4.2 第2课时 非线性回归模型-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦非线性回归模型，通过习题讲评式教学，衔接线性回归知识，以幂函数、指数函数、对数函数模型为核心，借助取对数等转化方法构建学习支架，帮助学生掌握非线性回归方程的求解。 其亮点在于“思维建模”环节系统总结转化方法，结合工厂生产、研发投入等实际案例，培养学生用数学思维转化问题、用数学语言表达现实规律的核心素养。题型分类清晰，配套跟踪检测，学生能高效掌握方法，教师可直接用于课堂教学与巩固训练。

非线性回归模型 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 幂函数回归模型　 题型(二) 指数函数回归模型　 题型(三) 对数函数回归模型　 4 课时跟踪检测 题型(一)　幂函数回归模型 01 [例1]　某工厂生产一种不同规格的产品，根据统计分析，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间的关系可用回归模型y=cxb(b，c都为正常数)进行拟合.现随机抽取6件合格产品，其检测数据如下表： 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间(0.302，0.388)内时为优等品.现从所抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件产品均为优等品的概率； 解：由题意得随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，选中的2件均为优等品的概率为=. (2)经计算 ln xi≈24.6，ln yi≈18.3，(ln xi)2≈101.4， (ln xi·ln yi)≈75.3，求y关于x的非线性回归方程. 附：对于样本数据(ui，vi)(i=1，2，…，n)，其回归直线=u+的斜率和截距的最小二乘法分别为 ===-. 解：对y=cxb两边取自然对数得ln y= ln c+bln x，令u=ln x，v=ln y，a=ln c，则=u+，由所给统计量及最小二乘法有 =≈=0.5，=-≈=1， 由=ln 得=e，所以y关于x的回归直线方程为=ex0.5. |思|维|建|模| 幂函数型回归模型的处理方法 幂函数型y=axn(n为常数，a，x，y均取正值)，两边取自然对数ln y=ln(axn)，即ln y=nln x+ln a，令原方程变为y'=nx'+ln a，然后按线性回归模型求出n，ln a. 针对训练 1.某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图所示，对数据作出如下处理：令ui=ln xi，vi=ln yi，得到相关数据如表所示： uivi ui vi 30.5 15 15 46.5 (1)从①y=bx+a，②y=m·xk(m>0，k>0)两个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归模型，判断哪个模型符合，不必说明理由； 解：由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归模型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x呈正相关. 所以选择回归模型y=m·xk更好. (2)根据(1)中选择的回归模型求出y与x的回归方程. 参考公式：==-. 解：对y=m·xk两边取自然对数，得ln y=ln m+kln x. 因为v=ln y，u=ln x，所以=ln m+u. 由题表中数据得，=1.5，=1.5， 则===， 所以ln m=-=1.5-×1.5=1，所以m=e， 所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为=e·. 题型(二)　指数函数回归模型 02 [例2]　某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数.经过对历史数据的初步处理，得到散点图如图所示.令ui=，vi=ln yi(i=1，2，…，12)，计算得到如下数据. (xi-)(vi-) 20 66 770 200 14 (ui-)(yi-) 460 4.20 3 125 000 0.308 21 500 (1)设变量u和变量y的相关系数为r1，变量x和变量v的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个y与x相关性较强的模型； 解：由题意知r1====0.86， r2===≈0.91.因为0.86<0.91， 所以|r1|<|r2|，故从相关系数的角度，模型y=eλx+t中y与x的相关性较强. (2)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；(系数精确到0.01) 解：由y=eλx+t，得ln y=t+λx，即v=t+λx.因为= =≈0.02， 所以=-=4.20-×20≈3.84. 故v关于x的回归直线方程为=0.02x+3.84，即 ln =0.02x+3.84，所以=e0.02x+3.84. (3)若下一年的销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：≈8.944 3，e4.382 0≈80. 解：将=80代入=e0.02x+3.84，得80=e0.02x+3.84. 因为e4.382 0≈80，所以0.02x+3.84≈4.382，解得x=27.1， 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. |思|维|建|模| 指数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y=ebx+a的图象，如图所示. (2)处理方法：两边取对数得ln y=ln ebx+a，即ln y=bx+a.令z=ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 针对训练 2.某小微企业对其产品研发的年投入金额x(单位：万元)与其年销售量y(单位：万件)的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： x 1 5 7 8 9 y 2 3 6 8 11 z=ln y 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 (1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种模型作为年销售量y关于年投入金额x的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的回归方程； 解：由题知，==6，==6，==1.62， 所以=(1-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(9-6)2=40， 所以===1.05，=6-1.05×6=-0.3， 所以模型①的回归直线方程为=1.05x-0.3.