专题2.4.4 向量与距离（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.4.4 向量与距离 教学目标 1.理解点到直线、点到平面、两平行线间、两平行平面间距离的概念及几何意义 2.掌握向量法求解四类距离的公式及推导过程，包括：点到直线距离、点到平面距离、两平行线 / 平行平面距离：转化为点到直线 / 平面距离计算 2.能规范运用向量法解决各类距离问题，包括建系、求向量、代入公式计算等完整步骤. 教学重难点 1.重点： （1）掌握四类距离的向量法计算公式及应用，特别是点到直线和点到平面距离公式的推导与使用 （2）关键技能：①正确建立空间直角坐标系，准确表示点、向量坐标 ②熟练求直线方向向量和平面法向量（法向量是求点面距离的核心） ③掌握 “转化思想”：将线线、面面距离转化为点线、点面距离计算 （3）规范流程：向量法求解距离的 “一作二证三计算” 完整步骤 2.难点： （1）理解距离公式的几何意义，特别是向量投影与距离的关系，以及叉乘在点线距离中的作用。 （2）思维障碍：①空间图形向向量运算的转化困难，难以建立几何元素与向量的对应关系 ②法向量、方向向量的选择与计算错误，导致距离求解偏差 ③复杂空间图形中坐标系建立的合理性判断，影响计算效率与准确性 （3）应用难点：①区分不同类型距离的适用场景，避免公式混淆 ②处理特殊情况（如直线斜率不存在、平面无明显法向量等） ③综合运用向量法与几何法解决综合性距离问题 知识点01 点到直线的距离 点P是空间任意一点，点A是直线l上任意一点，v是l的一个方向向量，则 【即学即练】（25-26高二上·北京昌平·期末）在棱长为2的正方体中，是正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则下列结论中错误的是（   ） A． B．点的轨迹长度为 C．点到直线的最短距离为 D．可能为锐角 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标求得对应向量，由得，根据可判断A，由可判断B；由点到直线距离公式计算可判断C；由可判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，设， 得到，， 因为，所以，得， 对于A，，，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，点在线段上运动，故点的轨迹长度为， 因为，，故，则，故B正确； 对于C， ，， 设点到直线的距离为， 则， 因为，令， 由二次函数性质可知，当时，，即， 所以点到直线的最短距离为，故C正确； 对于D，，， 因为， 因为，所以， 由二次函数性质可知， 可得，故不可能为锐角，故D错误. 故选：D 知识点02 点到平面所成的距离 点P是空间任意一点，点A是平面上任意一点，n是的一个法向量，则 【即学即练】（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】利用空间向量法，即公式，求点面距离即可得解. 【详解】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 知识点03 两平行直线之间的距离 直线m//n，A是直线m上任意一点，P是直线n上任意一点，v是直线m的方向向量，则 【即学即练】（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 【答案】A 【知识点】异面直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 知识点04 两平行平面之间的距离 平面，A，B分别是平面上任意点，n平面的法向量 【即学即练】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【知识点】判断面面平行、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 题型01 点到直线距离的向量求法 【典例1】（25-26高二上·湖南·期末）在如图所示的试验装置中，有两个边长为1的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】弹子到直线的距离最小就是求上的点到直线的最小距离，根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间中点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，所以当时，取得最小值. 【详解】根据题意以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则点到直线的距离为， 其中为直线的单位方向向量，， 可取， 所以, 整理得， 当时，取得最小值. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法、空间向量的坐标运算、空间距离公式的应用 【分析】利用空间向量求解即可. 【详解】由题意可得 则与同向的单位向量， 设点到直线的距离为， 则. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知空间中的点，且，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 又，. 所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 又，则. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 题型02 点到平面距离的向量求法 【典例2】（25-26高二·全国·假期作业）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1） 建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求线线夹角即可； （2） 利用线面平行，转化为求到平面的距离，即可利用点面距离的向量法求解公式求解. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，， 可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）因为，平面，平面，故平面， 则直线到平面的距离与点到平面的距离相等. 因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 【变式2-1】（25-26高二上·北京海淀·期末）已知点，向量，平面经过原点，且与向量垂直，则点A到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式，求出答案. 【详解】由题知，设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为 ．    【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】利用建立空间直角坐标系，向量法求解出最小时，的坐标，进而利用点到平面的距离公式求解得出 【详解】建立以B为原点的空间直角坐标系，以BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直于平面ABCD的直线为z轴，    由正方形边长，得 设，则， 当时，取得最小值，此时,， 设平面的一个法向量为,，则， 令，则，故， 点到平面的距离为. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先得到，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式直接计算即可. 【详解】（1）长方体中，，平面， 因为平面,所以， 因为，平面， 所以平面. （2）由题意可知两两垂直，所以以为原点所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得 则， 设平面的法向量为， 则，令，得到； 因为,所以点D到平面的距离. 题型03 异面直线之间距离的向量求法 【典例3】（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 【变式3-2】（20-21高二上·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， .    故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 题型04 两平行平面之间距离的向量求法 【典例4】 （17-18高二上·内蒙古赤峰·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面垂直证明面面平行、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型05 已知距离求其它量 【典例5】（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）先得到线面平行，再根据线面平行得到线线平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，设（），写出各点坐标，得到平面法向量，利用点到平面距离公式得到方程，求出，求出的长度. 【详解】（1）根据棱柱的性质可知，， 由于平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面，所以． （2）由于⊥平面，平面， 所以，，由于，D是AC的中点， 所以⊥， 以D为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    设（），已知， 则，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以点C与平面的距离， 解得或（舍）， 即，． 【变式5-1】（25-26高二上·广西北海·期末）在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、求空间向量的数量积、点到平面距离的向量求法 【分析】先根据向量的数量积判断和向量的关系，进而求出的面积，再求出点到平面的距离，最后根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】，，， ， ，， 根据三角形面积公式， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的法向量为， 又，则， 故点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法、求空间中两点间的距离 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·上海金山·期末）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为 ． 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】取作为空间向量的一组基底，设为平面向上的一个单位向量，再设正方体的棱长为，由题意，在上的投影长度分别为，用表示出，由可求出即可. 【详解】设正方体的棱长为，取作为空间向量的一组基底， 设单位向量是平面的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组， 使得. 由题意：在上的投影长度为， 所以 同理：，. 所以， 又，所以. 故答案为： 题型06 空间向量与立体几何的综合问题 【典例6】（24-25高二上·四川自贡·月考）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行平面距离的向量求法、线面角的向量求法、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏扬州·月考）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】C 【知识点】平行平面距离的向量求法、证明线面垂直、求异面直线所成的角、求组合体的体积 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C    【变式6-2】（多选）（25-26高二上·安徽·期中）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【知识点】空间向量与立体几何综合、异面直线距离的向量求法、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可. 【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部． 以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ， ，，， 则，故平面， 则存在与平面的交点使得平面，故A正确； 对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为， 则，即，解得， 显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离， 则，即. 方法二：，， ，， 由于，则四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面 同理可得平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 由于在三角形边界及其内部，则， 令， ， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得， 当时，， 则当时， 当时，， 则当时，， 则 ，故B错误； 对C，由题意可知，， 设，使得， ，令，解得， 设异面直线与的距离为， 则，故C正确； 对D，， 当时，，， 此时，即平面，则 ， 则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心， 如图2，正三角形边长为，取中点，可得， 则，则， 则点的轨迹长度为，故D选项正确.    故选：ACD. 【变式6-3】（25-26高二上·北京延庆·月考）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)见详解； (2)； (3) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先找所在的平面平行于平面，得到面面平行后再证明线面平行即可； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，再求两个平面的法向量后即可求两个平面所成角的大小； （3）用空间中点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）取中点，连接，如下图：    在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 且，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 由题得：，如下图：    设平面的法向量为，，，则有，即，令，则； 平面的法向量为， 则两平面夹角满足，所以， 故平面与平面所成角为. （3）由题得，点到平面的距离为. 故点到平面的距离为. 题型07 空间线段点的存在性问题 【典例7】（2026高二上·广东东莞·专题练习）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. (1)求平面和平面所成角的余弦值. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题知，，在图2中，是平面内的相交直线， 所以平面，且为二面角的平面角，所以， 以为原点，过点在平面内作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （2）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 【变式7-1】（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】空间线段点的存在性问题、点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 【变式7-2】（25-26高三上·北京西城·月考）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线上存在点，使得，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面平行证明线线平行、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）由面面平行的性质定理进行证明即可； （2）则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的夹角公式进行求解即可； （3）已知在上，令（），根据向量的线性运算可得，再根据求解的值，最后根据向量模长公式求解线段的长度即可. 【详解】（1）因为平面平面，，，，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以. （2）因为平面，是正方形， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，    则，，， 得：，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，得：； 设平面的法向量为， 则， 令，得，，得：， 则. 由图可知二面角为钝角， 故二面角F－BE－C的余弦值为. （3）    如图，已知在上，令（）， 由， ，由于， 则，即，解得：. 可得：，则， 即线段的长度为. 【变式7-3】（24-25高二上·贵州遵义·期中）如图，三棱锥中，且，，为正三角形，为的中点，. (1)求证：面面 (2)求直线与面夹角的正弦值. (3)在上是否存在一点，使得与垂直，若存在，求出的长，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在；. 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取的中点，连接和，得，根据面面垂直判定定理得面面； （2）建立空间直角坐标系，确定个点坐标，求出面的法向量，利用向量法及确定角的正弦值； （3）通过向量垂直的条件判断是否存在点，并求出的长度. 【详解】（1）取的中点，连接和， 由且，得，且，， 由为正三角形，得， 在中，，满足，得， 又面，故面， 而面，由面面垂直判定定理得面面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，各点坐标： ，为中点，故， 故，因此，， ，设面的法向量为， 则， 令，得，故， 设直线与面的夹角为， 则； （3）设在上，令（），则的坐标为，则， 由，得，即：， 化简得：，解得， 因此，的坐标为，的长度为：. 一、单选题 1．（25-26高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据点到平面距离公式计算求解. 【详解】点在平面内，点在平面外，则， 则点P到平面的距离为. 故选：D. 2.（25-26高二上·浙江温州·期末）在棱长为2的正方体中，为平面的中心，则点到直线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量法求解点到直线的距离. 【详解】在棱长为2的正方体中， 以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）. 于是，，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，， 所以，， 则点到直线EF的距离是. 故选：B 4．（25-26高二上·广东广州·期末）我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，将问题转化为点到平面的距离，利用向量法求解可得. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，取，得，则， 又，所以直线到平面的距离为. 故选：B    5．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 6．（24-25高二上·山东枣庄·月考）分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间坐标系，求出异面直线与的公垂线的方向向量为，根据求解即可. 【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：    设为异面直线与的公垂线段， 则， 所以 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则有，则有， 取，则 则异面直线与的距离. 故选：C. 7．（25-26高二上·安徽池州·月考）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 8．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【知识点】求投影向量、点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间向量的坐标表示 【分析】根据空间向量的坐标表示判断A，利用空间向量法求点到直线的距离判断B，求出平面的法向量，利用空间向量法求点到平面的距离判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为 ，，所以 ， 又，则， ，， 所以点到直线的距离为 ，故B错误； 对于C：因为，，， 设平面的法向量为， 则，取，则点到平面的距离 ，故C正确； 对于D：因为，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 10.（多选）（25-26高二上·安徽池州·月考）如图，正方体的棱长为，为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的运动轨迹的长度为 B．三棱锥的体积为定值 C．当在线段上时，的最小值为 D．若，线段和的中点分别为、，则点的轨迹与直线有交点 【答案】AB 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题、空间向量与立体几何综合 【分析】用向量法可得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，求得弧长，即可判断A；利用等体积法判断B；展开使其与在同一平面，可得的最小值为，求出，即可判断C；结合A，可得点的轨迹，由点到直线的距离为，即可判断D. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，． 对于A，因为，， ， 整理得，，即， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧， 因为点为侧面（含边界）内的动点， 所以点的轨迹为圆弧，长度为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为平面， 则展开使其与在同一平面， 如图所示： 则的最小值为， 因为为等腰三角形，是腰长为的等腰三角形， 则为的中点，则，故C错误； 对于D，由选项A可知点的轨迹为圆弧， 则点到直线的距离为， 所以点的运动轨迹与直线无公共点，故D错误． 故选：AB． 11．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】ACD 【知识点】点到直线距离的向量求法、平行平面距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法直接求解即可；对于B，利用空间向量点到面的距离公式进行求解；对于C，两平行平面间的距离转化为点到平面的距离的空间向量法进行求解；对于D，利用空间向量法点到线的距离公式求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，． 对于A，设BE与所成角，则，，故A正确； 对于B，易知，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 则，所以点P到AB的距离，故D正确． 故选：ACD.    三、填空题 12．（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是 . 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 又因为，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·四川内江·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为 .    【答案】 【知识点】空间线段点的存在性问题 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面求出点坐标，再利用模长公式结合函数的性质即可求出. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，，， 由题意得，，，， ，，， 平面， ，解得，， ，，，， 线段的长的最大值为：. 故答案为：. 14．（25-26高二上·北京·月考）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ① ． ②线段MN长度的最小值是 ． 【答案】 【知识点】异面直线距离的向量求法、空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，坐标运算求，由异面直线间的距离求线段MN长度的最小值. 【详解】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面， 平面平面，，平面， 则有平面， 以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离， 设与都垂直的一个法向量为， 由，令，有， 得，又， 所以线段MN长度的最小值是 故答案为：； 四、解答题 15．（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】先证得平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面的距离. 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 16．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点．    (1)证明：面； (2)若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）在平行四边形中，，， 则， 因为，所以，即， 又因为，，所以面， 由于面，所以，     又因为，，所以面. （2）在平面内，过作的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，    平行四边形中，由，，，有， 则． 点在线段上，设，， 则， 设面的法向量为，则 ，令，则， 易知面的法向量为， 设锐二面角的平面角为，由，得． 所以， 得或（舍）． 所以，设到直线的距离为， 则． 故点到直线的距离为. 17．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）（ii）棱PB上存在满足题意的点，此时. 【知识点】空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）连接BD，过点作于点，通过勾股定理得到，进而得到平面BDP，得到，再结合即可求证； （2）（i）以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴，在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，设，得到球心为.结合半径列出等式求解即可；（ii），求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）连接BD，过点作于点， 则. 在Rt中，. 在Rt中，.      .     ，即，且平面平面BDP， 平面BDP.     ， 又，且AD与BC相交，平面平面ABCD. 平面 （2）（i）如图，以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴， 在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 为等腰梯形，且 的外接圆圆心为CD的中点，记为.     根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上.     设，则球心为. 由球的半径，得， 解得，故.     从而.     （ii）由（i）可知，.     设， 则.     设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取.     设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取.     ∵二面角的余弦值为， ， 即， 解得或（负值舍去）.     ∴棱上存在满足题意的点，此时 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4.4 向量与距离 教学目标 1.理解点到直线、点到平面、两平行线间、两平行平面间距离的概念及几何意义 2.掌握向量法求解四类距离的公式及推导过程，包括：点到直线距离、点到平面距离、两平行线 / 平行平面距离：转化为点到直线 / 平面距离计算 2.能规范运用向量法解决各类距离问题，包括建系、求向量、代入公式计算等完整步骤. 教学重难点 1.重点： （1）掌握四类距离的向量法计算公式及应用，特别是点到直线和点到平面距离公式的推导与使用 （2）关键技能：①正确建立空间直角坐标系，准确表示点、向量坐标 ②熟练求直线方向向量和平面法向量（法向量是求点面距离的核心） ③掌握 “转化思想”：将线线、面面距离转化为点线、点面距离计算 （3）规范流程：向量法求解距离的 “一作二证三计算” 完整步骤 2.难点： （1）理解距离公式的几何意义，特别是向量投影与距离的关系，以及叉乘在点线距离中的作用。 （2）思维障碍：①空间图形向向量运算的转化困难，难以建立几何元素与向量的对应关系 ②法向量、方向向量的选择与计算错误，导致距离求解偏差 ③复杂空间图形中坐标系建立的合理性判断，影响计算效率与准确性 （3）应用难点：①区分不同类型距离的适用场景，避免公式混淆 ②处理特殊情况（如直线斜率不存在、平面无明显法向量等） ③综合运用向量法与几何法解决综合性距离问题 知识点01 点到直线的距离 点P是空间任意一点，点A是直线l上任意一点，v是l的一个方向向量，则 【即学即练】（25-26高二上·北京昌平·期末）在棱长为2的正方体中，是正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则下列结论中错误的是（   ） A． B．点的轨迹长度为 C．点到直线的最短距离为 D．可能为锐角 知识点02 点到平面所成的距离 点P是空间任意一点，点A是平面上任意一点，n是的一个法向量，则 【即学即练】（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 知识点03 两平行直线之间的距离 直线m//n，A是直线m上任意一点，P是直线n上任意一点，v是直线m的方向向量，则 【即学即练】（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 知识点04 两平行平面之间的距离 平面，A，B分别是平面上任意点，n平面的法向量 【即学即练】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 题型01 点到直线距离的向量求法 【典例1】（25-26高二上·湖南·期末）在如图所示的试验装置中，有两个边长为1的正方形框架，它们所在的平面互相垂直.有一个活动弹子在正方形的对角线上移动，运动过程中弹子到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知空间中的点，且，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是 . 题型02 点到平面距离的向量求法 【典例2】（25-26高二·全国·假期作业）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【变式2-1】（25-26高二上·北京海淀·期末）已知点，向量，平面经过原点，且与向量垂直，则点A到平面的距离为 . 【变式2-2】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为 ．    【变式2-3】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 题型03 异面直线之间距离的向量求法 【典例3】（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（20-21高二上·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 题型04 两平行平面之间距离的向量求法 【典例4】 （17-18高二上·内蒙古赤峰·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【变式4-3】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型05 已知距离求其它量 【典例5】（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 【变式5-1】（25-26高二上·广西北海·期末）在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式5-3】（25-26高二上·上海金山·期末）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为 ． 题型06 空间向量与立体几何的综合问题 【典例6】（24-25高二上·四川自贡·月考）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【变式6-1】（23-24高二上·江苏扬州·月考）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【变式6-2】（多选）（25-26高二上·安徽·期中）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 【变式6-3】（25-26高二上·北京延庆·月考）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 题型07 空间线段点的存在性问题 【典例7】（2026高二上·广东东莞·专题练习）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. (1)求平面和平面所成角的余弦值. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【变式7-1】（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式7-2】（25-26高三上·北京西城·月考）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线上存在点，使得，求线段的长度． 【变式7-3】（24-25高二上·贵州遵义·期中）如图，三棱锥中，且，，为正三角形，为的中点，. (1)求证：面面 (2)求直线与面夹角的正弦值. (3)在上是否存在一点，使得与垂直，若存在，求出的长，若不存在请说明理由. 一、单选题 1．（25-26高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·浙江温州·期末）在棱长为2的正方体中，为平面的中心，则点到直线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东枣庄·月考）分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽池州·月考）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 10.（多选）（25-26高二上·安徽池州·月考）如图，正方体的棱长为，为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的运动轨迹的长度为 B．三棱锥的体积为定值 C．当在线段上时，的最小值为 D．若，线段和的中点分别为、，则点的轨迹与直线有交点 11．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 三、填空题 12．（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是 . 13．（25-26高二上·四川内江·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为 .    14．（25-26高二上·北京·月考）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ① ． ②线段MN长度的最小值是 ． 四、解答题 15．（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 16．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点．    (1)证明：面； (2)若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 17．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $