4.2 第1课时 一元线性回归模型-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型，涵盖回归直线方程、最小二乘法参数估计及预测应用。课前通过自主学习落实回归概念与随机误差，课堂以脚长与身高、广告投入与销量等实例梯度进阶，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点是以真实案例（医学脂肪含量、广告销量）引导学生用数学眼光观察相关关系，通过相关系数计算、回归方程求解等例题培养数学思维，结合预测应用强化数学语言表达。梯度进阶式教学与思维建模小结，助力学生提升建模能力，为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

4.2 一元线性回归模型 一元线性回归模型 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.结合具体实例，了解线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义. 2.了解最小二乘原理，掌握线性回归模型参数的最小二乘法. 3.针对实际问题，会用线性回归模型进行预测.　　 CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.回归直线方程 在散点图中与各点散布趋势相似的直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程. 2.回归分析 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. 在回归分析中，被预测或被解释的变量称为_______，用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为_______，用x表示. 因变量 自变量 3.一元线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y=a+bx (1)来近似刻画，则称(1)式为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数. 由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程，所以估计的回归直线方程形式为=______. +x 4.随机误差 当自变量x取值xi(i=1，2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的与实际观测值yi的误差，即yi-=yi-(+xi)(i=1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei. 5.一元线性回归模型 我们把yi=+xi+ei(i=1，2，…，n)这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在线性回归模型中，ε是bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量. (　　) (2)用最小二乘法求出的可能是正的，也可能是负的. (　　) (3)随机误差平方和越大，一元线性回归模型的拟合效果越好. (　　) (4)回归直线方程=x+必过点(). (　　) 基础落实训练 × √ × √ 2.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得=0.577x-0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量).对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是(　　) A.年龄为37岁的人体内脂肪含量一定为20.90 B.年龄为37岁的人体内脂肪含量约为21.01 C.年龄为37岁的人群中的体内脂肪含量平均为20.90 D.年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为31.5 √ 解析：当x=37时，=0.577×37-0.448=20.901≈20.90，由此估计，年龄为37岁的人群中的体内脂肪含量平均为20.90. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　回归直线方程与样本中心 [例1]　为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+.已知xi=225，yi=1 600，=4，该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高为(　　) A.162 cm B.166 cm C.170 cm D.174 cm √ 解析：根据题意，得=xi=×225=22.5， =yi=×1 600=160，=4， 由(22.5，160)在=x+上， 得160=4×22.5+，即=70，故=4x+70.令x=24， 得y=4×24+70=166，即该学生身高约为166 cm. |思|维|建|模| 　　已知回归直线方程=x+，有以下结论 (1)表示x每增加1个单位，y的平均变化量，>0为正相关，<0为负 相关. (2)回归直线过样本中心()，其他测量值不一定满足方程. (3)由方程得到的值为预测值，有一定的偏差，但有一定的指导作用. 针对训练 1.已知变量x和y的统计数据如表： √ x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程=0.6x+，据此可以预测当x=8时，y=(　　) A.8.5 B.9 C.9.5 D.10 解析：==3，==7，则7=0.6×3+，∴=5.2，∴=0.6x+5.2，∴x=8时，预测y=0.6×8+5.2=10.故选D. √ 2.[多选]根据某班学生的物理成绩(y)，数学成绩(x)，得到y与x具备线性关系，并求得其线性回归直线方程为=22.05+0.625x，则下列说法正确的是(　　) A.x与y正相关，说明数学成绩优秀对物理的学习有一定的促进作用 B.某同学数学考了96分，可以预测他的物理成绩约为82分 C.某同学数学因为其他原因没考，则他物理能考22.05分 D.数学每提高1分，物理大约会提高0.625分 √ √ 解析：因为=22.05+0.625x，0.625>0，所以x与y正相关，A正确;将x=96代入方程，得约为82，B正确;用数学成绩预测物理成绩时，应用正常情况下的数学成绩，故C错误;由的意义易知D正确. 题型(二)　求回归直线方程 [例2]　一般来说，广告投入的增加有助于提高产品的知名度和消费者的购买意愿，从而可能带来销量的提升.