由y=enx+m，两边取自然对数可得ln y=nx+m，即=x+， 所以===0.215，=1.62-0.215×6=0.33， 所以模型②的回归方程为=e0.215x+0.33. (2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②残差的平方和分别为9.9和4.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量. 参考数据：(xi-)(yi-)=42，(xi-)(zi-)=8.6，e2.48≈11.94. 解：因为9.9>4.2，即②的残差平方和较小， 所以模型②的拟合效果更好. 所以当x=10时，=e0.215×10+0.33=e2.48≈11.94， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 题型(三)　对数函数回归模型 03 [例3]　某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i=1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i=1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表： 其中，ui=ln xi(i=1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i=1，2，…，5)的平均数. (1)请从相关系数的角度，判断=x+与=ln x+哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系； 解：设模型=x+的相关系数为r1，模型=ln x+的相关系数为r2， =≈0.994. 由于0<r1<r2，所以模型=ln x+拟合得更好，即模型=ln x+更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系. (2)根据(1)的结果解决下列问题： ①建立y关于x的回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)； ②如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)=x+3，根据①中建立的回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大? 参考数据：≈40，≈16，≈25. 解：①由(1)知y关于x的回归方程为=ln x+. 由题表可得，===9.937 5≈10，=-=-10×=5，所以=10ln x+5. ②由题意可得r(x)=10ln x+5-x-3=10ln x-x+2(x≥1)， 所以r'(x)=-=.令r'(x)=0，得x=20.当1≤x<20时，r'(x)>0，当x>20时，r'(x)<0，则r(x)的单调递增区间为[1，20)，单调递减区间为(20，+∞).所以当x=20时，r(x)最大.故估计日产量为20吨时，日利润最大. |思|维|建|模| 对数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y=bln x+a的图象，如图所示. (2)处理方法：设x'=ln x，原方程可化为y=bx'+a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 针对训练 3.某新能源汽车公司对其产品研发投资额x(单位：百万元)与其月销售量y(单位：千辆)的数据进行统计，得到如下统计表和散点图. x 1 2 3 4 5 y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 (1)通过分析散点图的特征后，计划用y=ln(bx+a)作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程； 解：因为y=ln(bx+a)，令z=bx+a，所以z=ey. 由题可得=(1+2+3+4+5)=3，=(2+5+6+8+9)=6， 则= ===1.7，=-=6-1.7×3=0.9， 所以=1.7x+0.9，所以回归方程为=ln(1.7x+0.9). (2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P p2 p p+ 结合回归方程和ξ的分布列，试问公司的决策是否合理. 参考数据：ln 7≈1.95. y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 ey(保留整数) 2 5 6 8 9 解：当x=11时，=ln(1.7×11+0.9)=ln 19.6=ln =ln 2+2ln 7-ln 5 ≈2.98. 因为p2+p+p+=1且0<p<1，所以p=， 所以E(X)=3×+4×+5×=>2.98， 所以公司的决策合理. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 2 1.某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范，生产成本逐年降低，该公司对2011年至2023年的生产成本y(万元)进行统计，根据统计数据作出如下散点图： 由此散点图，判断下列四个回归方程模型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本y与时间变量x(x的值依次为1，2，…，13)的回归方程模型的是 (　　) A.y=ax2+b(a>0) B.y=ax+b(a>0) C.y=aln x+b(a<0) D.y=+b(a<0) √ 1 3 4 5 6 7 2 解析：根据散点图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围，A是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的；B是“直线型”的拟合函数，且是增加的；D是“幂函数型”的拟合函数，且是增加的；只有C的拟合函数符合题意. 1 5 6 7 2 3 4 2.已知变量y关于x的回归方程为y=ekx-0.2，其一组数据如下表所示.若x=8，则预测y的值为 (　　) √ x 2 3 4 5 6 y e2.5 e3.5 e5 e6.5 e7.5 A.e10.2 B.e10 C.e9.8 D.e9.5 1 5 6 7 2 3 4 解析：由y=ekx-0.2，得ln y=kx-0.2，令z=ln y，即z=kx-0.2.因为==4，===5，将点(4，5)代入直线方程=x-0.2中，即5=4k-0.2，可得=1.3， 所以回归方程为=e1.3x-0.2，若x=8，则y=e1.3×8-0.2=e10.2. 1 5 6 7 3 4 2 3.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系，设z=ln y，x与z的数据如表格所示，得到x与z的回归直线方程为=1.2x+，则c=(　　) √ x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A.-2 B.-1 C.e-2 D.e-1 解析：由已知可得，==5，==4， 所以4=1.2×5+，解得=-2，所以=1.2x-2.由z=ln y， 得ln y=1.2x-2，所以y=e1.2x-2=e-2·e1.2x，则c=e-2. 1 5 6 7 3 4 2 4.(5分)由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，得到的回归方程为=x2+，已知如下数据：xi=12，yi=22，=27，则实数的值为_____________.  解析：令t=x2，则回归方程=t+必过样本中心点()， 又==，所以=×+，解得=-. - 1 5 6 7 3 4 2 5.(5分)预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等，经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(万元)得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程=. x 1 2 3 4 y e4.2 e4.4 e4.6 e4.8 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是__________万元.(结果用e表示)  e5.6 1 5 6 7 3 4 2 解析：由题设，令z=ln y=-a，则=×(1+2+3+4)=2.5，=×(4.2+4.4+4.6+4.8)=4.5，所以4.5=0.5-a，解得a=-4， 则z=+4.所以将x=8代入回归直线方程，得z=5.6，所以=e5.6万元. 1 5 6 7 3 4 2 6.(15分)已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=c·xb(b，c为大于0的常数).现随机从中抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 根据测得的数据作出如下处理：令vi=ln xi，ui=ln yi，得相关统计量的值如下表： 1 5 6 7 3 4 2 (1)根据所给统计数据，求y关于x的回归方程；(8分) 1 5 6 7 3 4 2 解：由y=c·xb两边取对数得ln y=ln c·xb=bln x+ln c.所以=v+ln c. 由题表数据得====0.5， =-=-0.5×=1，所以=0.5v+1，即ln y=0.5ln x+1，所以y关于x的回归方程为=e. 1 5 6 7 3 4 2 (2)若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差εn满足εn~N，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差εn在(-0.1，0.1)的概率不少于0.954?(7分) 附：①对于样本(vi，ui)(i=1，2，…，n)，其回归直线u=v+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为= =-.②若X~N(μ，σ2)，则P(|X-μ|<2σ)=0.954. 1 5 6 7 3 4 2 解：因为P(|X-μ|<2σ)=0.954，εn~N， 所以P=0.954.要想使误差εn在(-0.1，0.1)的概率不少于0.954，则满足2≤0.1，解得n≥800，即至少需要抽取800件该产品，才能使误差εn在(-0.1，0.1)的概率不少于0.954. 1 5 6 7 3 4 2 7.(15分)“不关注分数，就是对学生的今天不负责；只关注分数，就是对学生的未来不负责.”为锻炼学生的综合实践能力，某中学组织学生对某奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x 2 4 6 8 10 12 净利润y/万元 0.9 2.0 4.2 3.9 5.2 5.1 (1)设μi=ln xi，vi=.试建立y关于x的非线性回归方程=ln x+和=+n；(保留2位有效数字)(10分) 1 5 6 7 3 4 2 解：由题意得=×(ln 2+ln 4+ln 6+ln 8+ln 10+ln 12) =≈1.8， ==3.55， (μi-)(yi-)=(-1.1)×(-2.65)+(-0.4)×(-1.55)+0×0.65+ 0.3×0.35+0.5×1.65+0.7×1.55=5.55， (μi-)2=(-1.1)2+(-0.4)2+02+0.32+0.52+0.72=2.2， 1 5 6 7 3 4 2 所以==≈2.5，=3.55-2.5×1.8=-0.95， 所以模型=ln x+的方程为=2.5ln x-0.95. 因为=≈2.55， (vi-)(yi-)=(-1.15)×(-2.65)+(-0.55)×(-1.55)+(-0.15)×0.65+0.25 ×0.35+0.65×1.65+0.95×1.55=6.435，=(-1.15)2+(-0.55)2 +(-0.15)2+0.252+0.652+0.952=3.035， 所以=≈2.1，=3.55-2.1×2.55≈-1.8， 所以模型=+的方程为y=2.1-1.8. 1 5 6 7 3 4 2 (2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月(x=14)的净利润.(保留1位小数)(5分) 附：①相关系数r=； ②参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6，ln 7≈1.9，≈1.4，≈2.4，≈2.8，≈3.2，≈3.5，≈3.7，≈57.6，≈67.7. 1 5 6 7 3 4 2 解：因为=(-2.65)2+(-1.55)2+0.652+0.352 +1.652+1.552≈15.1， 所以r1==≈≈0.964， r2=≈≈≈0.951. 因为r1更接近1，所以模型y=2.5ln x-0.95的拟合效果更好， 则预测次年2月净利润为y=2.5ln 14-0.95≈5.6万元. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $