （2）在直线 y ＝ x 上. 解：（1）由题意得 ∴ ∴－1＜ m ＜1. ∴ m 的取值范围是{ m ｜－1＜ m ＜1}. （2）由已知得 m 2－ m －2＝ m 2－3 m ＋2，解得 m ＝2. 实部 虚部 满足这些点的坐标需满足什么条件呢？ x y O 例2 已知在复平面内， A ， B ， C 三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. （1）先描出 A ， B ， C 三点，再求出 向量 ， ， 对应的复数； A B C [解]　（1）由复数的几何意义，知 ＝（1，0）， ＝（2，1）， ＝（－1，2）， ∴ ＝ － ＝（1，1）， ＝ － ＝（－2，2）， ＝ － ＝（－3，1）， ∴ ， ， 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i. （2）∵｜ ｜＝ ， ｜ ｜＝2 ， ｜ ｜＝ ， ∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2， ∴△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. 例2 已知在复平面内， A ， B ， C 三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. （2）判断△ ABC 的形状. ， ， 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i. x y O A B C 发现：复数模的 计算转化为向量 模的计算. 复数的模 对任意复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），将它在复平面上所对应的向量的模 称为复数 z 的模，也称为 z 的绝对值，记作｜ z ｜. 　 复数模的几何意义 ｜ z ｜＝｜ ｜，即点 Z （ a ， b ）到原点 O 的距离. 一般地，｜ z 1－ z 2｜为复平面上点 Z 1到 Z 2的距离. 　　想一想：当复数z是实数时，用这个公式算出的|z|是否与以前熟悉的绝对值一致？ 如果 b ＝0，那么 z ＝ a ＋ b i是一个实数 a ，它的模等于｜ a ｜（ a 的绝对值）.由模的定义，可知｜ z ｜＝｜ ｜＝｜ a ＋ b i｜＝ ⁠. 例3 已知复数 z 1＝ ＋i， z 2＝－ ＋ i. （1）求｜ z 1｜及｜ z 2｜并比较大小； [解]　（1）｜ z 1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2， ｜ z 2｜＝ ＝1. ∴｜ z 1｜＞｜ z 2｜. （2）设 z ∈C，满足条件｜ z 2｜≤｜ z ｜≤｜ z 1｜的点 Z 的轨迹是什么图形？ [解]　（2）由｜ z 2｜≤｜ z ｜≤｜ z 1｜及（1）知1≤｜ z ｜≤2. 因此，所求的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环， 并包括圆环的边界（如图）. 1.若复数 z 满足｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，则复数 z 对应的点 Z 的轨迹是 （　　） A. 2个点 B. 1个圆 C. 2个圆 D. 4个点 易错提醒：本题易由｜ z ｜＝2得出 z ＝±2，因此点 Z 的轨迹是2个点（－2，0）和（2，0）, 其实质是混淆了实数的绝对值与复数的模之间的区别，导致错误. 解: 由｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，可得（｜ z ｜＋1）（｜ z ｜－2）＝0， 而｜ z ｜＋1＞0，所以｜ z ｜＝2， 由复数模的几何意义可知，复数 z 对应的点到原点的距离等于2， 即点 Z 的轨迹是1个圆.故选B. 练一练 B 说说你的求解思路，比较你与同学的答案是否相同. 共轭复数 对任意复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），如果保持它的实部 a 不变，将虚部 b 变成它的相反数－ b ，得到的复数 a － b i称为原复数 z 的共轭复数. 　 共轭复数的模一定相等吗？说说理由. 复平面上的两点 P、Q关于x轴对称 它们所对应的复数相互共轭 例如，点P3(4，3)，P4(4，－3)关于实轴对称，它们所对应的复数4+3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，它们就是相互共轭的关系. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.复数 z 的共轭复数用 表示， 即如果 z ＝ a ＋ b i，那么 ＝ a － b i. 例4　已知 z ＝2－i，则 z （ ＋i）＝（　C　） A. 6－2i B. 4－2i C. 6＋2i D. 4＋2i 解析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 因为 z ＝2－i，故 ＝2＋i， 故 z （ ＋i） ＝（2－i）（2＋2i） ＝4＋4i－2i－2i2 ＝6＋2i. C 计算共轭复数z与的积，你发现了什么？ 它们积是一个实数，并且等于这个复数的模的平方，即 z· = |z|2 =| |2. 复数加减法几何意义 设 ， 分别与复数 a ＋ b i， c ＋ d i（ a ， b ， c ， d ∈R）对应， 则 ＝（ a ， b ）， ＝（ c ， d ）. 由平面向量的坐标运算法则，得 ＋ ＝（ a ＋ c ， b ＋ d ）. 这说明两个向量 与 的和就是与复数（ a ＋ c ）＋（ b ＋ d ）i对应的向量. 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如图），这就是复数加法的几何意义. (1)复数加法的几何意义 (2)复数的减法由对应向量的减法来表示： 　　　　　z1－z2 =(a－c)+(b－d)i 　　　　　 =(a－c，b－d) = = ， 其中， 与同向平行且长度相等. 16 (3)复数z=a+bi与任一实数k相乘，其积所对应的向量可由复数z对应的向量与k的积表示: kz=ka+kbi =(ka，kb)=k . 这就是说，实数k与复数z相乘就可由实数k与该复数z对应的向量的数乘来表示. 17 例5 如图，已知复平面上的 　　，O是原点，A，B分别对应复数3+i，2+4i，M是OC，AB的交点.求点C，M对应的复数. 　解: 由于，分别对应复数3+i，2+4i， 则= +对应的复数为(3+i)+(2+4i)=5+5i， 即点C所对应的复数. 　　 =　 对应的复数为　(5+5i)= ， 即点M所对应的复数. 2. 在复平面内， ， 对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则 对应的复数为（　A　） A. －1－5i B. －1＋5i C. 3－4i D. 3＋4i 解析： ＝ － ＝（－2－3i）－（－1＋2i）＝－1－5i. A 3. 在复平面内， O 为原点，向量 对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线 y ＝－ x 的对称点为点 B ，则向量 对应的复数为（　B　） A. －2－I B. －2＋i C. 1＋2i D. －1＋2i 解析：因为复数－1＋2i对应的点为 A （－1，2），点 A 关于直线 y ＝－ x 的对称点为 B （－2，1），所以 对应的复数为－2＋i. B 本节课你学到了哪些知识？谈谈你的收获. 1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 2. 在复平面内，复数 z ＝（ a 2－2 a ）＋（ a 2－ a －2）i对应的点在虚轴上，则 a 的值为（　A　） A. a＝0或a＝2 B. a＝0 C. a≠1且a≠2 D. a≠1或a≠2 解析：∵复数 z ＝（ a 2－2 a ）＋（ a 2－ a －2）i对应的点在虚轴上，∴ a 2－2 a ＝0，∴ a ＝0或 a ＝2. A 3. 已知 z 1＝5＋3i， z 2＝5＋4i，下列选项中正确的是（　D　） A. z1＞z2 B. z1＜z2 C. ｜z1｜＞｜z2｜ D. ｜z1｜＜｜z2｜ 解析：∵复数不能比较大小，∴A，B不正确； 又｜ z 1｜＝ ＝ ， ｜ z 2｜＝ ＝ ， ∴｜ z 1｜＜｜ z 2｜，故C不正确，D正确. D 4. 已知复数 z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－ ，则 为（　B　） A. －＋2i B. －－2i C. －＋3i D. －－3i 解析：设 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），则 ∴ b ＝2，∴ z ＝－ ＋2i，∴ ＝－ －2i，故选B. B $