某商家统计了7个月的月广告投入x(单位：万元)与月销量y(单位：万件)的数据如表所示： 月广告投入x(万元) 1 2 3 4 5 6 7 月销量y(万件) 28 32 35 45 49 52 60 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并求y关于x的回归直线方程； 解：由题意，知==4， ∴(xi-4)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28，结合(xi-)(yi-)=150 (yi-)2=820可得， r= ==≈0.99. 显然y与x的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合y与x的关系. 易知===. ==43， 所以=-=43-×4=. 即y关于x的回归直线方程为=x+. (2)根据(1)的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件. 参考数据：(xi-)(yi-)=150，(yi-)2=820，≈37.88. 参考公式：相关系数r=； 回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为==-. 解：若月销量突破70万件，则x+>70，解得x>=9.04. 故预计当月广告投入大于9.04万元时，月销量能突破70万件. |思|维|建|模| 1.求回归直线方程的基本步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (2)计算： xiyi； (3)代入公式求出=x+中参数的值； (4)写出回归直线方程并对实际问题作出估计. [提醒]　只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则求出的回归直线方程毫无意义. 2.使用回归直线方程进行预测时需注意的问题 (1)回归直线方程只适用于所研究的样本的总体. (2)回归直线方程一般都有时效性. (3)自变量的取值不能离样本数据的范围太远，一般自变量的取值在样本数据范围内. 针对训练 3.市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价x(单位：元)与月销量y(单位：个)之间的一组数据如下表所示： 单价x/元 18 19 20 21 22 月销量y/个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程； 解：由题表数据求得=×(18+19+20+21+22)=20，=×(570+520+420+320+270)=420，∴== ===-80.∴=-=420+80×20=2 020， 故y关于x的回归直线方程为y=-80x+2 020. (2)若这款拖把的进货价为14元/个，根据(1)中回归直线方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.(结果精确到0.1元) 附：回归直线方程y=x+中，==-. 解：设每月的总利润Q(x)=(-80x+2 020)(x-14)=-80x2+3 140x-28 280，∵抛物线y=Q(x)的对称轴方程为x==19.625，∴该拖把月利润最大时，拖把的单价为19.6元. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 2 1.船员人数y关于船的吨位x的回归直线方程是 =95+0.06x.如果两艘轮船吨位相差1 000吨.则船员平均人数相差 (　　) A.40 B.57 C.60 D.95 √ 解析：由于船员人数y关于船的吨位x的回归直线方程是 =95+0.06x，两艘轮船吨位相差1 000吨，所以船员平均人数的差值是0.06×1 000=60. 1 5 6 7 8 9 2 3 4 2.已知一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)满足线性相关关系，且回归直线方程为=10x+30，若xi=3，则yi=(　　) A.30 B.60 C.630 D.1 200 √ 解析：易知样本数据的中心点()在回归直线方程=10x+30上，又=xi=3，所以=10+30=60，即=yi=60，可得yi = 1 200. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 3.某地区为研究居民用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据： √ 气温x/℃ 3 6 9 12 用电量y/度 24 20 14 10 由表中数据得到的回归直线方程为=x+，若=-1.6，则的值为(　　) A.27 B.29 C.34 D.36 解析：由已知==7.5，==17， 所以17=-1.6×7.5+，解得=29. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 4.某商店记录了某种产品近5个月的月销售量y(千台)如下表，样本中心为(3，4).由于保管不善，记录的5个数据中有两个数据看不清楚，现用m，n代替，已知3≤m≤4，4≤n≤5，则下列结论正确的是 (　　) √ 第x个月 1 2 3 4 5 月销售量y 2.5 m 4 n 5 A.在m，n确定的条件下，去掉样本点(3，4)，则样本的相关系数r增大 B.在m，n确定的条件下，样本的相关系数r<0 C.在m，n确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合回归直线方程=0.76x+，则=1.7 D.在m，n确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合回归直线方程=0.76x+，则可预计该款商品第6个月的销售量为6 280台 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：对于A，因为回归直线方程过数据的样本中心(3，4)，所以在m，n确定的条件下，去掉样本点(3，4)，则样本的相关系数r不变，故A错误；对于B，在m，n确定的条件下，月销售量y随着x的增大而增大，故样本的相关系数r>0，故B错误；对于C，在m，n确定的条件下，样本中心(3，4)在回归直线上，可得4=0.76×3+，解得=1.72，故C错误；对于D，由C得回归直线方程=0.76x+1.72，因为=(0.76×6+1.72)×1 000=6 280台，则可预计该款商品第6个月的销售量为6 280台，故D正确. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 5.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，则E(X)= B.某人在10次射击中，击中目标次数为X，X~B(10，0.7)，当X=7时概率最大 C.在经验回归方程=-0.3x+10中，当自变量每增加1个单位时，因变量将平均减少0.3个单位 D.设随机变量X~B(n，p)，若D(X)≤3恒成立，则n的最大值为12 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：因为随机变量X服从两点分布且P(X=0)=，所以P(X=1)=， 所以E(X)=0×+1×=，故A错误；P(X=k)=·0.7k·0.310-k， 由 得 解得6.7≤k≤7.7，所以k=7，即当X=7时概率最大，故B正确；在回归直线方程=-0.3x+10中，当自变量每增加1个单位时，因变量将平均减少0.3个单位，故C正确；因为随机变量X~B(n，p)，D(X)≤3恒成立，所以D(X)=np(1-p)≤3恒成立，所以np(1-p)=n(p-p2)=-n +≤≤3， 所以n≤12，故D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 6.[多选]某实验室搜集了大量的A，B两种相似物种，记录其身长为x(单位：cm)与体重y(单位：kg)，得A，B两物种的平均身长分别为=5.2，=6.标准差分别为0.3，0.1.令A，B两物种的平均体重分别为.若A，B两物种其体重y对身长x的回归直线方程分别为lA：=2x-0.6，lB：=1.5x+0.4，相关系数分别为0.6，0.3.现发现一只身长5.6 cm、体重8.6 kg的个体P.则下列说法正确的是(　　) A.< B.A物种的体重标准差大于B物种的体重标准差 C.点(5.6，8.6)到直线lA的距离小于其到直线lB的距离 D.点(5.6，8.6)与点()的距离大于其与点()的距离 √ √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：对于A，将=5.2，=6分别代入方程lA：y=2x-0.6，lB：y=1.5x+0.4，可得=9.8，=9.4，所以>，所以A错误；对于B，设A，B物种的体重标准差分别为sA，sB，由题中信息可得sA==1，sB==0.5，所以sA>sB，所以B正确；对于C，由点到直线距离公式，点(5.6，8.6)到直线lA的距离为，点(5.6，8.6)到直线lB的距离为，所以C错误；对于D，由点(5.6，8.6)与点()的距离d1=，点(5.6，8.6)与点()的距离d2=，所以d1>d2，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 7.(5分)近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业，助力乡村振兴，建设了旅游景点“秘境大峡谷”，景区内有大型瀑布群、森林覆盖率达98%，是天然氧吧，避暑胜地，吸引了大量游客.据统计该景点2020—2024年第三季度游客人次如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 游客人次/万人 6 7 9 10 12 已知变量x，y具有线性相关关系，每年第三季度游客人次y(万人)关于年份代码x的回归直线方程为=1.5x+.那么预计该景点2026年第三季度的游客人次约为_________万人.  14.8 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：由题意得=3，==8.8，则样本中心点为(3，8.8)，而样本中心点一定在回归直线上，∴=-1.5=8.8-1.5×3=4.3，即得回归直线方程为=1.5x+4.3，所以2026年第三季度，即当x=7时，=1.5×7+4.3=14.8. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 8.(10分)某学校对高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出32名学生的数学成绩(x)和物理成绩(y)，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：xi=3 584，yi=2 368，36(xi-)2=169(yi-)2，其中xi，yi分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中i=1，2，…，32.通过计算得到y与x的相关系数r=0.91. (1)求y与x的回归直线方程；(6分) 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解：由题中数据可得，=xi=112， =yi=74，由r= =0.91得， ==r×=0.91×=0.42， 所以=-=74-112×0.42=26.96，所以回归直线方程为=0.42x+26.96. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (2)已知同学甲的此次数学成绩为125分，根据回归直线方程估计其物理成绩是否会超过80分?(4分) 参考公式：==-； 相关系数r= . 解：当x=125时，=0.42×125+26.96=79.46，即同学甲物理成绩不会超过80分. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 9.(15分)某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位：千人)如下： 样本号i 1 2 3 4 5 第xi天 1 2 3 4 5 参观人数yi 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得 xiyi=85.2，=55，=3，=4.7. (1)求y关于x的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；(7分) 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解：依题意，= = ==1.47， =-=0.29，所以=1.47x+0.29. 当x=10时，=14.99，所以第10天入校参观的人数约为14.99千人. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率.(8分) 解：记“两名参观者从不同门进校”为事件A，“两名参观者都从1号门离校”为事件B，即求P(A|B). 则P(B)=×××+×××+×2=， P(AB)=××××2=，所以P(A|B)==. 故他们从不同门进校的概率为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $