2.4.2 第1课时 向量与垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

2.4.2 空间线面位置关系的判定 向量与垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解三垂线定理，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.三垂线定理 (1)三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影______，则它和这条斜线也_____. (2)三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线______，则它和这条斜线在平面内的射影也_______. 垂直 垂直 垂直 垂直 2.空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔____________. (2)线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔______⇔∃λ∈R，使得u=λn. (3)面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔__________⇔n1·n2=0. u1·u2=0 u∥n n1⊥n2 |微|点|助|解| (1)用向量刻画空间中直线与平面间的平行、垂直等位置关系时，要注意线面关系与向量关系的异同，可简记为“同类同性，异类相反”，即线线平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直)，但线面平行(垂直)中向量变为垂直(平行); (2)由于直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的，所以运用时应以运算简便为标准进行选择. 1.若直线l的一个方向向量为μ=(1，-2，3)，平面α的一个法向量为n=(-2，4，-6)，则 (　　) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交 √ 基础落实训练 2.已知平面α的一个法向量为a=(2，3，-1)，平面β的一个法向量为b=(1，0，k)，若α⊥β，则k等于 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D与BD1的位置关系为 (　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断 √ 解析：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体， 所以AB⊥平面ADD1A1， 故BD1在平面ADD1A1内的投影为AD1. 又因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　证明直线与直线垂直 [例1]　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 证明：法一：坐标法　以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=a， 则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)， 于是F. ∵E在BC上，∴设E(m，1，0)， ∴=(m，1，-1)，=. ∵·=0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 法二：基向量法　因为点E在边BC上，可设=λ， 于是·=(++)·(+)=(++λ)· (+)=(·+·+·+·+λ· +λ·)=(0-1+1+0+0+0)=0， 因此⊥.故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. |思|维|建|模| 向量法证明线线垂直的思路方法 　　用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b=0即可，具体方法有以下两种： 坐标法 用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0 基向 量法 将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0 针对训练 1.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD =90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3.求证：AC⊥B1D. 证明：因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1⊥平面ABCD，又AB，AD⊂平面ABCD， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AD.又因为∠BAD=90°， 所以AB⊥AD，即AA1，AB，AD两两垂直， 故以分别 为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)， D(0，3，0)，所以=(，1，0)，=(-，3，-3)， 所以·=-3+3+0=0，所以AC⊥B1D. 题型(二)　证明直线与平面垂直 [例2]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别为线段AB，A1A的中点，A1A=AC=BC，∠ACB=90°.求证：EF⊥平面B1CE. 证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可知CC1⊥平面ABC，因为CA，CB⊂平面ABC，所以CC1⊥CA，CC1⊥CB，又因为CA⊥CB. 所以以{}为正交基建立如图所示的空间直角坐标系， 设A1A=AC=BC=2，则C(0，0，0)，B1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(2，0，1)， 所以=(1，-1，1)，=(0，2，2)， =(-1，1，2)，设平面B1CE的一个法向量为n=(x，y，z)， 则 令z=-1，则y=1，x=-1，即n=(-1，1，-1)， 所以=-n，即∥n， 所以EF⊥平面B1CE. |思|维|建|模| 用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 针对训练 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1. 证明：以点C为原点，分别以 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则A1(1，1，1)，C(0，0，0)，B(0，1，0)， D(1，0，0)，C1(0，0，1)，所以=(-1，-1，-1)， =(1，-1，0)，=(0，-1，1)，有· =-1+1+0=0且·=0+1-1=0，所以A1C⊥BD且A1C⊥BC1.又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1， 所以A1C⊥平面BDC1. 题型(三)　证明平面与平面垂直 [例3]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图，E，F分别是BB1，CD的中点.求证：平面AD1F⊥平面ADE. 证明：设棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，所以=(2，0，0)，=(2，2，1)，=(-2，0，2)，=(-2，1，0)，设平面ADE的法向量n=(x，y，z)， 则 取y=1，得n=(0，1，-2). 设平面AD1F的法向量m=(a，b，c)， 则取a=1， 得m=(1，2，1)，所以n·m=0+2-2=0， 所以n⊥m，即平面AD1F⊥平面ADE. |思|维|建|模| 向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 针对训练 3.如图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CA=2，则CE=2，BD=1， 则C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)， 所以=(，1，-2)，=(0，0，2)，=(0，2，-1)， 设平面ECA的法向量n1=(x1，y1，z1)， 则 取x1=1，则y1=-，z1=0，即n1=(1，-，0). 设平面DEA的法向量n2=(x2，y2，z2)， 则取x2=， 则y2=1，z2=2，即n2=(，1，2)， 因为n1·n2=1×+(-)×1+0×2=0， 所以n1⊥n2，所以平面DEA⊥平面ECA. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知平面α的法向量为n=(4，-4，8)，=(-1，1，-2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　) A.AB⊂α 　　B.AB⊥α C.AB与α相交但不垂直 　　D.AB∥α √ 解析：由题设知n=-4，即n∥，又n是平面α的一个法向量，所以AB⊥α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.平面α的法向量为(3，1，-2)，平面β的法向量为(-1，1，k)，若α⊥β，则k= (　　) A.-2 B.2 C.1 D.-1 √ 解析：因为α⊥β，所以3×(-1)+1×1+(-2)×k=0，解得k=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a=λb(λ≠0)，b·c=0，则a与c的位置关系是 (　　) A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面 √ 解析：由a=λb(λ≠0)，b·c=0，则a·c=(λb)·c=λ(b·c)=0， 即a⊥c，则直线a⊥c，所以a与c的位置关系是垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知向量n为平面α的一个法向量，l为一条直线l的方向向量，则l∥n是l⊥α的 (　　) A.充分不必要条件 　B.必要不充分条件 C.充要条件 　D.既不充分也不必要条件 √ 解析：向量n为平面α的一个法向量，l为一条直线l的方向向量，若l∥n，则向量l为平面α的一个法向量，l⊥α，充分性成立;若l⊥α，则向量l为平面α的一个法向量，l∥n，必要性成立，则l∥n是l⊥α的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，直线AC1⊥平面A1BM，则点M的位置是 (　　) A.点D B.点D1 C.DD1的中点 D.不存在 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1 所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，M(0，0，t)，0≤t≤1， A(1，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)， A1(1，0，1)，=(-1，1，1)，=(0，-1，1)，=(-1，-1，t).∵·=-1×0+1× (-1)+1×1=0，∴AC1⊥BA1.∵直线AC1⊥平面A1BM，BM⊂平面A1BM，∴AC1⊥BM，∴·=0，∴-1×(-1)+1×(-1)+1×t=0，解得t=0，此时点M与点D重合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点，且平面MBD⊥平面OC1D1，则=(　　) A. B. C. D.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，设AD=1，则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O， D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，设M(1，0，t)，0≤t≤1， 平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)， 则 解得y=0，令z=1得x=2，则m=(2，0，1)， 设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)， 则令c=1，则a=-t，b=t，故n=(-t，t，1)， 由题意得m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0，解得t=，故=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的有 (　　) A.直线AD与直线C1M始终是异面直线 B.存在点M，使得B1M⊥AE C.四面体EMAC的体积为定值 D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：连接AC1交BD1于点O，当点M在O点时直线AD与直线C1M相交，故A不正确;以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)， C(0，2，0)，E(0，0，1)， B(2，2，0)，B1(2，2，2)， =(-2，0，1)，假设存在点M， 使得B1M⊥AE，=+λ =(0，0，-2)+λ(-2，-2，2)=(-2λ，-2λ，2λ-2)， λ∈[0，1]，所以·=4λ+2λ-2=0，解得λ=， 所以当D1M=2MB时B1M⊥AE，故B正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 连接AC，BD交于点O1，因为点E是棱DD1的中点，此时EO1∥BD1，故线段BD1到平面EAC的距离为定值，所以四面体EMAC的体积为定值，故C正确;当D1M=2MB时，M=(-2，0，1)，=(-2，2，0)， 设平面EAC的法向量为m=(x1，y1，z1)， 由 令z1=2，可得x1=1，y1=1，可得m=(1，1，2)， 设平面MAC的法向量为n=(x2，y2，z2)， =，由 令 x2=1，可得y2=1，z2=-1，所以n=(1，1，-1)， 因为m·n=1×1+1×1-1×2=0，所以m⊥n.所以平面EAC⊥平面MAC，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知直线l的一个方向向量d=(2，3，5)，平面α的一个法向量n=(4，m，n)，若l⊥α，则m+n=__________.  解析：因为l⊥α，所以d∥n， 所以==，解得m=6，n=10，所以m+n=16. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有__________对. 解析：因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)· (1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在△ABC中，A(1，-2，-1)，B(0，-3，1)，C(2，-2，1).若向量n与平面ABC垂直，且 |n|=，则n的坐标为______________________.  解析：根据题意可得=(-1，-1，2)，=(1，0，2)， 设n=(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直， 则可得 又∵|n|==，则=， 解得y=4或y=-4，当y=4时，x=-2，z=1;当y=-4时，x=2，z=-1. ∴n的坐标为(-2，4，1)或(2，-4，-1). (-2，4，1)或(2，-4，-1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知空间三点A(-1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，-3).若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为_______________;若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是______________________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设M(x，y，z)，A(-1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，-3)， ∵=(1，-1，0)，=(2，1，-4)， =(x，y，z-1)，=(x-1，y-2，z+3)， ∴由题意，得∴x=-，y=，z=1. ∴点M的坐标为. 设平面ABC的法向量为n=(x，y，z)，则n·=x-y=0， n·=2x+y-4z=0.令x=1，则y=1，z=.∴n=. 设点N的坐标为(a，b，c)，则=(a，b，c-1).由题知，∥n，即==.∴点N的坐标满足(4k，4k，3k+1)，其中k≠0.令k=1，则N(4，4，4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：连接EO，因为AE=DE，则EO⊥AD，又EO⊂平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，于是得EO⊥平面ABCD， 又OB⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，即有EO⊥OB，EO⊥OD， 而四边形BCDO是边长为1的正方形. 以O为原点，分别为x，y，z轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图，由AE=DE，AE⊥DE， 得OE=OA=OD=OB=1，则O(0，0，0)， M，A(0，-1，0)，E(0，0，1)，D(0，1，0)， B(1，0，0)，设N(0，λ，0)(-1≤λ≤1)，=(1，-λ，0)， ==(0，1，1)，=(-1，0，1)， 设平面BMN的法向量n=(a，b，c)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则令a=λ，得n=(λ，1，2λ-1)， 设平面ABE的法向量m=(x，y，z)， 则 令x=1，得m=(1，-1，1)，因为平面BMN⊥平面ABE， 则有m·n=0，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=，所以线段AN的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=CC1=1，E，F分别是DC，A1B1的中点.求证： (1)四边形BFD1E为平行四边形;(4分) 证明：以D为坐标原点， 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，E(0，1，0)，D1(0，0，1)， B1(1，2，1)，F(1，1，1)，B(1，2，0)，所以=(0，-1，1)，=(0，-1，1)，所以=，又B，F，D1，E四点不共线，所以四边形BFD1E为平行四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)B1E⊥平面AED1.(6分) 证明：由(1)知=(1，1，1)，=(1，-1，0)， 所以·=1×0+1×(-1)+1×1=0，·=1×1+1×(-1)+1×0=0，所以⊥⊥，即EB1⊥ED1，EB1⊥EA. 又因为ED1∩EA=E，ED1，EA⊂平面AED1. 所以B1E⊥平面AED1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2. (1)求证：A1E⊥平面BCDE;(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：证明：∵DE⊥AB，AB∥DC， ∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，A1D，DE⊂平面A1DE， ∴DC⊥平面A1DE，A1E⊂平面A1DE， ∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，DC，DE⊂平面BCDE，∴A1E⊥平面BCDE. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.(10分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则DE=2，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)， ∴=(-2，0，2)，=(2，2，0)， 设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)， 则令x=-， 则m=(-，1，-)，设P(t，0，0)(0≤t≤2)， 则=(t，0，-2)，=(0，2，-2)，设平面A1DP的法向量为n=(a，b，c)， 则取n=，∵平面A1DP⊥平面A1BC， ∴n·m=-2+-t=0，解得t=-3， ∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $