3.2 复数的四则运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件系统涵盖复数的四则运算（加减乘除、乘方）、虚数单位i的周期性及复数范围内一元二次方程根的问题，通过知识辨析问题（如“复数相加一定是虚数吗”）导入，以定义、运算律、典例为支架，构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点在于通过知识辨析培养数学思维（如推理i²⁰²⁰是否大于0），典例分步解析（如复数除法分母实数化）强化数学语言表达，常用结论总结规律提升数学眼光。帮助学生提升运算能力与推理意识，教师可依托系统资源高效教学。

　复数的加减法 知识点 1 必备知识 清单破 3.2　复数的四则运算 1.复数的加、减法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意复数z1,z2,z3,有 (1)交换律:z1+z2=z2+z1; (2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 第3章　复数 高中同步 　复数的乘法与乘方 知识点 2 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2.复数乘法的运算律 对任何复数z1,z2,z3,有 (1)交换律:z1·z2=z2·z1; (2)结合律:(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3); (3)分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 第3章　复数 高中同步 3.复数乘方的运算律 对任何复数z,z1,z2及正整数m,n,有 (1)zm·zn=zm+n; (2)(zm)n=zmn; (3)(z1·z2)n= · . 规定i0=1. 4.虚数单位i的幂的周期性 i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z. 第3章　复数 高中同步 　复数的除法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),则 = = + i. 一般地, 称为z的倒数,若z=a+bi≠0,则 = - i. 知识点 3 第3章　复数 高中同步 知识辨析 1.复数与复数相加(或相减)后的结果一定是虚数吗? 2.已知i是虚数单位,则i2 020>0成立吗? 3.你能简述复数乘法与除法的关系吗? 第3章　复数 高中同步 一语破的 1.不一定.当复数与复数相加(或相减)后的结果的虚部为0时,则不是虚数. 2.成立.i2 020=(i4)505=1>0. 3.除以一个复数就是乘这个复数的倒数. 第3章　复数 高中同步 　复数的四则运算  关键能力 定点破 定点 1 1.复数的四则运算类似于实数的四则运算,有括号时先算括号里面的,无括号时先算乘除,后 算加减,同级运算时,从左到右依次进行. (1)复数的加、减法类似于多项式的合并同类项,即实部与虚部分别合并. (2)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,不必去记忆公式,只是在结果中要将i2换成-1,并将 实部、虚部分别合并.多项式中的一些重要公式仍适用于复数,如(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2 abi,(a+bi)3=a3+3a2bi+3ab2i2+b3i3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i(a,b∈R). (3)复数的除法法则在实际操作中不方便使用,一般将除法写成分式形式,采用“分母实数 化”的方法,即将分子、分母同乘分母的共轭复数(注:a+bi(a,b∈R)的共轭复数为a-bi),使分 母变为实数,再计算. 第3章　复数 高中同步 2.复数代数运算中的常用结论 (1)(1±i)2=±2i, =i, =-i. (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). (3)设ω1= ,ω2= ,则ω1,ω2具有如下关系: ① = =1; ②1+ω1+ω2=0; ③ω1ω2=1. (4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z). 第3章　复数 高中同步 典例1　计算 + 的值是 (　    ) A.0　    B.1 C.i　    D.2i D 解析    原式= +  = +  = +i= +i=2i. 第3章　复数 高中同步 典例2　若复数z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,则实数a=　　　    ,b=　　　    ,c=     　　    .  5 -1 2 解析    z1+z2=(1-2)+(3+a)i =-1+(3+a)i=b+8i, z2-z1=(-2-1)+(a-3)i =-3+(a-3)i=-3+ci, 所以 解得  第3章　复数 高中同步 　复数范围内一元二次方程根的问题  定点 2 1.复数范围内实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式: (1)当Δ≥0时,x= ; (2)当Δ<0时,x= . 2.如果实系数一元二次方程有虚根,那么虚根“成对”出现,它们的实部相等,虚部互为相反 数. 3.根与系数的关系在复数范围内仍然成立. 第3章　复数 高中同步 典例　已知复数z=1-2i(i为虚数单位).若z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,求实数m的值. 思路点拨    利用一元二次方程根与系数的关系求m或将z代入方程,利用复数相等的定义列 方程组求m. 第3章　复数 高中同步 解析    解法一:因为z=1-2i是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,所以z2=1+2i也是方程的根,所 以m=z+z2=2. 解法二:因为z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根, 所以(1-2i)2-m(1-2i)+5=0, 即(2-m)+(2m-4)i=0, 所以  所以m=2. 第3章　复数 高中同步 $