2.3.1 空间向量的分解与坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

2.3 空间向量基本定理及坐标表示 2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解共面向量与向量线性运算之间的关系. 2.了解空间向量基本定理及其意义.理解空间向量的正交分解、坐标表示. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.共面向量 (1)共面向量的定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. (2)共面向量的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=_________. 这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示. 在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量________. xe1+ye2 共面 2.空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=_______________， 上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则____________________. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作__________.(x，y，z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标. xe1+ye2+ze3 x=x'，y=y'，z=z' 基向量 3.空间向量的直角坐标表示 (1)标准正交基 空间任意三个两两垂直、_____________的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基. (2)向量p在正交基下的坐标表示 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=xi+yj+zk，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p=_____________. 向量p=在标准正交基{i，j，k}下的坐标(x，y，z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标. 长度均为1 (x，y，z) (3)空间向量在空间直角坐标系中的坐标表示 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去__________________. (4)空间向量的投影 向量在坐标轴正方向上的_____分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标. 它的起点的坐标 投影 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基. (　　) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p=xa+yb+zc，则{a，b，c}可构成空间的一组基. (　　) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. (　　) (4)若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量. (　　) 基础落实训练 × × × √ 2.若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m=a+b，n=a-b，则可以与m，n构成空间的另一组基的向量是 (　　) A.a B.b C.c D.2a √ 3.当向量a，b不共线时，a+2b与2a-b的关系是 (　　) A.共面 B.不共面 C.共线 D.无法确定 √ 4.若{e1，e2，e3}是标准正交基，已知p=e1+2e2-e3，则向量p的坐标为_____________.  (1，2，-1) 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　空间向量共面问题 [例1]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明：设=a，=b，=c，则=b-a， ∵M为线段DD1的中点，∴=c-a. 又∵AN∶NC=2∶1，∴==(b+c)， ∴=-=(b+c)-a=(b-a)+=+， ∴为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. [例2]　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 证明：①充分性：∵=x+y+z 可变形为=(1-y-z)+y+z， ∴-=y(-)+z(-)， ∴=y+z，∴点P与A，B，C共面. ②必要性：∵点P在平面ABC内， 且A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使=m+n， -=m(-)+n(-)， ∴=(1-m-n)+m+n， ∵=x+y+z， 又点O在平面ABC外，∴不共面， ∴x=1-m-n，y=m，z=n，∴x+y+z=1. 故点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. |思|维|建|模| 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 针对训练 1.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P，都有=-2+5+m，则实数m的值为(　　) A.0 B.2 C.-1 D.-2 √ 解析：因为=-2+5-m，动点Q在△ABC所在平面内运动，所以-2+5-m=1，解得m=2. 2.设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点.求证：M，N，P，Q四点共面. 证明：∵==，∴=2=2. 又∵=++=-++(+) =(+)++(+)=(+)　①， 又点A，B，C及A1，B1，C1分别共线， ∴=λ=2λ=ω=2ω. 代入①式，得=(2λ+2ω)=λ+ω. ∴共面.∴M，N，P，Q四点共面. 题型(二)　用空间的基表示向量 [例3]　如图，在四面体OABC中，M是OA的中点，G是△ABC的重心，试用基向量表示向量和. 解：如图所示，连接AG并延长交BC于点D， 则D为BC的中点，且=(+). ∵G是△ABC的重心，∴==(+). 又∵=-=-， ∴=(+)=(-2++). ∴=+=+(-2++)=++. 又∵M是OA的中点，∴=. ∴=-=++-=-++. 　|思|维|建|模|　用基表示向量的步骤 定基 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基 找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 针对训练 3.如图，已知四棱锥P-ABCD，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别是PC，PD上的点，且=2，PN=ND，设=a，=b，=c. (1)以{a，b，c}为基表示向量; 解：=+=+=+(++) =-+=-a+b+c. (2)若=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值. 解：=-=- =(-)-(-) =--(+)+ =--+=-a-b+c， 所以x=-，y=-，z=. 题型(三)　空间向量基本定理的应用 [例4]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.求证： (1)B1D⊥平面ABD; 证明：易得=+=+ =+=-， ∵·=·=0，·=·=-=0，∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD=B，∴B1D⊥平面ABD. (2)平面EFG∥平面ABD. 证明：连接B1G(图略). ∵=-=(+)-=，∴·=(+)· =-=0，· =·=0，∴B1D⊥EG，B1D⊥FG， 又EG∩FG=G，∴B1D⊥平面EFG，又B1D⊥平面ABD， 平面ABD与平面EFG不重合， ∴平面EFG∥平面ABD. |思|维|建|模| 基向量的选择和使用方法 　　用已知向量表示未知向量时，选择一组恰当的基可以使解题过程简便易行，选择和使用向量应注意： (1)所选基向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能用基向量的线性运算表示未知向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基. 针对训练 4.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，N为A1D1上一点，且A1N=λA1D1. (1)若BD⊥AN，求λ的值; 解：取空间中的一组基向量：=a，=b，=c. 若BD⊥AN，则·=0.∵=-=b-a，=+=c+λb，∴(b-a)·(c+λb)=0，∴+λ--=0，∴λ=-1. (2)若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，求λ的值. 解：当M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N时， =-a+b+c，=λb+c，=a+c. ∵BM∥平面AB1N，∴向量共面， ∴∃x，y∈R，使得=x+y， 即-a+b+c=ya+xλb+(x+y)c，∴解得λ=. 题型(四)　空间中向量的坐标 [例5]　如图，四棱锥P-OABC的底面为一正方形，OA=OP=1，PO⊥平面OABC，设=a，=b，=c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示.并写出在基{a，b，c}下的坐标. 解：如图，连接BO，则==(+) =(c-b-a)=-a-b+c. =+=-a+=-a+(+) =-a-b+c.=+=++(+) =-a+c+(-c+b)=-a+b+c.===a. 因此==， ==. |思|维|建|模| 坐标表示空间向量的步骤 (1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行. (2)确定出空间向量p在标准正交基下的分解式，则向量p的坐标分量即为向量p的坐标. 针对训练 5.设{i，j，k}是标准正交基，已知向量p在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，则向量p在基{i，j，k}下的坐标是 (　　) A.(12，14，10) B.(10，12，14) C.(14，12，10) D.(4，3，2) 解析：依题意，知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k， 故向量p在基{i，j，k}下的坐标是(12，14，10). √ 6.设{i，j，k}是空间的一组标准正交基，则向量a=3i+2j-k， b=-2i+4j+2k的坐标分别是_______________________.  (3，2，-1)，(-2，4，2) 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基的一组向量是 (　　) A.3a，a-b，a+2b B.2b，b-2a，b+2a C.a，2b，b-c D.c，a+c，a-c √ 解析：因为a，b，c不共面，故a，2b，b-c也不共面，能构成空间的一组基.其他选项皆共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 (　　) A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 √ √ 解析：A选项中，3-1-1=1，四点共面;C选项中，=--， ∴点M，A，B，C共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知{e1，e2，e3}是标准正交基，则空间向量-2e1+2(e2-3e3)的坐标是 (　　) A.(-2，2，-6) B.(-2，1，-3) C.(-2，2，-3) D.(2，2，-3) √ 解析：根据空间向量的坐标表示的定义可知-2e1+2(e2-3e3)= -2e1+2e2-6e3，因为{e1，e2，e3}是标准正交基， 所以空间向量-2e1+2(e2-3e3)的坐标是(-2，2，-6).故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知{e1，e2，e3}为空间的一组基，若a=e1+e2+e3，b=e1+e2-e3，c=e1-e2+e3，d=e1+2e2+3e3，且d=αa+βb+γc，则α，β，γ分别为 (　　) A.，-1，- B.，1， C.-，1，- D.，1，- √ 解析：由题意，知d=α a+β b+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3) =(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)·e3. 又d=e1+2e2+3e3，所以解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是 (　　) A.0 B. C. D. √ 解析：取{}为空间的一组基.根据题意，可得·=(++)·(++)=·=--=×4-1-×4=0，所以和垂直，即A1E⊥GF，故A1E与GF所成角的余弦值为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知{a，b，c}是空间的一组基，{a+b，a-b，c}是空间的另一组基，若向量p在基{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基{a+b，a-b，c}下的坐标为 (　　) A.(4，0，3) B.(1，2，3) C.(3，1，3) D.(2，1，3) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵p在基{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，∴p=4a+2b+3c. 设p在基{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p=x(a+b)+y(a-b) +zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，对照系数，可得解得∴p在基{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足=t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点， 得=++=++， 即=t=t+t+， 由N为AM与平面BDA1的交点， 则N，B，D，A1四点共面，则t+t+=1，所以t=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}为空间的一组基，则向量的坐标为___________，向量的坐标为__________，向量的坐标为_______________.  　(1，1，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为=++=++，所以向量的坐标为.因为=++=++， 所以向量的坐标为. 因为=++， 所以向量的坐标为(1，1，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，=a，=b，=c，P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C'D'的中点，Q是CA'上的点，且CQ∶QA'=4∶1，用基{a，b，c}表示下列各向量： (1)=____________; 解析：连接AC，AD'(图略). (1)===(a+b+c). (a+b+c) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)=　　　　.  解析：= ==a+b+c. a+b+c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM=2MA，N是BC的中点，若=x+y+z，则x+y+z的值为_______________.  解析：如图所示，连接PN，AN.=+ =-+(+)=-++， ∴x=-，y=，z=. ∴x+y+z=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点.设=a，=b，=c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基{a，b，c}表示向量+的结果为____________.  解析：如图，+=(+)+(+) =++=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c. a+b+c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)在棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是__________，线段EF的长度为____________.  解析：设=a，=b，=c，则{a，b，c}是空间的一组基，∴|a|=|b|=|c|=a，a·b=a·c=b·c=a2.∵=-=(a+b)-c， ∴·=a2+a·b-a·c=a2， ||==a，∴cos<>===， ∴异面直线EF与AB所成的角为. a 　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG=2GE. (1)试用{}表示向量;(4分) 解：∵=2， ∴-=2(-)， ∴3=2+，又2=+， ∴=++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若OA=2，OB=3，OC=4，∠AOC=∠BOC=60°，求·的值.(6分) 解：由(1)可知，=++ =-，又∠AOC=∠BOC=60°， ∴·=·(-)= -++·-·=-×22+×32+×3×4×cos 60° -×2×4×cos 60°=，即·的值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为PA=AB=1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以是两两垂直的单位向量. 设=e1，=e2，=e3， 以{e1，e2，e3}为标准正交基建立空间直角坐标系A-xyz， 连接AC. 如图所示， 因为=++=-++=-++(+)=-++(++)=+=e2+e3.所以=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA'，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BB'的中点. (1)求证：CE⊥A'D;(4分) 解：证明：设=a，=b，=c，则{a，b，c}构成空间的一组基.根据题意，|a|=|b|=|c|，且a·b=b·c=c·a=0. ∵=b+c，=-c+b-a， ∴·=-c2+b2=0，∴CE⊥A'D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(6分) 解：∵=-a+c，=b+c， ∴||=|a|，||=|a|， ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2， ∴cos==， 即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $