3.2.1 离散型随机变量及其分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量及其分布列，通过课前自主预习落实随机变量定义、分布列概念与性质，课堂结合袋中取球、科普竞答等实例进阶学习，构建从基础概念到性质应用的学习支架。 其亮点在于以具体实例引导学生用数学眼光观察随机现象，通过梯度题型设计培养数学思维，借助分布列表格规范数学语言表达。学生能提升知识迁移能力，教师可依托资料实现高效教学。

3.2 离散型随机变量及其分布列 3.2.1 离散型随机变量及其分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.通过具体实例，了解随机变量的概念，了解随机变量与函数的区别与联系.能列出随机变量的取值所表示的事件. 2.理解离散型随机变量分布列的概念，了解分布列对刻画随机现象的重要性. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.离散型随机变量 (1)随机变量 定义 如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量 表示 随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示 (2)离散型随机变量 如果随机变量X的所有取值都可以__________出来，则称X为离散型随机变量. 逐个列举 2.离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列的定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的概率为p1，p2，…，pn，记P(X=xi)=pi(i=1，2，…，n).　(*) 或把(*)式列成下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列).离散型随机变量的分布列还可以用图象来近似表示. (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=____. 1 1.[多选]下列变量是随机变量的是 (　　) A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 B.一台机器在一段时间内出现故障的次数 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D.方程x2-2x-3=0的实根个数 √ 基础落实训练 √ √ 解析：随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A、B、C都符合随机变量的定义；方程x2-2x-3=0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误. 2.设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的.若P(X<4)=0.3，则下列结论正确的是 (　　) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n不能确定 √ 解析：因为随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的，所以P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3，解得n=10.故选C. 3.设随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，3，则C=___________.  解析：由分布列的性质得C=1，所以C=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　离散型随机变量 [例1]　袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 (　　) A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，… √ 解析：从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球. [例2]　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由： (1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； 解：不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出. (2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X； 解：是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出. (3)某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位X. 解：不是离散型随机变量.因为水位在(0，29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出. 针对训练 1.[多选]已知8件产品中有1件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.8 √ √ 2.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ； 解：ξ可取0，1，2， {ξ=0}表示“取出的3个球中有0个白球，3个黑球”； {ξ=1}表示“取出的3个球中有1个白球，2个黑球”； {ξ=2}表示“取出的3个球中有2个白球，1个黑球”. (2)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3个球，被取出的最大号码数ξ. 解：ξ可取3，4，5， {ξ=3}表示“取出的3个球的编号为1，2，3”； {ξ=4}表示“取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4”； {ξ=5}表示“取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5”. 题型(二)　离散型随机变量的分布列 [例3]　每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为迎接全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等).设随机变量X表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数. (1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率； 解：设“该选手恰好选中一道‘智慧生活题’”为事件A， 则P(A)==. (2)求随机变量X的分布列. 解：由题意可知X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列为 X 0 1 2 P |思|维|建|模| 求离散型随机变量分布列的三个关键点 (1)随机变量的取值. (2)每一个取值所对应的概率. (3)用所有概率之和是否为1来检验(此种情况计算概率时不可用对立事件的概率). 针对训练 3.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个.从中任意取出3个球， (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； 解：设“取出的3个球恰有一个红球”为事件A，则P(A)===. (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列. 解：随机变量X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 题型(三)　分布列的性质及其应用 [例4]　设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； 解：由题意知，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1，解得a=. (2)求P. 解：法一　P=P+P+P(X=1)=++=. 法二　P=1-P=1-=. 　[变式拓展] 本例条件不变，求P. 解：∵<X<， ∴X=. ∴P=P+P+P=++=. |思|维|建|模| 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1，可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 针对训练 4.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量η=|X-1|的分布列； 解：由分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3，列表为 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 即随机变量η的可能取值为0，1，2，3， 所以P(η=0)=P(X=1)=0.1， P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3，P(η=2)=P(X=3)=0.3，P(η=3)=P(X=4)=0.3，故η=|X-1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (2)求随机变量ξ=X2的分布列. 解：列表得 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 即随机变量ξ的可能取值为0，1，4，9，16. 从而ξ=X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是 (　　) A.某足球队在5次点球中进球的次数 B.某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D.某高中每年参加高考的人数 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设随机变量X的分布列为P(X=i)=，i=1，2，3，则a=(　　) A.3 B. C.2 D. √ 解析：根据题意，随机变量X的分布列为P(X=i)=，i=1，2，3，则有++=1，解可得a=3.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.袋中装有5个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回3个红球”事件的是 (　　) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 √ 解析：依题意“放回3个红球”表示前3次摸到黑球，第4次摸到红球，故ξ=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：设任取1盆的编号为随机变量X，则X的可能取值为0，1，2，…，9，且P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=9)=，∴P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)==.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个球，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为 (　　) √ A. ξ 1 2 3 P B. ξ 1 2 3 4 P C. ξ 1 2 3 P D. ξ 1 2 3 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：随机变量ξ的可能取值为1，2，3. P(ξ=1)==，P(ξ=2)==， P(ξ=3)==，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤2)= (　　) A.B. C. D. √ 解析：令X=k表示前k个球为白球，则第(k+1)个球为红球， 此时P(X=0)==，P(X=1)=×=，P(X=2)=××=， 则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量ξ表示孪生兄弟相邻的对数，则 (　　) A.P(ξ=0)>P(ξ=1) B.P(ξ=0)=P(ξ=1) C.P(ξ=0)<P(ξ=1) D.P(ξ=1)>P(ξ=2) √ 解析：4人排成一排共有=24种不同的排法，ξ的所有可能取值为0，1，2，所以P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，所以P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)随机变量X的分布列如下： X -1 0 1 P a b c 其中a，b，c满足a+c=2b，则P(|X|=1)=____________.  解析：因为a+c=2b，所以a+b+c=3b=1，b=，a+c=， 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有__________种.  解析：因为后三位数字两两不同，且都大于5，所以只能是6，7，8，9中的三个数字，所以有=24种. 24 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1-2q 则P(∈Z)=_______________.  解析：由分布列的性质得1-2q≥0，≥0，且+1-2q+=1，解得q=， ∴P(∈Z)=P(X=0)+P(X=1)=+1-2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X=i)= pi>0(i=1，2，…，n)， pi=1，定义M(X)=pipn+1-i.若p1pn=，则当n=3时，M(X)的最大值为__________.  解析：由题意知，当n=3时，M(X)=pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1 =2p1p3+=+[1-(p1+p3)]2.∵p1>0，p3>0，p1p3=，∴p1+p3≥2=，当且仅当p1=p3=时，等号成立.∴≤p1+p3<1，0<1-(p1+p3)≤，∴M(X)≤+=，即M(X)的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知离散型随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (1)求3X+2的分布列；(3分) 解：由题意，知3X+2=-4，-1，2，5，8， 则3X+2的分布列为 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求|X-1|的分布列；(3分) X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解：由题意，知|X-1|=0，1，2，3， 则|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求X2的分布列.(4分) X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解：由题意，知X2=0，1，4， 则X2的分布列为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记-1分，取出黄球记零分. (1)以X表示所得分数，求X的分布列；(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：依题意，当取到2个白球时，随机变量X=-2； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X=-1； 当取到2个黄球时，随机变量X=0； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X=1； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X=2； 当取到2个黑球时，随机变量X=4， 所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4， 则P(X=-2)==，P(X=-1)==，P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=4)==，所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求得分X>0的概率.(3分) 解：由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=， 所以得分X>0的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有1张大王牌，其余四种花色为红桃、黑桃、方块、梅花，各2张.逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌. (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率.(7分) 解：设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”，设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则P(A)=×+×=， P(AB)=××+××+××+××=.所以小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为P(B|A)== . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续.用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列.(8分) 解：X的所有可能取值为1，2，3，4，5，则P(X=1)=，P(X=2)=×=，P(X=3)=××=，P(X=4)=×××=，P(X=5)=×××=，所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $