3.2.1　离散型随机变量及其分布学案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3．2.1　离散型随机变量及其分布 学习目标 (1)通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．(2)掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 课前预习 要点一　随机变量与离散型随机变量 1．随机变量：如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以________出来，则称X为离散型随机变量. 要点二　离散型随机变量的分布列 1．分布列的概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的的概率为p1，p2，…，pn，记P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，把上式或下表称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列)． 2.离散型分布列的性质 ①pi≥________，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝________． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (3)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) 2．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是(　　) A.出现7点的次数 B.出现偶数点的次数 C.出现2点的次数 D.出现的点数大于2小于6的次数 3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为(　　) A.2　　　 B．4 C．6　　　 D．8 4．设离散型随机变量X的分布列为 则p的值为________． 题型探究 题型1　离散型随机变量的判定 例1　(多选)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的是(　　) A．某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量 B．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量 C．某网站未来1小时内的点击量 D．一天内的温度η 方法归纳 判断离散型随机变量的步骤 巩固训练1　下列随机变量中是离散型随机变量的为(　　) A．某人早晨在车站等出租车的时间X B．以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数X D．沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置X 题型2　用随机变量表示随机试验的结果 例2　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)在含有10件次品的100件产品中任意抽取4件，所含次品的件数X； (2)设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数． 方法归纳 在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能漏掉某些试验结果． 巩固训练2　已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果． 题型3　求离散型随机变量的分布列 例3　一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列． 方法归纳 求离散型随机变量分布列的一般步骤 巩固训练3　某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列． 题型4　离散型随机变量分布列的性质及应用 例4　已知离散型随机变量X的分布列P(X＝) ＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求常数a的值； (2)求P(X≥)； (3)求P(<X<)． 方法归纳 离散型随机变量分布列的性质的三个应用 巩固训练4　(1)设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ<x)＝，则x的取值范围是________； (2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________． 3．2.1　离散型随机变量及其分布 课前预习 要点一 2．逐个列举 要点二 2．0　1 [基础自测] 1．(1)×　(2)×　(3)× 2．解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量. 答案：A 3．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果， 相应得分为300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答 这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个. 答案：B 4．解析：由离散型随机变量分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，所以p＝1－＝. 答案： 题型探究·课堂解透 例1　解析：A是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；B不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；C是，1小时内网站的访问次数可一一列出；D不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出． 答案：AC 巩固训练1　解析：连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数，可能是1，2，3，…，是随机的，可以一一列出，是离散型随机变量．选项A，B，D中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量． 答案：C 例2　解析：(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4. X＝i表示“取出的4件产品中有i件次品”，其中i＝0，1，2，3，4. (2)ξ可能的取值为0，1，2，3，4，5，ξ＝k(k＝0，1，2，3，4)表示“在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下”；ξ＝5表示“在途中没有停下，直达目的地”． 巩固训练2　解析：X的取值范围是{6，11，15，21，25，30}． 其中，X＝6表示“抽到的是1元和5元”； X＝11表示“抽到的是1元和10元”； X＝15表示“抽到的是5元和10元”； X＝21表示“抽到的是1元和20元”； X＝25表示“抽到的是5元和20元”； X＝30表示“抽到的是10元和20元”． 例3　解析：依题意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11. 则有P(η＝5)＝＝， P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝， P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝， P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝. 所以η的分布列为 η 5 6 7 8 9 10 11 P 巩固训练3　解析：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4， 则X的可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 例4　解析：(1)由题意得随机变量X的分布列如下表所示． X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. (2)P＝P＋P＋P＝＝. (3)∵<X<，∴X＝或X＝， ∴P＝P＋P＝＝. 巩固训练4　解析：(1)由条件知P(ξ＝k)＝，k＝5，6，…，16，P(ξ<x)＝，故5<x≤6. (2)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3， ∴＝1， 即＝1，解得c＝， ∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝＝. 答案：(1)(5，6]　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $$