2.4.4 向量与距离-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

2.4.4 向量与距离 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量法在研究几何问题中的作用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.点到直线的距离 (1)定义 如图，直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，过点P作直线l的垂线交l于点D，则||即为点P到直线l的距离. (2)公式d=||= =________________. 2.点到平面的距离 (1)定义 平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度. (2)公式 如图，在平面α内任取一点A，作向量， 设n是平面α的法向量， 则在法向量n上的投影长||=_______即为点P到平面α的距离d. 3.两平行平面间的距离 (1)定义 两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的__________. (2)公式 如图，A，B分别是平行平面α，β上的任意一点， 设n是平面α，β的一个法向量， 则平面α，β之间的距离d=___________. 投影长 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模. (　　) (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模. (　　) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距.(　　) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距. (　　) (5)线面距、面面距可以转化成点面距. (　　) 基础落实训练 √ √ √ √ √ 2.已知a=(1，1，1)为平面α的一个法向量，A(1，0，0)为α内的一点，则点D(1，1，2)到平面α的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：依题意，=(0，1，2)，又a=(1，1，1)为平面α的一个法向量，所以点D(1，1，2)到平面α的距离d===. 3.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，P(1，-1，0)，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：因为点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)， 所以=(-1，1，0)，=(-1，0，2)，=(0，-1，0)， 设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)，则 即令x=1，得y=1，z=，则n=， 所以d==，故选C. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　点到直线的距离 [例1]　如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离. 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，B(0，0，0). 直线A1C1的方向向量=(-4，3，0)，=(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离d ===. |思|维|建|模| 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. 针对训练 1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=1，BC=2， AA'=3，点M是AD的中点，求点M到直线B'D'的距离. 解：连接D'M，建立如图所示的空间直角坐标系，M(1，0，0)，D'(0，0，3)，B'(2，1，3)，=(-1，0，3)， =(2，1，0)，所以点M到直线B'D'的距离为==. 题型(二)　点到平面的距离 [例2]　如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，AB=AA1=2. (1)求平面PBC的法向量; 解：因为P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接OA，OB，OC，OP，所以OA，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=AA1=2，所以OA=OC=OB=2，OP=AA1=2， 所以B(0，2，0)，C(-2，0，0)，P(0，0，2)， 所以=(0，2，-2)，=(-2，0，-2). 设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)， 则⇒ 取z=1，则x=-1，y=1，所以m=(-1，1，1)， 所以平面PBC的一个法向量为(-1，1，1). (2)求点O到平面PBC的距离. 解：由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1，1，1)， 又=(0，2，0)， 所以点O到平面PBC的距离 d===， 所以点O到平面PBC的距离为. |思|维|建|模| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 针对训练 2.如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，求点D到平面ABC的距离. 解：设O是BD的中点，连接OA，OC， 由于折叠前四边形ABCD是正方形，边长为， 所以OA=OB=OC=OD=1. 依题意，平面ABD⊥平面BCD且交线为BD， OA⊂平面ABD，OA⊥BD，所以OA⊥平面BCD， 由于OC⊂平面BCD，所以OA⊥OC，则OA，OC， OD两两相互垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，1，0)，B(0，-1，0)，A(0，0，1)，C(1，0，0)，=(0，2，0)， =(0，1，1)，=(1，1，0)，设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)， 则故可设n=(1，-1，1)， 所以点D到平面ABC的距离为==. 题型(三)　线面距与面面距 [例3]　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点.求： (1)直线MN与平面OCD的距离; 解：因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)， M(0，0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0)， 因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD， 因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，所以MR∥平面OCD， 因为AD∥BC且AD=BC，R，N分别为AD，BC的中点， 则CN∥RD且CN=RD， 所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD， 因为RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD， 因为MR∩RN=R，MR，RN⊂平面MNR， 所以平面MNR∥平面OCD，因为MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD， 设平面OCD的一个法向量为n=(x，y，z)，=(2，0，0)，=(0，-2，2)，则取y=1，可得n=(0，1，1)，=(0，1，0)， 所以直线MN与平面OCD的距离为d1===. (2)平面MNR与平面OCD的距离. 解：因为平面MNR∥平面OCD， 所以平面MNR与平面OCD的距离 为d2===. |思|维|建|模| 　　用向量法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量;(2)选择参考向量;(3)利用公式求解. 针对训练 3.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC=90°，AD=1，CD=，BC=2，AA1=2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离. 如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0). 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF=，∴B(1，2，0)， ∴=(0，2，0)，=(-1，-，1).设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 ∴y=0，x=z，不妨取n=(1，0，1). ∵=(0，0，2)，∴点A1到平面ABE的距离d===. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为 (　　) A.2 B. C.2 D.2 √ 解析：因为=(2，-1，2)，=(1，-2，4)，所以在方向上的投影长为==4.设点C到直线AB的距离为d，则d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，=(-1，-1，2)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　) A.1 B. C. D. √ 解析：因为=(-1，-1，2)，平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，所以点A到平面α的距离为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以==(0，0，1)， 所以在上的投影数量为==， 所以点C1到直线EC的距离d= ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意易知直线FC1∥平面AB1E， 所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E， B1(1，1，1)，F，C1(0，1，1)， 所以==(0，1，1)， =，设平面AB1E的法向量n=(x，y，z)， 则即取z=2，则x=1，y=-2， 所以n=(1，-2，2)，所以F到平面AB1E的距离d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=6，点E，F分别为棱BB1，AC的中点，则点C1到平面A1EF的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，取A1C1的中点G，连接FG， 以F为坐标原点，FB，FC，FG所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则F(0，0，0)，A1(0，-1，6)，E(，0，3)， C1(0，1，6)，所以=(0，-1，6)，=(，0，3)，=(0，1，6)，设平面A1EF的法向量为n=(x，y，z)，所以令z=1，解得x=-，y=6，所以平面A1EF的一个法向量为n=(-，6，1)，所以点C1到平面A1EF的距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，P是A1B1的中点，则点A到平面MNP的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AM，则A(0，0，0)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，P(1，0，2)，所以=(-1，2，-1)，=(0，1，-2)，=(0，2，1)，设平面MNP的法向量为u=(x，y，z)， 则 令y=2，则x=3，z=1， 所以平面MNP的一个法向量u=(3，2，1)， 所以点A到平面MNP的距离为==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为 (　　) A.2 B.1 C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(6，0，0)，C(0，6，0)，D(0，0，6)， E(3，0，0)，F(0，0，4)，得O(2，2，2)， =(-3，0，4)，取a==(-1，2，2)， u==(-3，0，4)=，则a2=9，a·u=， 所以点O到直线EF的距离为 =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在四棱锥S-ABCD中，=(4，-1，0)，=(0，3，0)， =(-3，1，-5)，则这个四棱锥的高h为__________ .  解析：设平面ABCD的法向量为n=(x，y，z)， 则所以x=y=0， 所以取n=(0，0，1)，所以此四棱锥的高h===5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在空间直角坐标系O-xyz中，A(1，2，1)，B(2，1，m)，C(0，1，2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：_____________________________________.  解析：因为=(1，-1，m-1)，=(-1，-1，1)，所以点C到直线AB的距离d==≥，解得1-≤m≤1+. 1(答案不唯一，只要1-≤m≤1+即可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为_____________.  a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1， 所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，又B1D1∩AD1=D1， 所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)， A1(a，0，a)，B1(a，a，a)，D1(0，0，a)， 则=(0，a，a)，=(-a，-a，0)，=(0，-a，0). 设平面AB1D1的法向量为n=(x，y，z)， 则即令x=1， 则y=-1，z=1，则n=(1，-1，1)，则点B到平面AB1D1的距离d===a， 所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为_____________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形， 则D(2，1，0)，M(1，-1，0)， C(0，1，0)，P(0，0，)， 则N，O(1，0，0)， 则===(1，1，0). 设平面DMN的法向量为n=(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则 解得令z=7，则y=-，x=2，所以n=(2，-，7)，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，则d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，A'(0，0，2)，B'(1，0，2)，D'(0，2，2)，E和F分别是棱DD'和BB'的中点，求CE与A'F之间的距离. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点， 则E(0，2，1)，F(1，0，1).又=(-1，0，1)， =(1，0，-1)，且直线CE与A'F无公共点， 所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离. 又因为=(-1，0，1)，=(0，2，-1)， 所以在上的投影长为===. 所以点F到直线CE的距离d== =. 因此CE与A'F之间的距离为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)(2025·天津高考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1中点，CG=3GC1. (1)求证：GF⊥平面FBE;(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：证明：法一　在正方形BCC1B1中， 由条件易知tan∠C1FG====tan∠B1BF，所以∠C1FG=∠B1BF， 则∠B1FB+∠B1BF==∠C1FG+∠B1FB， 故∠BFG=π-(∠C1FG+∠B1FB)=，即FG⊥BF.在正方体中， 易知D1C1⊥平面BCC1B1，且EF∥D1C1，所以EF⊥平面BCC1B1. 又FG⊂平面BCC1B1，所以EF⊥FG. 又EF∩BF=F，EF，BF⊂平面BEF，所以GF⊥平面BEF. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则B(4，4，0)，E(2，0，4)，F(2，4，4)，G(0，4，3)， 所以=(0，4，0)，=(2，4，-4)，=(-2，0，-1)， 设m=(a，b，c)是平面BEF的一个法向量， 则 令a=2，则b=0，c=1，所以m=(2，0，1)， 易知=(-2，0，-1)=-m， 则也是平面BEF的一个法向量，所以GF⊥平面BEF. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值;(6分) 解：同(1)法二建立的空间直角坐标系， 所以=(-2，4，-1)，=(-4，0，3)， 由(1)知是平面BEF的一个法向量， 设平面BEG的一个法向量为n=(x，y，z)， 所以 令x=6，则z=8，y=5，即n=(6，5，8)， 设平面BEF与平面BEG的夹角为α， 则cos α=|cos <，n>|===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求三棱锥D-FBE的体积.(5分) 解：由(1)知EF⊥平面BCC1B1，FB⊂平面BCC1B1， 所以EF⊥FB，易知S△BEF=EF·BF=×4×=4， 又=(2，0，4)，则D到平面BEF的距离为d==， 由棱锥的体积公式知VD-BEF=d×S△BEF=××4=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB是等腰直角三角形，且∠APB=90°，平面PAB⊥平面ABCD，点E是线段PC(不含端点)上的一个动点. (1)设平面ADE交PB于点F，求证：EF∥平面PAD;(5分) 解：证明：因为四边形ABCD为菱形， 所以AD∥BC.因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC.因为AD⊂平面ADE， 平面ADE∩平面PBC=EF，所以EF∥AD. 因为EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值.(10分) 解：在AB上取中点O，连接PO，OC， 因为△PAB是等腰直角三角形，所以PO⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB， PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD.又OC⊂平面ABCD， AB⊂平面ABCD，所以PO⊥OC，PO⊥AB， 又底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°， 所以OC⊥AB.故以O为原点，以OB，OC，OP 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则O(0，0，0)，A(-1，0，0)，C(0，，0)，D(-2，，0)，P(0，0，1)，=(1，，0)，=(-1，，0)，=(1，0，1)，=(0，-，1)， 设=λ=(1，-λ，λ)(0<λ<1)，则=+=(1，-λ，λ).设m=(x，y，z)是平面PAD的法向量，则即 令y=，得m=(3，，-3)，由点E到平面PAD的距离为得=， 所以=，解得λ=或λ=(舍去)，故点E为CP中点，所以E， 所以=，又=(-1，，0).设n=(a，b，c)是平面ADE的法向量， 则即令b=可得n=(3，，-9).又⊥平面ABCD， 故=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，得cos<，n>===-， 所以平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $