2.3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

空间向量运算的坐标表示 2.3.2 空间向量运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示. 2.掌握空间向量数量积的坐标表示. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的坐标表示. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间线性运算的坐标表示 逐点清(二) 空间向量平行(共线)的坐标表示　 逐点清(三) 向量数量积的坐标表示　 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　空间线性运算的 坐标表示 01 设a=(x1，x2，x3)，b=(y1，y2，y3). 多维理解 名称 坐标表示 加法 a+b=____________________ 减法 a-b=____________________ 数乘 λa=(λx1，λx2，λx3)(λ∈R) (x1+y1，x2+y2，x3+y3) (x1-y1，x2-y2，x3-y3) 1.若向量a=(4，0，-2)，向量a-b=(0，1，-2)，则b= (　　) A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) √ 微点练明 解析：b=a-(a-b)=(4，0，-2)-(0，1，-2)=(4，-1，0). 2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=(2，3，4)，C1(-1，2，4)，则点A1的坐标为(　　) A.(-1，3，6) B.(-3，-1，0) C.(1，-1，-2) D.(1，-1，0) 解析：设点A1的坐标为(a，b，c)，则由=， 得(-1-a，2-b，4-c)=(2，3，4)，解得a=-3，b=-1，c=0， 则点A1的坐标为(-3，-1，0). √ 3.在空间直角坐标系中，已知点A(0，1，2)，B(1，-2，-1)，=2，则点P的坐标是(　　) A.(2，-6，-6) B.(2，-5，-4) C.(2，-7，-8) D.(3，-8，-7) √ 解析：设P(x，y，z)，因为=2， 所以(x，y-1，z-2)=2(1，-3，-3)， 得所以P(2，-5，-4)，故B正确. 4.已知空间向量a=(1，2，0)，b=(0，-1，1)，c=(2，3，m)，若a，b，c共面，则实数m= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：因为a=(1，2，0)，b=(0，-1，1)不共线，a，b，c共面，所以存在一对有序实数(x，y)，使c=xa+yb，所以(2，3，m)=x(1，2，0) +y(0，-1，1)=(x，2x-y，y)，所以解得 √ 5.已知点A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C为线段AB上一点，若=3，则点C的坐标为______________.  解析：∵=3，∴-=3(-)，得=+，∴=(4，1，3)+(2，-5，1)=， 即点C的坐标为. 逐点清(二)　空间向量平行(共 线)的坐标表示 02 　设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2). (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得 (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔______________. 多维理解 λx2 λy2 == 1.已知a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，且(a+b)∥(2a-b)，则 (　　) A.x=，y=1 B.x=，y=-4 C.x=2，y=- D.x=1，y=-1 √ 微点练明 解析：由a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，得a+b=(x+1，3，2-y)，2a-b=(2-x，3，-2y-2)，由(a+b)∥(2a-b)，得==，所以x=，y=-4. 2.若=(1，-1，2)，=(a-1，-2，b+3)，A，B，C三点共线，那么a+b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由于A，B，C三点共线，所以=(1，-1，2)与=(a-1，-2，b+3)共线，所以==，解得a=3，b=1，所以a+b=4. √ 3.已知空间两点A(1，2，-1)，B(2，0，1)，点P(-1，a，b)在直线AB上运动，则ab=　　　　　.  解析：依题意得，=(-2，a-2，b+1)，=(1，-2，2)， 因为点P在直线AB上运动，所以存在非零实数λ，使得=λ， 得(-2，a-2，b+1)=λ(1，-2，2)，则得 得ab=-30. -30 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置. 解：如图所示，以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为， 因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)， 因为=(m，n，0)-= =(0，0，1)-(1，1，0)=(-1，-1，1)，又∥， 所以==，解得m=1，n=， 所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点， 即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1. 逐点清(三)　向量数量积的坐标表示 03 设a=(x1，x2，x3)，b=(y1，y2，y3). 多维理解 名称 坐标意义 数量积 a·b=_________________ 向量 长度 |a|= =__________________ 向量夹角公式 cos<a，b>== 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔______________________________ x1y1+x2y2+x3y3 x1y1+x2y2+x3y3=0 1.若向量a，b的坐标满足a+b=(-2，-1，2)，a-b=(4，-3，-2)，则a·b等于 (　　) A.5 B.-5 C.7 D.-1 √ 微点练明 解析：∵a+b=(-2，-1，2)，a-b=(4，-3，-2)，∴两式相加得2a=(2，-4，0)，解得a=(1，-2，0)，∴b=(-3，1，2)，∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5.故选B. 2.已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 (　　) A. B.(-∞，-6)∪ C. D.∪(6，+∞) √ 解析：由a·b=2×(-4)+(-1)×2+3t=-10+3t<0，解得t<，当a，b共线时，由b=λa，即(-4，2，t)=λ(2，-1，3)，解得t=-6，所以当a，b夹角为钝角时t∈(-∞，-6)∪. 3.已知空间向量a=(1，-1，2)，b=(1，-2，1)，则向量b在向量a上的投影向量是 (　　) A. 　　B.(1，-1，1) C. 　　D. √ 解析：因为a=(1，-1，2)，b=(1，-2，1)，则a·b=1×1+(-1)× (-2)+2×1=5，==，故向量b在向量a上的投影向量是×=a=. 4.已知向量a=(-1，0，1)，b=(1，-2，0). (1)求a与(a-b)的夹角; 解：∵a=(-1，0，1)，b=(1，-2，0)， ∴a-b=(-2，2，1)，|a|=， |a-b|==3. 设a与(a-b)的夹角为θ，则cos θ===， ∴a与(a-b)的夹角为. (2)若2a+b与a-tb垂直，求实数t的值. 解：∵2a+b=(-1，-2，2)，a-tb=(-1-t，2t，1)， 又2a+b与a-tb垂直，∴(2a+b)·(a-tb)=0， 即-1×(-1-t)+2t×(-2)+1×2=0，解得t=1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在空间直角坐标系中，已知点A(1，-2，3)，B(-3，0，1)，则线段AB的中点坐标是 (　　) A.(-1，-1，2) B.(1，1，-2) C.(2，2，-4) D.(-2，-2，4) √ 解析：设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，所以x==-1，y==-1，z==2，故线段AB的中点坐标是(-1，-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若向量a=(2，0，-1)，b=(0，1，-2)，则2a-b= (　　) A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) √ 解析：因为向量a=(2，0，-1)，所以2a=(4，0，-2)，又向量b=(0，1，-2)，所以2a-b=(4，0，-2)-(0，1，-2)=(4，-1，0).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知a=(1，-1，2)，b=(-1，m，-2)，若a∥b，则实数m的值是 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-5 √ 解析：因为a∥b，所以b=λa，所以解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知向量a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，则向量b在向量a方向上的投影向量为 (　　) A. B. C.(0，-1，-1) D.(-1，0，-1) √ 解析：因为向量a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，所以a·b=1，|a|=， 所以向量b在向量a方向上的投影向量为·=a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在△ABC中，C=90°，A(1，2，-3k)，B(-2，1，0)，C(4，0，-2k)，则k的值为 (　　) A.　　 B.-　　 C.2　　 D.± √ 解析：因为=(-6，1，2k)，=(-3，2，-k)，所以·=(-6)×(-3)+2+2k·(-k)=-2k2+20=0，解得k=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]已知向量a=(1，-1，m)，b=(-2，m-1，2)，则下列结论正确的是 (　 ) A.若|a|=2，则m=± B.若a⊥b，则m=-1 C.不存在实数λ，使得a=λb D.若a·b=-1，则a+b=(-1，-2，-2) √ √ 解析：由|a|=2，得=2，解得m=±.故A选项正确.由a⊥b，得-2-m+1+2m=0，解得m=1.故B选项错误.若存在实数λ，使得a=λb，则1=-2λ，-1=λ(m-1)，m=2λ，显然λ无解，即不存在实数λ，使得a=λb.故C选项正确.若a·b=-1，则-2-m+1+2m=-1，解得m=0.于是a+b=(-1，-2，2)，故D选项错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知a=(sin θ，cos θ，tan θ)，b=，且a⊥b，则θ为(　　) A.- B. C.2kπ-(k∈Z) D.kπ-(k∈Z) √ 解析：∵ a=(sin θ，cos θ，tan θ)，b=，且a⊥b，∴sin θcos θ+cos θsin θ+1=0，即sin 2θ=-1，∴2θ=-+2kπ，k∈Z，∴ θ=-+kπ，k∈Z.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若四边形ABCD是平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，-5，1)， C(3，7，-5)，则顶点D的坐标为 (　　) A.(1，1，-7) B.(5，3，1) C.(-3，1，5) D.(5，13，-3) √ 解析：∵ABCD为平行四边形，∴=，设D(x，y，z)，则= (-2，-6，-2)，=(3-x，7-y，-5-z)，∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(1，3，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一组基，则实数λ的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：若a，b，c三个向量不能构成空间向量的一组基，所以a，b，c共面，则存在x，y∈R使得c=xa+yb⇒(1，3，λ)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，则解得所以实数λ的值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.[多选]已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是 (　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos<m，n>= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1) ×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确;因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)，即解得故B正确;因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)= (1，-2，5+x)，所以|m+n|===，解得x=-5，故C错误;因为x=，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos<m，n>===，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若m=(2，-1，1)，n=(λ，5，1)，且m⊥(m-n)，则λ=_______________.  解析：由已知得m-n=(2-λ，-6，0). 由m·(m-n)=0得，2(2-λ)+6+0=0， 所以λ=5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_________，的坐标为_________，的坐标为_____________.  解析：由题图，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，∴=(1，0，0)-(0，0，0)=(1，0，0)，=(1，1，1)-(0，1，0)=(1，0，1)，=(0，1，0)-(1，0，1)=(-1，1，-1). (1，0，0) (-1，1，-1) (1，0，1)　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知点M(1，0，2)，N(-1，1，0)，=2，则点P的坐标为____________.  解析：点M(1，0，2)，N(-1，1，0)， 则=(-2，1，-2)，设点P(x，y，z)， 则=(x-1，y，z-2)，由=2， 得解得所以点P的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)设a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5). (1)若(ka+b)∥(a-3b)，求k的值;(5分) 解：因为a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5)， 所以ka+b=k(1，5，-1)+(-2，3，5) =(k-2，5k+3，5-k)，a-3b=(1，5，-1)-3(-2，3，5)=(7，-4，-16)， 若(ka+b)∥(a-3b)，则==，解得k=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若(ka+b)⊥(a-3b)，求k的值.(5分) 解：若(ka+b)⊥(a-3b)， 则(ka+b)·(a-3b)=7(k-2)-4(5k+3)-16(5-k)=3k-106=0， 解得k=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设O为坐标原点，向量=(1，2，3)，=(2，1，2)，= (1，1，2)，点Q在直线OP上运动，求·取得最小值时点Q的坐标. 解：∵点Q在直线OP上运动， ∴∥，设=λ，则Q(λ，λ，2λ)， ∴=-=(1-λ，2-λ，3-2λ)，=-=(2-λ，1-λ，2-2λ)， ∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-，故当λ=时，·取得最小值，此时Q. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $